2012年4月北京各區(qū)一模立體幾何精彩試題總匯編與解析匯報(bào)

1、2012年4月各區(qū)一模立體幾何試題匯編與解析（2012年?yáng)|城一模立體幾何）（14）如圖，在邊長(zhǎng)為 3的正方形 ABCD中，點(diǎn)M在AD上，正方形 ABCD以AD為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D，角（0 < < -）到ABiCiD的位置，同時(shí)點(diǎn)M沿著AD從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到DC1，點(diǎn)Q在MNi上，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)記點(diǎn)Q在面ABCD上的射影為Q0，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中向量正切的最大值為C（2012年?yáng)|城一模立體幾何）（17）（本小題共13分）如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形 ABC中，E , F , P分別為AB , AC , BC上的 點(diǎn)，且滿(mǎn)足 AE FC CP 1 .將厶AEF沿EF折起到 A,EF的位置，使二面角

2、A EF B成直二面角，連結(jié) AB , AP.（如圖2）（I）求證：A1E丄平面BEP ;（H）求直線(xiàn) A1E與平面A1BP所成角的大小p(I)證明：取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF .因?yàn)?AE CF 1, DE 1,所以AF AD 2，而 A 60：，即 ADF是正三角形又因?yàn)?AE ED 1,所以EF AD. 2分所以在圖2中有AiE EF , BE EF 3分所以AB 為二面角 Ai EF B 的平面角圖1又二面角 A1 EF B為直二面角，所以A1E BE . 5分又因?yàn)锽E|EF E,所以A1E丄平面BEF,即A1E丄平面BEP.6分(n)解：由(I)可知 A1E丄平面BEP , BE EF

3、，如圖，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系E xyz ,則 E(0,0,0) , A(0,0,1) , B(2,0,0),在圖1中，連結(jié)DP.” CFCP1因?yàn)?FAPB21-BE DE所以PF /BE ,且PF2所以四邊形EFPD為平行四邊形.所以 EF / DP，且 EF DP .故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,. 3 , 0)圖2(2,0, 1),bP(1r-3,0),(0,0,1).- 8分不妨設(shè)平面ABP的法向量nEA1(x,y,z)，則n n0,即 2x Z 0,令 y G，得 n (3,、.3,6). 10分x 、3y 0.12分故直線(xiàn)A|E與平面A|BP所成角的大小為13分（2012年西城一模

4、立體幾何）4 已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等，體積為12 3cm3其三視圖中的俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積是（(A) 4.3cm2(B) 2.3 cm2(C) 8cm 2(D) 4 cm2答案：A（2012年西城一模立體幾何）17 （本小題滿(mǎn)分14分)如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,DABDBF60，且 FA FC (出)求證:求證:AC 平面FC /平面求二面角A FCBDEF ;EAD ;B的余弦值.FO .（I）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連結(jié)所以 AD / BC ,DE/BF ,所以 平面FBC 平面EAD .又FC 平面FBC ,所以FC 平面EAD .（川）解：因

5、為四邊形 BDEF為菱形，且DBF 60 ,所以 DBF為等邊三角形.所以 cos n,EA1n EA1,|n|EA?| 1 4J3因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以FO BD，故FO 平面ABCD 由OA,OB,OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz .設(shè)AB 2 因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形， DAB 60，則BD 2，所以0B 1 ,OA OF , 3 所以(J3,0,、,3) , CB所以 0(0,0,0), A( .、3,0,0), B(0,1,0),C(3,0,0),F(0,0,、. 3) L 3,1,0) 設(shè)平面BFC的法向量為n二(x, y,z)，則有n CB0,0.所以 &#

6、39; 3x 3z 0,取 x 1，得 n (1,、3, 1) J3x y 0.12分易知平面AFC的法向量為v (0,1,0) 13分由二面角A FC B是銳角，得 cosn,vn v15n v5所以二面角A FCB的余弦值為,15514分(2012年海淀一模立體幾何)(8)在正方體 ABCD.A'B'C'D '中，若點(diǎn)P (異于點(diǎn)B )是棱上一點(diǎn)，則滿(mǎn)足BP與AC' 所成的角為45：的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(A) 0(B) 3(D) 6(C) 4答案：B(2012年海淀一模立體幾何)(16)(本小題滿(mǎn)分14分) 在四棱錐 P.ABCD 中，AB/CD , AB

7、 AD , AB 4, AD 2, CD 2 ,丄pa平面 ABCD , PA . 4.(I)設(shè)平面 PAB| 平 WPCD m，求證：CDm ;(n)求證：BD 平面PAC ；(川)設(shè)點(diǎn)Q為線(xiàn)段PB上一點(diǎn)，且直線(xiàn) QC與平面PAC所成角的正弦值為 上3，求巴3 PB的值.(I)證明： 因?yàn)锳B/CD , CD 平面PAB , AB 平面PAB ,所以CD/平面PAB. 2分因?yàn)镃D 平面PCD，平面PAB|平面PCD m ,所以CD m.(n)證明：因?yàn)锳P 平面ABCD , ABAD ,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD, AP所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 B(4,0

8、,0)， 所以BD (P(0,0,4)，D(0,2.2,0)，C(2,2、2,0).4,2、2,0)，AC(22. 2,0),AP (0,0, 4) 所以BD ACBD AP ( 4)4) 2 2 2 2 20 00 ,所以 BD AC，BD AP. 因?yàn)?APAC A，AC PA 平面PAC， 所以BD 平面PAC.PQ /(川)解：設(shè)(其中0 PB -, 一pB.所以所以所以所以平面PAC ,1), Q(x,y,z)，直線(xiàn)QC與平面PAC所成角為(x, y, z4)(4,0,4).x.4 ,y 0,z 二一4即 Q(4 ,0, 4 十 4).-4,-(4由(n)知平面-2,-2甩 一4 -

9、4).PAC的一個(gè)法向量為 BD ( 4,. 2,0).11分12分因?yàn)閟in 二 cos (Cq,bd二所以4(42) 8解得2)2 8 ( 44)20,1.所以 Q_12PB1214分4.已知平面，直線(xiàn)a, b, I，且a,b ，則“丨a且I b ”是“ IA .充分不必要條件C .充分必要條件答案：BB 必要不充分條件D.既不充分也不必要條件（2012年一模立體幾何）10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為正視圖r 21-I1 +側(cè)視圖俯視圖ABD = 90 ,EB 平面FEC,MB3答案：-2（2012年一模立體幾何）17.（本小題滿(mǎn)分14分）在如圖所示的幾何體中，四邊形

10、ABCD為平行四邊形,ABCD , EF/AB , AB=2 , EB = ,3,EF =1 , BC = 13，且 M 是 BD 的中點(diǎn)（I）求證：EM/平面ADF ;（H）求二面角 D-AF-B的大小；（川）在線(xiàn)段 EB上是否存在一點(diǎn) P , 使得CP與AF所成的角為30 ? 若存在，求出BP的長(zhǎng)度；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.A證明：（I）取 AD的中點(diǎn)N，連接MN,NF .1在厶DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn)，所以 MN/AB,MN = AB ,2又因?yàn)?EF/AB,EF = -AB ,2所以 MN/EF 且 MN = EF 所以四邊形MNFE為平行四邊形,所以 EM/FN .又

11、因?yàn)镕N平面ADF , EM故 EM/解法二：因?yàn)槠矫鍭DF ,平面ADF .EB 平面ABD , AB BD ,故以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 B - xyz. 1 分由已知可得B(0,0,0), A(0,2,0), D(3,0,0),z1.FE= (0,-1, 3)C(3,-2,0), E(0,0, . 3), F(0,13), M (3,0,0)22分AB3分 eM=(|,0-3),ad= (3,-2,0)，設(shè)平面 ADF的一個(gè)法向量是 n (x,y,z).n AD 由n#°,得 3x-2r0,0,-y+3z= 0.令 y= 3，則 n (2,3, I).又因?yàn)閑M

12、 n (3,0,- -I) (2,3, .I) =3 + 0-3= 0 , 2n，又EM 平面ADF ,所以EM/平面ADF .(H)由(I)可知平面 ADF的一個(gè)法向量是n (2,3,3).因?yàn)镋B 平面ABD，所以EB BD.又因?yàn)?AB BD，所以BD 平面EBAF .故BD (3,0,0)是平面EBAF的一個(gè)法向量所以COSVBD:nIbdIn11，又二面角D- AF- B為銳角,210分由題意得?=(0,-1, 3).所以COS V2 Pt2+13 '不妨設(shè)P(0,0,t) ( 0 t 靈)，則2八 3t _3pC = (3,-2,-t),2、t2+13化簡(jiǎn)得4 .3t 35

13、,故二面角D- AF - B的大小為60 .(川)假設(shè)在線(xiàn)段 EB上存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30 .解得t35 0.14分4*3所以在線(xiàn)段EB上不存在點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30 .證明：(I)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP, OB, BD.PA=PD , PO 丄 AD. 菱形ABCD中， AB=BD , BO 丄 AD.BOA PO=O, AD丄平面POB AD 丄 PB.因?yàn)?所以 因?yàn)?所以 所以 因?yàn)?所以 所以/ BCD=60o,2分3分4分5分PQ3 .EB（H）由（I）知 BO 丄 AD, PO 丄 AD .因?yàn)?側(cè)面PAD丄底面ABCD , 且平面FAD門(mén)底面 AB

14、CD=AD , 所以PO丄底面ABCD .以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O則 D( 1,0,0) , E(1,. 3,0) , P(0,0,1),zPQCxyz.EA iByC( 2, . 3,0),因?yàn)镼為PC中點(diǎn),所以Q( 1,1).2 2（2012年豐臺(tái)一模立體幾何）5若正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積是（A.4 4、10C.4 4.11答案：B（2012年豐臺(tái)一模立體幾何）16 .（本小題共14分）四棱錐P ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面 PADBCD 60 , PA PD J2，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC 上.（I）求證：AD PB;

15、（H）若Q是PC的中點(diǎn)，求二面角 E DQ C的余弦值;PQ（川）若，當(dāng)PA/平面DEQ時(shí)，求A的值.PC所以（。畑），粗（譯三）,所以平面DEQ的法向量為n （1,0,0）.因?yàn)閐C ( 1,、3,0)，設(shè)平面DQC的法向量為n2（x, y,z）,0,則03y 0,令 x .,3，則 y 1，z3，即 n.G3,1,1z 0.2由圖可知，二面角 E-DQ-C為銳角，所以余弦值為.21710分PQ（川）因?yàn)镻QPC由（n）知PC，所以pQ PC，(2,、3, 1)，pA(1,0,1),若設(shè) Q(x,y,z),則PQ(x, y,z 1),由pQPC，得 y在平面DEQ中，dEz(0亠3,0),

16、dQ(x所以，當(dāng)所以平面DEQ法向量為又因?yàn)镻A 平面DEQ ,所以PA n-0,即(1)( 1)(21)-時(shí)，F(xiàn)A / 平面 DEQ .3(11,y,z)(1,0,2 1)，13分14分12分4設(shè)m, n是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若 m n, m,Un /B.若,則C.若 m / ,n /，則 m nD.若m,n/ ,則 m n答案：D（2012年石景山一模立體幾何）7某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）43A. 832J3C. 83B. 84.23323l , A、B是I上的兩個(gè)，且 DA ,CB ,8，在平面 上有一個(gè)BPC，貝U P ABCD 體積答案：A&如圖，已知平面點(diǎn)，C、D在平面AD 4 , AB 6, BC動(dòng)點(diǎn)P，使得 APD的最大值是（）A. 24 . 3B. 16C. 48D. 144答案C(2012年石景山一模立體幾何)17 .(本小題滿(mǎn)分14分)如圖，三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA 丄面 ABC, BC AC,BC AC 2 ,AA 3 , D為AC的中點(diǎn).(I)求證：AB1 / 面 BDC1 ；(n)求二面角 C1 BD C的余弦值；(川)在側(cè)棱 AA上是否存在點(diǎn)P，使得CP 面BDC1 ?請(qǐng)證明你的結(jié)