2006真題及解析

1、(3)(3) 廣義積分(4)(4) 微分方程設(shè)函數(shù)yxdx增量，Vy與dy分別為2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題：1-61-6 小題，每小題 4 4 分，共 2424 分，請將答案寫在答題紙指定位置上 (1)(1)曲線 y y _ _4sinx的水平漸近線方程為5x 2cos x-0(1 x2)2-y空色的通解是x-y(x)由方程y 1 xe，確定，則I0dxx-2 1(6)(6)設(shè)A, ,E為 2 2 階單位矩陣，矩陣B滿足BA B 2E, ,則B1 2二、選擇題：9-149-14 小題，每小題 4 4 分，共 3232 分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 符合題

2、目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)設(shè)函數(shù)y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x) 0, f (x) 0, Vx為自變量x在點(diǎn)X。處的f (x)在點(diǎn)x0處對應(yīng)增量與微分，若Vx 0，則()()(A)(A)連續(xù)的奇函數(shù)(C)(C)在x0間斷的奇函數(shù)(B)(B)連續(xù)的偶函數(shù)(D)(D)在x0間斷的偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x),x 0 x0a,x 0在x 0處連續(xù)，則a(8(8) )(A)(A)0 dy Vy(C)(C)Vy dy 0設(shè)f(x)是奇函數(shù)，除(B)(B)0 Vy(D)(D)dy Vy0外處處連續(xù),dyx 0是其第一類間斷點(diǎn)，則(9(9) )設(shè)函數(shù)g(x)可微,h(x)e1g(x),h(1

3、) 1,g(1)2,則g(1)等于( (A)(A)ln3(10)(10)函數(shù)yxqec2e(B)(B)ln3 12xxxe滿足的一個微分方程是(C)(C)ln2 1(D)(D)ln2 1(A)(A)yy 2y 3xex(B)(B)y y2y3ex(C)(C)yy 2y 3xex(D)(D)y y2y3ex(12)(12)設(shè)f (x, y)與(x, y)均為可微函數(shù)，且y(x, y) 0,已知(xo, yo)是f (x, y)在約束條1(11)(11)設(shè)f (x, y)為連續(xù)函數(shù)，貝Ud f (r cos , rsin )rdr等于()()0 02-1 x1 221 x2(A)(A)dxf (x

4、, y)dy(B)(B)dxf(x, y)dy0 x0 02(C)(C)dyf (x, y)dx(D)(D)dyf (x,y)dx0y0 01(A)(A)C P AP.00，則()()1件(x, y) 0下的一個極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是()()1得C，記P 001(B)(B)C PAP .(C)(C)CPTAP.(D)(D)C PAPT.三、解答題：1515- 2323 小題，共 9494 分. .請將解答寫在答題紙指定的位置上. .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. .(15)(15)(本題滿分 1010 分) )試確定常數(shù)A,B,C的值，使得ex(1 Bx Cx2) 1 Ax o(x

5、3)，其中o(x3)是當(dāng)3x 0時(shí)比x高階的無窮小. .(A)(A)若fx(xo, yo)0,則fy(xo, yo)0(B)(B)若fx(Xo,yo)0,則fy(Xo,yo) o(C)(C)若fx(xo, yo)o,則fy(Xo, yo)0設(shè)1,2, L ,s均為n維列向量，A是m(A)(A)若1,2丄，s線性相關(guān)，則A1, A(B)(B)若1,2,L,s線性相關(guān)，則A1, A(C)(C)若1,2,L,s線性無關(guān)，則A1, A(D)(D)若1,2,L,s線性無關(guān)，則A1, A將A的第 2 2 行加到第 1 1(13(13) )2丄2丄2丄2丄(D)(D)若fx(xo,y。)o,貝Ufy(Xo,

6、yo)0n矩陣，下列選項(xiàng)正確的是 ()()s線性相關(guān). .s線性相關(guān). .s線性無關(guān). .(14)(14)設(shè)A為 3 3 階矩陣,行得B, 再將B的第 1 1列的-1-1 倍加到第 2 2 列dx(I)(I)驗(yàn)證f (u)f(u)0；u(II)(II)若f (1) 0, f (1) 1, ,求函數(shù)f(u)的表達(dá)式(21)(21)(本題滿分1212 分) )已知曲線L的方程X t212,(t 0),y 4t t(I)(I)討論L的凹凸性；(III)(III)求此切線與L( (對應(yīng)xx0的部分) )及x軸所圍成的平面圖形的面積已知非齊次線性方程組xx2x3x41,ax-!3x25X3X41,有 3

7、 3 個線性無關(guān)的解冷3x3bx4(I)(I)證明此方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A) 2; ;( (n) )求a,b的值及方程組的通解TT1,2, 1,20, 1,1是線(16)(16)(本題滿分 1010 分) )xarcs inex(17)(17)(本題滿分 1010 分) )設(shè)區(qū)域D ( x, y) | x22y 1,x0，計(jì)算一重積分11 xy22dxdyD1 x y(18)(18)(本題滿分 1212 分) )設(shè)數(shù)列Xn滿足0捲,xn 1sin xn(n1,2,L )(I)(I)證明lim xn存在，并求該極限；(I(II)I) 計(jì)算lim1xn 1懇nnXn(19)(19) ( (本題

8、滿分 1010 分) )證明：當(dāng)0 a b時(shí)，bsinb 2cosb b a si na 2cosa a. .(20)(20) ( (本題滿分 1212 分) )_ 2 2設(shè)函數(shù)f(u)在(0,)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且Z f x2y2滿足等式一占-4 0 x y(II)(II)過點(diǎn)(1,0)引L的切線，求切點(diǎn)(Xo,y。)，并寫出切線的方程(22)(22)(本題滿分 9 9 分) )(23)(23)(本題滿分 9 9 分) )設(shè) 3 3 階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和均為 3,3,向量 性方程組Ax 0的兩個解(I)(I) 求A的特征值與特征向量；(II)(II) 求正交矩陣Q和對角矩陣 ，使得QT

9、AQ-無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小2006 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題1【答案】y 5【詳解】由水平漸近線的定義及無窮小量的性質(zhì) 量”可知注：0型未定式，可以采用洛必達(dá)法則；等價(jià)無窮小量的替換sinx2: x200時(shí)-為無窮小量,x14sin xxlim1 0 x5 01limx52cosx5xlimy limx 4sinxx x5x 2cos xsinx，cosx均為有界量. .故,y-是水平漸近線5sint23I叫f (x)洛limsin(x2)x 03x2limx 03x2【答案】12【詳解】 由已知條件BA B 2E變形得，BA 2E BB(A E) 2E

10、, ,兩邊取行列其中，A E因此，B2 1 101 2 0 12E 22E 4f (x)0,貝y f (x)是凹函數(shù)，又【詳解】xdx1dx21110(1 x2)220(1 x2)22 1x02x【答案】Cxe. .【詳解】分離變量，dy y(1 x)dy(1 x)dxdy(丄1)dx史丄dx dxdxxyxyxy xln yln xx cxIn y In xxceeyCxe【答案】e【詳解】題目考察由方程確定的隱函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在原方程中令x 0y(0)1. .將方程兩邊對x求導(dǎo)得yeyxeyy，令x 0得y (0) e【答案】2式，得B(A E) 2E 4 E 4二、選擇題【答案】A【

11、詳解】方法 1 1: 圖示法. .因?yàn)閒 (x)0,貝U f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加；因?yàn)?Vx 0,畫f(x) x的圖形Ay結(jié)合圖形分析，就可以明顯得出結(jié)論：0 dy Vy. .方法 2 2：用兩次拉格朗日中值定理Vy dy f (XoVx) f(x。)f ( )Vxf (Xo)Vx(x)Vx( (前兩項(xiàng)用拉氏定理) )( (再用一次拉氏定理) )由于方法 3 3：x)Vx, ,dy o. .f ()(f (x)0,從而Vy用拉格朗日余項(xiàng)一階泰勒公式其中XoXo又由于dy f (x0)Vx. .泰勒公式：Vx,Xo0,故選A其中f(x) f (xo) f (xo)(x xo)f(Xo)(x xo)

12、22!(n 1)(n),f(Xo)(xn!Xo)Rn，Rn(n 1)!(Xo)n(x人)此時(shí)n取 1 1 代入，可得dy f (xox) f (xo) f (xo)(x)2又由dyf (Xo)o，選(A). .(8)(8)【答案】( (B) )【詳解】方法 1 1：賦值法特殊選取f(x)1,0,1,00，滿足所有條件，則x,它是連續(xù)的偶函數(shù). .因此,o選( (B) )x,方法 2 2:顯然f (x)在任意區(qū)間a,b上可積，于是記F(x)o f (t)dt處處連續(xù)，又XF( x)of(t)dt即F (x)為偶函數(shù)選( (B).).Xs t0f( t)dtx0f(s)dsF(x)(9)(9)【答

13、案】( (C) )【詳解】 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法h(x)e1 g(x)兩邊對x求導(dǎo)h (x) g (x)e1 g(x)1將x 1代入上式，12e1 g(1)g(1) In 1 In 2 1. .故選( (C).).2-.題目考察極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化問題,4可以看出，直角坐標(biāo)的積分范圍(注意2yD:0 y ,y2x與x2y2畫出積分區(qū)間，結(jié)合圖形1在第一象限的交點(diǎn)是所以，原式2dy01yf(x,y)dx. .因此選(C)【詳解】方法 1 1：化條件極值問題為一元函數(shù)極值問題。已知(x(),y0) 0，由(x,y) 0，在(x0, y0)鄰域，可確定隱函數(shù)y y(x)，滿足y(x0)dydx(X0

14、,y)是f (x, y)在條件(x, y) 0下的f (x, y(x)的極值點(diǎn)。它的必要條件是f (x0, y)f(x, y) dy個極值點(diǎn)xdzdxx X0dxx0fx(x), y)fy(X0, y)fx% y)fy(x, y)0( (否則方法 2 2:用拉格朗日乘子法. .引入函數(shù)fx(x),yo)fy(), y)xXy。)yXy。)x(x,y)0,因此不選(A)，(B). .dzdxx0 x00).).因此選(D)F(x,y,)f (x,y)(x, y)，有齊次方1 1 和-2-2，于是特征方程為(1)( 2)20,對應(yīng)的齊次xex代入方程(10)(10)【答案】( (C) )【詳解】題

15、目由二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解，反求二階常系數(shù)非齊次微分方程，分兩步進(jìn)行，先求出二階常系數(shù)齊次微分方程的形式，再由特解定常數(shù)項(xiàng)因?yàn)閥 Gexc?e2xxex是某二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解，所以該方程對應(yīng)的微分方程為y y -2y0所以不選( (A) )與( (B) ),為了確定是( (C) )還是( (D) )，只要將特解y計(jì)算得(y ) (y ) -2y3ex，故選( (D).).(11)(11)【答案】(C)i【詳解】記4d f (r cos ,rsin )rdr f(x, y)dxdy，則區(qū)域D的極坐標(biāo)表示是:D(12)(12)【答案】Dy。，F(xiàn)xfx(x,y)x(x,y) 0

16、(1)Fyfy(x,y)y(x,y) 0 (2)F (x,y)0因?yàn)閥( xo, yo)0,所以yX %，代入得y(Xo,yo) /、fy(Xo, yo)x(Xo,y。)fx(xo,y。)y(xo,yo)若fx(xo, yo) 0,則fy(xo, yo) 0,選(D)(13)(13)【答案】A A【詳解】方法 1 1：若1,2,L ,s線性相關(guān)，則由線性相關(guān)定義存在不全為0的數(shù)ki,k2,L ,ks使得k1 1k2 2Lks s0為了得到A1, A2,L , As的形式，用A左乘等式兩邊，得k,A1k2A2LksAs0于是存在不全為0的數(shù)k1,k2,L ,ks使得成立，所以A1,A2,L ,A

17、s線性相關(guān)方法2:如果用秩來解，則更加簡單明了只要熟悉兩個基本性質(zhì)，它們是：1.1.1,2,L ,s線性相關(guān)r(1,2,L ,s) s； 2.2.r(AB) r(B). . 矩陣(A1,A2,L ,As) A(1,2,L ,s)，設(shè)B (1,2,L ,s)，則由r(AB) r(B)得r(A1, A2,L , As) r(1,2,L ,s) s. .所以答案應(yīng)該為( (A).).(14)(14)【答案】B【詳解】用初等矩陣在乘法中的作用( (矩陣左乘或右乘初等矩陣相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行初等行變換或列變換) )得出110將A的第 2 2 行加到第 1 1 行得B，即B 01 0A記PA00111 0將B

18、的第 1 1 列的-1-1 倍加到第 2 2 列得C，即CB01 0記BQ00 1將ex1 x1 (B 1)x (C B -)x22o(x3)1 Ax o(x3)xm01 3B 6C611 0110因?yàn)镻Q 01 0010E，故Q P1EP100 1001從而C BQBP1PAP1， 故選( (B).).三、解答題(15)(15)【詳解】方法 1 1:用泰勒公式23X X3o(x3)代入題設(shè)等式整理得2 6B1A比較兩邊同次冪函數(shù)得CB10，由此可解得A 1，B2，C12336B1一C026方法 2 2：用洛必達(dá)法則. .由ex1BxCx21 Axo(x3),(x0)(記)ex1Bx Cx21

19、 AxJx叫3-0ex(1 Bx Cx2) ex(B 2Cx) A lim廠x03x2要求分子極限為 0 0,即1 B A 0,否則Jex(1 Bx Cx2) 2ex(B 2Cx) 2exC J limx06x要求分子極限為 0 0,即卩1 2B 2C 0，否則Jex(1 Bx Cx2) 3ex(B 2Cx) 6exC61 3B 6C 0所以解得(16(16所以xarcs in edx1arcs in td (-)tarcsint令.1 t2xarcs in exe dx= =xarcs in e2xe2xedex令extarcsin t2dtarcsi ntdt2t2廠t2arcsi nta

20、rcsi nt 2lnltJ. xarcs in e ,dxxarcsi ne(17)(17)【詳解】積分區(qū)域?qū)ΨQ于dtarcsin tt 1 t2arcsintdu2u uarcsin t丄ln_tdt_ t2、1 t2d(1 t2)duu21t2x軸，x2y一y為y的奇函數(shù),1 x y1 B A 01 2B 2C 01 3B 6C 0【詳解】題目考察不定積分的計(jì)算，利用變量替換和分部積分的方法計(jì)算xy從而知2dxdy 0D1 x ytC所以dxdy極坐標(biāo)1 x y0+dr列(1 r2)0-l n22(18)(18)【詳解】(I)(I)由于0 x時(shí)，0 si nx x，于是0 Xn 1si

21、nXnXn, ,說明數(shù)列xn單調(diào)減少且xn0. .由單調(diào)有界準(zhǔn)則知lim xn存在. .記為A. .n遞推公式兩邊取極限得A sin代A 01sin xn=(II)(II)原式=lim( -)n，為1”型. .nX-因?yàn)殡x散型不能直接用洛必達(dá)法則,1先考慮lim（平廣sint：怦匚）.1 | ,sintlim ln( )J0t2te11 (tcost si nt)limg gt 02t sintt2e -tcost sintlimt 02t3ecost tsint costsintlim2limt06tt 06tee1xn1 7sin x,所以lim(亠)n=lim(-n乂n乂nn、n丄11x

22、2sin x p6)n=lim( )xe6x 0 x(19)(19)【詳解】令 f f (x)(x) xsinxxsinx 2cos2cos x x時(shí)，f（x）單調(diào)增加儼格）f (x) sin x xcos x 2sin xx cosxsin xf (x) cosx xsinx cosxxsin xf（x）單調(diào)減少（嚴(yán)格），又f ( ) cos0，故0 x時(shí)f (X)0，則f（x）單調(diào)增加 （嚴(yán)格）由b a有f (b) f (a)得證（2020）【詳解】（I I）由于題目是驗(yàn)證，只要將二階偏導(dǎo)數(shù)求出來代入題目中給的等式就可以了同理 i 7 x x7?y22zf- X22yxf222xxy2f-

23、x22yxf22xy22zfx22yf2r xy22yxy222x2 23 2x y又因?yàn)閒(1)0,所以c20,得f(u)2t2tdyd2yddx 1dx2dt dxt22tt3(t所以曲線(I(I切線方程為4t。t：dt0處是凸的1 (x 1)，設(shè)xto1，y。4t0t2，t01(t；2),4t；2)22 _代入 _ _z zo,得f、.7xy所以f (u)丄凹0成立u(II)(II)令f (u)p于是上述方程成為即In p In u c,所以f (u)因?yàn)閒 (1)1，所以c 1，得(21)(21)【詳解】方法 1 1:計(jì)算該參數(shù)方程的各階導(dǎo)數(shù)如下dx懇得t2t020,(t01)(t02

24、)0 Qt00t01所以，切點(diǎn)為(2(2, 3)3)，切線方程為yx 1(III)(III)設(shè) L L 的方程x g(y)，貝US3g(y) (y01)dy由t24t y 0解出t 2 x 4 y得x 2x4- 2y 1由于點(diǎn)- -(2(2, 3)3)在 L L 上，由y 3得x2,可知x22、4 y1 g(y)333所以S9 y 44 y(y 1) dy(10 2y)dy4.4 ydy2yf (jx2y)0，22 Xydp-，則dpduc，duupucP -uf(u)In uQIn u3(10y y2)：4 7yd(40y) 2141(43y)20方法 2 2： (I)(I)解出yy(x):

25、由t , x 1(x 1)代入y得y曰dy疋-dx3(x 1)。0 (x 1)曲線L是凸的(II)(II)L上任意點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程是y y021叫小其中X。1( (X。1時(shí)不合題意).).令x1, y 0,得4 x= 2、1X11 ( 1 X)dx 1令t0訂x 1，得4t怙？(1)( 2 t02). .t其余同方法 1 1,得t011111(22)(22)【詳解】(1)(1)系數(shù)矩陣A 4351未知量的個數(shù)為n 4，且又AX b有二個a13 b線性無關(guān)解，設(shè)1,2,3是方程組的 3 3 個線性無關(guān)的解，則2 1,3 1是AX 0的兩 個線性無關(guān)的解因?yàn)? 1,3 1線性無關(guān)又是齊次方程的解，于是AX 0的基礎(chǔ)解 系中解的個數(shù)不少于 2,2,得4 r(A) 2, ,從