湖南省六校2021屆高三4月聯(lián)考數(shù)學試題(含答案解析)

1、湖南省2021屆高三六校聯(lián)考試題數(shù)學2021.4株洲市二中長沙市一中常德市一中由師大附中湘潭市一中岳陽市一中聯(lián)口皿4注意事項：1 .答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2 .回答選擇題時,選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動, 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。問答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無 效。3 .考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的。1.已知集合A=1,2,3,4,5）,B=n|n2-3r>0,則A

2、。CrB中的元素個數(shù)為A. 1B.2C.3D.4 2.已知復數(shù)百，必在復平面內對應的點分別為乙（3,a）,Z2（2,1）,且的-袍為純虛數(shù)，則實數(shù)。=A.6B, -1C-fD.63.函數(shù)/（雨=；：二J：的圖象大致是4.某地安排4名工作人員隨機分到3個村參加“脫貧攻堅”幫扶活動,且每個人只去一個村，則每個村至少有一名工作人員的概率為D-l5 .已知I。|,=（加,3）,且（。-a）_L（2a+8）,則向量a在向量力方向上的投影的最大值為A.4B.2C. 1D.堂6 .數(shù)學里有一種證明方法叫做Proofs without words,也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自

3、明的數(shù)學命/ 題9由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數(shù)學證明/更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形9在等腰直角三角形中，點O為 / 斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點9設AD=，'則該圖形可以完成的無字證明為A."N-">(a>0,6>0)B.-(a>0,。>0)C.(a>0,b>0)1).公+加>2 依(&>0,>0)7 .已知FI ,F?分別是雙曲線與一臂=1(40,>0)的左、右焦點，點P是該雙曲線上一點且在 a lr第一象限內，2sin/OF】F2 = sinNPF

4、2E，則雙曲線的離心率的取值范圍為A. (1,2)B. (1,3)C(3,+8)D. (2,3)8 .定義函數(shù)D(n) = 1 為彳翼瞽短則下列命題中正確的是1 為無理數(shù)，A. Q()不是周期函數(shù)B. QG)是奇函數(shù)C.y=D(z)的圖象存在對稱軸D.D(z)是周期函數(shù)，且有最小正周期二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要 求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分。9 .下列“若小則形式的命題中，力是q的必要條件的是A.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行B.若其>5,則£>10C.已知a是直線a的方向向量，是平面

5、a的法向量，若a_La，則D.已知可導函數(shù)/(%),若f'(/Q)=0,則/(E)在處取得極值10 .已知數(shù)列4滿足用=1,念=3,«什2一a”=2,GN*，則A. Qi+a2),(5+4),(%+恁)，為等差數(shù)列B. (a2ai), (a，t 恁)，(知一恁)，為常數(shù)列C. Gzi =4"一3D.若數(shù)列滿足A=(一 1)”-a”，則數(shù)歹ij<bn的前100項和為10011.已知函數(shù)/(j")=2cos(a>.r+) (w>0, |(p<冷)的圖象上，對稱中心與對稱軸力=盍的最小距離為手,則下列結論正確的是4A.函數(shù)/的一個對稱點為

6、借,0)B.當久6 專,號時，函數(shù)/(支)的最小值為一片C.若sin4acos4a=(a£ (。冊),則/卜十田)的值為'/國D.要得到函數(shù)了的圖象，只需要將gCr)=2cos 2a的圖象向右平移,個單位12.已知球O的半徑為2,球心O在大小為60°的二面角a1B內，二面角 1一8的兩個半平 面分別截球面得兩個圓01,0"若兩圓O| Q的公共弦AB的長為2,E為AB的中點，四面 體OAOQ2的體積為V,則下列結論中正確的有A. 0,EO ,Q四點共面B. 0。=喙C. 01O2=D.V的最大值為冬L10 三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。13

7、 .已知某省2020年高考理科數(shù)學平均分X近似服從正態(tài)分布N(89,100)，則P(79<X( 109)=.(附：PSoVXq+o)：。. 6827,P(-20VXq+2o)=O. 9545)14 .請寫出滿足條件“對任意的我0, 口恒成立，且/Gr)在0,1上不是增函數(shù)” 的一個函數(shù):.'15 .已知+十)殳+1)6(¥0)的展開式中各項的系數(shù)和為192,則其展開式中的常數(shù)項為16 .電子計算機是二十世紀最偉大的發(fā)明之一，當之無愧地被認為是迄今為止由科學和技術所 創(chuàng)造的最具影響力的現(xiàn)代工具，被廣泛地應用于人們的工作與生活之中，計算機在進行數(shù)的 計算和處理加工時,內部使

8、用的是二進制計數(shù)制，簡稱二進制,一個十進制數(shù))可 以表示成二進制數(shù)(%以1。2以)2，即n=aQ X2k-a X21-1 +a2X2i-24-1X21+a氏X2。,其中生=1皿0,1"=0,2"/£人用/'5)表示十進制數(shù)"的二進制表示 2H4-I中1的個數(shù)，貝U/(7)=；對任意/GN，' 2)=.2，四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 .(本小題滿分10分)已知數(shù)列%的前項和S”滿足2s*=川+3幾(I)求數(shù)列%的通項公式；(11)數(shù)列的前項和是乙，若存在，WN，使得成立，求實數(shù)"

9、;勺取值范圍.18 .(本小題滿分12分)已知函數(shù) f (i)=jWsin icos jrcos2i'乙(I)當zG一螢，粗時，分別求函數(shù)/取得最大值和最小值時/的值；(II)設ABC的內角A,B,C的對應邊分別是a”,c,且 =2痣, =6,/(旬=一 1,求 C的值.數(shù)學試題(L)第3頁(共4頁)19 .（本小題滿分12分）甲、乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率為0. 6,乙勝的概率為0. 4.甲、乙約定比賽當天 上午進行3局熱身訓練,下午進行正式比賽.（I ）上午的3局熱身訓練中，求甲恰好勝2局的概率；（H）下午的正式比賽中：若采用“3局2勝制”，求甲所勝局數(shù)z的分布列與數(shù)學期

10、望；分別求采用“3局2勝制”與“5局3勝制”時，甲獲勝的概率;對甲而言,哪種局制更有 利？你對局制長短的設置有何認識？20 .（本小題滿分12分）某建筑工地上有一個旗桿CF（與地面垂直），其正南、正西方向各有一標桿 6E,DG（均與地面垂直,在地面上），氏度分別為1 m,4 m,在地面上有 一基點八（點A在B點的正西方向，也在D點的正南方向上），且BA = BC =2 m,且A,E,F,G四點共面.（I）求基點A觀測旗桿頂端F的距離及仰角6的正切值；（U）若旗桿上有一點M,使得直線BA4與地面ABCD所成的角為名，試求平面ABM與平面AEFG所成銳二面角的正弦值.21 .（本小題滿分12分）已

11、知分別為橢圓E：/+專=1Q悟）的左、右頂點,Q為橢圓E的上頂點怎9 =1.（1）求橢圓£?的方程；（11）已知動點0在橢圓正上,兩定點叫一1,停）村（1,一*）.求PMN的面積的最大值；若直線MP與NP分別與直線1=3交于CD兩點，問:是否存在點P,使得APMN 與口（?£的面積相等？若存在，求出點P的坐標;若不存在，說明理由.22 .（本小題滿分12分）已知 /（1） = ln（l+1）+2cos x（1+N）+ ,g（x ） = cos 彳-l+af.（I）若g（z）20恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（II）確定/（1）在（T內的零點個數(shù).湖南省2021屆高三六校聯(lián)考試

12、題數(shù)學參考答案一、二選擇題題號123456789101112答案CADDCBBCBDABDBCACD1 .C 解析 2yo 或 了>3,則 c rB= <TI0<2<3BA An C rB= 1,2.3 ,故選 C.2 . A 【解析丁打 Z2 =(3+i)(2+i) = (6a) + (2a+3)i 為純虛數(shù)，由 6=0 得 a=6.故選 A.3 .D【解析】易知函數(shù)/'(l)為奇函數(shù)，排除A、C；又當0<r<3時>0,排除B；故選D.4 .D【解析】每名工作人員都有3種不同選擇，共有情形31=81種則每個人只去一個村,每個村至少有一名 工作

13、人員的情形有CAX36種一所求概率為需=故選D.oi y5 .C【解析】|a|=".b=(加,3)由(b-0)J_(2(z+b)得出一2，+a b=0.a b=2/必=12 (*+9) = 3-/.則向量。在向量6方向上的投影為%的=WL. 叫 +9令 t= J產(chǎn)+9 ,則 m2=t29 且 f3.哥=產(chǎn)三旦=吃嚀必=寧=差,顯然在3,+8)上遞減，也 7+9 t t 1故當2=3時，投影取最大值1.故選C6. B【解析】由圖易求：00=4/旬=中.0。= |OB-BD = I號一在 RtZOCD 中.CD=J己產(chǎn),顯然 OC<CD,故選 R7.B【解析】在焦點三角形】園中.2

14、sinNPHF2 = sinNPF*由正弦定理得：2|P£I = |PBI，又|尸6 | 一 |PBI=2a,可解得：|PBI=4a.|PF2|=2a,三角形?F1F2中,由IPFJ+|PBl>l尸F(xiàn)zl得河a+2a>2c,，Y3,則lVe<3故選B.8.C【解析】設廠£Q,則D(z+r)=D(z),所以。工)為周期函數(shù)，且任意非零有理數(shù)均為其周期，故A、D 不對；又D(m) = D(才).所以是偶函數(shù).C對.故選C.9.BD【解析】對于A,若兩直線平行，則它們的斜率都不存在或相等，不正確；對于C,若直線a的方向向量垂 直于平面a的法向量則直線aUa或。a

15、,不正確故選BD.10. ABD【解析】采用不完全歸納可得，數(shù)列3,3,5,5,7,7,9,9,，不難求出AB正確，而=2一 1,故C錯誤，對于D,數(shù)列8的料100項和為：一1+33十55+77+9= 2X50 = 100,故選ABD.另解：令 = 2G1 為N” 有 Ci 24-t-l (221 1 =2 9 合 71 = 2% 兒 6 N” 有。2什2-a 笈=2 ,故血 1 為以 1 為首項. 2為公差的等差數(shù)列，0>為以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.則?！薄?2-1,牝情=2+1.易得ABD 正確.六校聯(lián)考數(shù)學試題(L)參考答案一111.I3C【解析】由題有丁=九，則3=2,又由

16、對稱軸才=尚可得,2X"十伊=般/ez且I夕I V言,則夕=一季， 1C/1乙乙0故 y（x） =2cos（2xy ），對于 A,/（需）=1#0.誤;對于 B.nC 吉號，則 2x16 吉,U貝寸 /（x） E E氫療1,正確；對于 3 sin1 a-cos1 a = 一 cos 2a = .且 a£（0,等）9 則 2q 6（0,九），故COS 2a=卷，sin 2a = "1-,而 /（a+子）=2cos（2a 十卷）=COS 2a一點sin 2a正確；對于 D. /<T）= 2cos 2Q一"），應將g（i）=2cos 2才的圖象向右平移既

17、個單位錯誤.故選BC.12. ACD【解析】顯然公共弦AB在棱，上，連接OE.aE.QzEQiQ,QA, 則OE= /。尺一由=網(wǎng).容易證明O ,。2,0，E四點共圓,且/OiEQ =60°,*OiOs=OEsin 60。=親設 8i=4 .OGj/z，在OOiQ中，由余弦定理有01。=?=*+的+”>3442，1442年，5八成怯W4g,y = ± X AEX SA（n, a<!故選 ACD.三、填空題13. 0. 8186【解析】。（79<X<109） = P（-0<X&+2a） =/。（必一a<X+。）+十產(chǎn)（一2（rCXq

18、L20）=O. 8186.14j9=sin緡（答案不唯一）【解析】答案不唯一，如："/） = （n一4）2/3=$出萼等. W，乙15, 17【解析】令/=1可得（a+D 26 = 192,解得a = 2,則展開式中的常數(shù)項為2><亡+0=17.16.3 2X3'（rGN'）【解析】7=1X22 + 1X2】+1X2o,'/（7）=3.設=a。X2'+卬 X2't+a1X2i+%X2L/（）=z+l,則使得 /（）=，+1的有。個， 2rH -】r/. W 2"力=WCX吠1 = 2X3'" £

19、 N g2ri四、解答題17 .【解析】（I）'2S” = /+3， 2S'T=（-1）2+3G?-1）,>2, 2 分兩式相減得：2即=2+2則為=x+15）2）. 4分由2sl =2ai =4知a =2,也滿足上式，故/ =，7+lGN' ）.5 分0a”a”+i （n+l）（7i+2） /i+l+2.6%=式=及帚？ 7分。一2+1 *=25+2） -人（外+2）大玄入；,）?，由存在性得 8分而而危產(chǎn)2（”+2+4）4（當且僅當，尸2時取等號）.故4W（-8,兼.10分18 .【解析】（I ）/，=喙sin 2工一壯族 2q sin 2H-"1c

20、os 2/l = sin（27-）1, 2 分乙C乙 乙乙0Vx :一僉,ff ，一-/一-與,.一亨Wsin（2i-）WL二當sin（21） = l即22一專=勺避1=當時,八1）取得最大值0： 4分當sin（2_£）= 一，即21一堂=一g.得=一聶時.八）取得放小值一噂一1 6分O乙QJ人乙乙（D）/（9 ）=sin（A-*）l = l 且 AS（0,Q ,"=拳 8 分由余弦定理。2=/+/ 2XcX0cos A 得c?6乃+24=。9 10 分解彳等c=4,&或 2乃 12 分另解:"（Jf）=sin（A_,）_l = _：l 且 AG（0,3,

21、.A=/, 8 分由正弦定理急=右有An E=§，則B甘或E得，9分當B=合時"=合，由勾股定理有c=4鹵. 10分v4當8=學時,C=A=費，則c=a = 2久. 3O綜上,=4/或2點.12分19 .【解析】(I )甲恰好勝2局的概率為P=qo. 6" X0. 4=0. 432. 4分(n)甲所勝局數(shù)x可取o,i,2.P(x=0) = (0. 42=0.16,PCr=l) = Q0. 6X0, 4X0. 4 = 0.192, P(=2) = C10. 6X0. 6+00. 6X0,4X0. 6=0. 648, 6分二甲所勝局數(shù)1的分布列為X012P0. 160

22、.1920. 648EGr）=0X0.16+1X0.192+2XQ 648=1. 488. 8 分采用“3局2勝制''時，甲獲勝的概率為 Pl =Q0. 6X0. 4X0. 6+©0. 6X0. 6=0, 648> 采用“5局3勝制''時，甲獲勝的概率為P2 =C30. 62X0.42 X0. 6+aO. 62 XO. 4X0. 6+dO. 6i=0. 68256, 10 分對甲而言顯然“5局3勝制''更有利.由此可得出：比賽局數(shù)越多，對水平高的選手越有利. 12分20 .【解析】（I ）易知平面ABE平面CDGF,且A、E、F、

23、G四點共而于平面AEFG故AE/GF.同理AG/EF. 故AEFG為平行四邊形，故AE= FG,過點G作CF的垂線，垂足為N,則AABEAGjVF, FN= BE= 1, FC=4+1=5,AC=2 笈,AF= A.° FC 5 5 夜 tan e="=AC 2724(口)以A為原點.AB、AD為軸建立直角坐標系，MC=2.B(2.0,0).M(22,2).港=(2,0,0),京=(222). 設平面ASM的法向量雁= (%wR .m Ab=2才=0, 則-a設？=lz= -1.取機=(0.1-13 8分m 八同=21+2y+2n=0.又 E(2,0,13尸(292.5),

24、就=(2,0,1)(2,2,53設平面 AEFG 的法向量 = Cr，wE)叫 AE=2±+z=0, AF=2z+2)+5n=0,設才=1,則 z= - 2.y=4,取=(1.一24), 10分mi / 2+( - 4)>/42則 cos<»n)=-=-=尸，72 72I7設平面ABM與平面AEFG所成就二面角為«,則§ina=Jl（季）”=g為所求. 12分21 .【解析】（I ）由題，意得八（一a ,0）Ka.O） Q（09y/3 ），則八Q= （a9-/3 ） ,QB=（，一代）.由AQ QB=1,得3=即 a=29所以橢圓E的方程為9

25、+4 = L 3分q 0（口）設 P（2cos /偌sin 0）.直瓏 MN：»=一告即：3+23=0.點P到直線MN的距離d=I6cps）”52。|一竺1-曙",3）|MN| = 餐，則Sam,=4|MN|四2點即晶的3 = 2疽 設P5 ,*）, IMN | = /需點P到在線MN的距離小 J帶&.V 13=: |MN1 d =/ 13Mo +2i I, 直或MP：=-不/（7+1）十悖,令工=3,可得c（3,饕甘+管r +冬直線PNk沿立一1）一去令z=3可得Q（3,涪一等卜(34+2加)(/4-3)蘇T,P到直緩CD的距離為& = | 3-.ro I 六校聯(lián)考數(shù)學試題（L）參考答案一510分S“m=!|CD| 義=4 3、*華 x(3q.V AMPN 與面積相等, 313g+2” | =43.丁0 + 2ynxo 1X(3 Tu)2 ,故 3、ro+2y）= O（舍）或 | 公一1 | =（3jrD）2 解得工）=J，帶入橢圓方程得認尸士卒， V0故點尸停，窄）或停,一窄）.12分22 .【解析】（I ）更然gQ ）為偶函數(shù)故只需小