矩陣論 線性空間

1、常用記號(hào)一 用R 表示實(shí)數(shù)域，用C表示復(fù)數(shù)域。 R n 表示n維實(shí)向量集合； C n 表示n維 復(fù)向量集合； 表示 實(shí)矩陣集合； 表示 復(fù)矩陣集合；nmRnmCnmnm)(,;)(,rArankCACrArankRARnmnmrnmnmr常用記號(hào)二 n階單位矩陣 n階矩陣的行列式 矩陣 A的范數(shù) 向量b的范數(shù) n階矩陣A的 逆矩陣A-1 ; 矩陣A的廣義逆矩陣A+ , A-.),det();1 , 1 , 1 (nnnCAAAdiagIbA;nm復(fù)數(shù)基本知識(shí) 稱下列形式的數(shù)為復(fù)數(shù) z = a + b i 其中a , b 都是實(shí)數(shù)，i 2 = -1; 稱a 是復(fù)數(shù)z的實(shí)部， b i 是復(fù)數(shù)z的虛

2、部； Z的共扼復(fù)數(shù)為biaz代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理 任意n次多項(xiàng)式必有n個(gè)復(fù)根。即).()(210111nnnnnnxxxaaxaxaxannnaannaan01) 1(;2121其中第一章第一章 第一節(jié)第一節(jié) 線性空間線性空間主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：線性空間的定義及其性質(zhì)線性空間的定義及其性質(zhì)1 1向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性概述概述 線性空間是n維向量空間R n 的推廣,是矩陣?yán)碚摰幕A(chǔ)。線性空間是一類具有“線性結(jié)構(gòu)線性結(jié)構(gòu)”的元素集合，這種線性結(jié)構(gòu)是通過兩種線性運(yùn)算“加法”、“數(shù)乘”在一定公理體系下給出的。數(shù)學(xué)空間是指一個(gè)賦予了“某種結(jié)構(gòu)”的集合。定義 設(shè)V是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是一個(gè)

3、數(shù)域（如實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C），如果在V上規(guī)定了下列兩種運(yùn)算，則稱V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間1加法運(yùn)算 對(duì)V的任意兩個(gè)元素x、y，都有V的 唯一的“和” ，且滿足（1）交換律 x+y=y+x;（2）結(jié)合律 x+(y+z)=(x+y)+z;（3）存在0元 x+0=x;（4）存在負(fù)元-x x+(-x)=0 .Vyx2數(shù)乘運(yùn)算 對(duì)V的任一元x，及F的任一數(shù)k，都存在唯一的“積” ，且滿足（5）分配律 k(x+y)=k x+k y（6）分配律 (k+l)x=k x+lx（7）結(jié)合律 k(lx)=(k l)x（8）1x=xVkx 線性空間的元素也稱為向量，它比n維向量有更廣泛的含義。注意注意：上述定義所規(guī)

4、定的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算也稱為V的線性運(yùn)算，滿足“封閉性”，即對(duì)V的任意兩個(gè)元素及F的任一數(shù)k，所定義的“和” 與“積” 仍屬于V。當(dāng)F是實(shí)數(shù)域時(shí)，V稱為實(shí)線性空間；當(dāng)F是復(fù)數(shù)域時(shí)，V稱為復(fù)線性空間。n維實(shí)向量空間是線性空間，仍記作 ；n維復(fù)向量空間是線性空間，仍記作 。 nRnC可以驗(yàn)證：,baC例4 閉區(qū)間a,b上所有連續(xù)函數(shù)的集合在函數(shù)加法和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)線性空間,記為線性空間實(shí)例線性空間實(shí)例例1 所有 型矩陣在矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)線性空間，記為nm, 2 , 1 , 0,|2210niCaxaxaxaaxPinnn 例3 常系數(shù)二階齊次線性微分方程的解集合對(duì)于函數(shù)加法與數(shù)與函

5、數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)線性空間。例2 所有次數(shù)不超過n 的多項(xiàng)式在多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)線性空間,記為nmnmCR或或相容的線性非齊次方程組解的全體按中的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間bAx nC非線性空間舉例非線性空間舉例所有n階可逆矩陣在矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算下不構(gòu)成線性空間（0矩陣不可逆）。所有次數(shù)等于n 的多項(xiàng)式在多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算下不構(gòu)成線性空間。定理定理 設(shè)設(shè)V V是數(shù)域是數(shù)域F F上的一個(gè)線性空間，則上的一個(gè)線性空間，則（1 1）V V的零元是唯一的；的零元是唯一的；（2 2）V V中任意元的負(fù)元是唯一的；中任意元的負(fù)元是唯一的；（3 3）（4 4）如果）如果 ，則，則k=0k=0或或 。

6、FkVk,) 1(, 00, 000k0（證明略）（證明略）線性表示線性表示則稱則稱x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p線性表示線性表示，稱稱x x是是x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p的線性組合的線性組合。xxxxp,21p,21ppxxxx 2211例在二維空間例在二維空間R R2 2中，任意一個(gè)二維向量中，任意一個(gè)二維向量 都可由標(biāo)準(zhǔn)單位向量都可由標(biāo)準(zhǔn)單位向量e e1 1 , e , e2 2 線性表示。線性表示。22112121,10,01exexxxee設(shè)設(shè)V V是一個(gè)線性空間，是一個(gè)線性空間，是是V V的向量組。的向量組。

7、如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù)使得使得例在二維空間例在二維空間R R2 2中，任意一個(gè)二維向量中，任意一個(gè)二維向量 都可由都可由 向量向量f f1 1 , f , f2 2 線性表示。線性表示。11,1121ff21xx其中則有22122121ffxxxx例例3在三維空間R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得321,111,011,001321XXX332211XkXkXk,321111011001321kkk求解321332321kkkkkk3, 1, 1321kkk注：注：討論向量組的線性表示可化為討論線性方程組的求討論向量組的線性表示可化為討論線性方程組的求解問題。解問題。如果向量組如

8、果向量組 與與 可以相互表示，可以相互表示，則稱向量組則稱向量組 與向量組與向量組 是等價(jià)的。是等價(jià)的。 p,21p,21q,21q,21p,21給定線性空間給定線性空間V V 的兩個(gè)向量組的兩個(gè)向量組 與與 ，如果如果 中的每一個(gè)向量都可以由向量組中的每一個(gè)向量都可以由向量組 線性表示，則稱向量組線性表示，則稱向量組 可以由向量組可以由向量組 線性表示；線性表示； p,21q,21p,21q,21q,21等價(jià)向量組具有：自反性、對(duì)稱性、傳遞性等價(jià)向量組具有：自反性、對(duì)稱性、傳遞性 設(shè)設(shè)x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p是線性空間是線性空間V V 的向量組。如的向量組。

9、如果存在一組不全為果存在一組不全為0 0的數(shù)的數(shù)k k1 1 ,k ,k2 2 , ,k , ,k p p使得使得02211ppxkxkxk則稱向量組則稱向量組x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p是線性相關(guān)的；是線性相關(guān)的；否則，就稱向量組否則，就稱向量組x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p是線性無是線性無關(guān)的。關(guān)的。線性相關(guān)線性相關(guān)命題一命題一 向量組向量組x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p是線性無關(guān)的充要是線性無關(guān)的充要條件是僅當(dāng)條件是僅當(dāng)k k1 1 =k =k2 2 =k =k p p=0 =0 時(shí)成立時(shí)成立02211

10、ppxkxkxk命題二命題二 向量組向量組x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x p p是線性相關(guān)的充是線性相關(guān)的充要條件是其中的一個(gè)向量可由其余的向量線性表要條件是其中的一個(gè)向量可由其余的向量線性表示。示。等價(jià)命題等價(jià)命題1、在線性空間、在線性空間 中，中， nmnmCR或或其中其中 表示第表示第i行元素第行元素第j列元素列元素1，其它元素為，其它元素為0的的矩陣。矩陣。ijE),;,(njmiEij2121線性無關(guān)。線性無關(guān)?？梢宰C明：可以證明：, 2 , 1 , 0,|2210niCaxaxaxaaxPinnn2 2、在線性空間、在線性空間nxxx,21中，中， 線性無關(guān)。線

11、性無關(guān)。例例4 4 在四維空間在四維空間R R4 4中，討論下列向量組的線性相關(guān)性。中，討論下列向量組的線性相關(guān)性。1001,1021,0011,01204321解解 設(shè)存在一組數(shù)設(shè)存在一組數(shù) ，4321,xxxx044332211xxxx010011021001101204321xxxx000220431321432xxxxxxxxx04321xxxx使得使得即即改寫成線性方程組為改寫成線性方程組為求解線性方程組得唯一求解線性方程組得唯一解解4321,線性無關(guān)線性無關(guān)思考思考在四維在四維線性空間線性空間 中，討論下列向量組的線性相關(guān)性。中，討論下列向量組的線性相關(guān)性。1001,1021,00

12、11,01204321AAAA22R并稱并稱 r r 為向量組的秩，記為為向量組的秩，記為則稱則稱 是向量組是向量組 的極大無關(guān)組；的極大無關(guān)組；p,21r,21(2)(2)任一向量任一向量 可由可由 線性表示；線性表示；ir,21（1） 是線性無關(guān)組，是線性無關(guān)組，r,21rrankp),(21p,21說明：一般地，向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但向說明：一般地，向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但向量組的每一個(gè)極大無關(guān)組都與向量組自身是等價(jià)的，并量組的每一個(gè)極大無關(guān)組都與向量組自身是等價(jià)的，并且向量組的每一個(gè)極大無關(guān)組中所含有的向量的個(gè)數(shù)都且向量組的每一個(gè)極大無關(guān)組中所含有的向量的個(gè)數(shù)都等于向

13、量組的秩。等于向量組的秩。定義定義 設(shè)設(shè) 是線性空間是線性空間V V的向量組的向量組, ,如果如果第二節(jié)第二節(jié) 線性空間的基與坐標(biāo)線性空間的基與坐標(biāo)主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、線性空間的基與向量在基下的坐標(biāo)一、線性空間的基與向量在基下的坐標(biāo)二、坐標(biāo)變換與過渡矩陣二、坐標(biāo)變換與過渡矩陣設(shè)設(shè)x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n是線性空間是線性空間V V的向量組的向量組, ,如果如果 （1 1） x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n是是V V的線性無關(guān)組，的線性無關(guān)組， （2 2）V V的任一向量的任一向量x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x

14、 , ,x n n線性表示；線性表示；則稱則稱x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n是線性空間是線性空間V V 的一組基。的一組基。稱稱n n是線性空間是線性空間V V 的維數(shù)，記作的維數(shù)，記作dimVdimV?；蚍Q線性空間或稱線性空間V V 是是n n維線性空間維線性空間即：即：線性空間的維數(shù)是其基中所含向量的個(gè)數(shù)。線性空間的維數(shù)是其基中所含向量的個(gè)數(shù)。一、線性空間的基與向量在基下的坐標(biāo)一、線性空間的基與向量在基下的坐標(biāo)若在若在V V中可以找到任意多個(gè)線性無關(guān)的向量，則稱中可以找到任意多個(gè)線性無關(guān)的向量，則稱V V是無限維線性空間是無限維線性空間例例1 1、 證明：在三維

15、向量空間證明：在三維向量空間R R3 3中，中， x x1 1 ,x ,x2 2 , , x x3 3 與與y y1 1 ,y ,y2 2 , y , y3 3都是線性空間都是線性空間R R3 3 的一組基的一組基100,010,001321xxx111,011,001321yyy說明：線性空間的基不唯一說明：線性空間的基不唯一這是因?yàn)椋哼@是因?yàn)椋? 01100010001, 01100110111從而它們各自都線性無關(guān)，從而它們各自都線性無關(guān)， 而對(duì)于任意向量而對(duì)于任意向量,),(3321RxT分別有：分別有：332211xxxx33232121)(xxyx）（例例2 2、RxRxn n表示

16、所有次數(shù)不超過表示所有次數(shù)不超過n n 的多項(xiàng)式所構(gòu)的多項(xiàng)式所構(gòu)成的一個(gè)線性空間成的一個(gè)線性空間, ,則則: :可以驗(yàn)證：可以驗(yàn)證：1 , x , x 1 , x , x 2 2 , , x , , x n n是線性空間是線性空間RxRxn n 的一組基的一組基, Rx, Rxn n的維數(shù)是的維數(shù)是n+1n+1。RxRxn n是是n+1n+1維線性空間維線性空間RxRx 表示實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成的一個(gè)線性空間，表示實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成的一個(gè)線性空間，則則: :RxRx 是無限維線性空間是無限維線性空間因?yàn)閷?duì)于任何整數(shù)因?yàn)閷?duì)于任何整數(shù)N，多有，多有N個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無關(guān)的向量1 , x , x

17、 1 , x , x 2 2 , , x , , x N N。則則E E ijij:i=1,2, ,m;j=1,2, ,n:i=1,2, ,m;j=1,2, ,n是線性空間是線性空間則則 是是m mn n 維線性空間維線性空間nmC列第行第jiEij000010000令令E E ijij為第為第(i,j)(i,j)元為元為1 1，其余元為，其余元為0 0的的 m mn n矩陣矩陣, ,nmC的維數(shù)是的維數(shù)是 m mn n 。nmC例例3 3、 表示所有表示所有m mn n 矩陣構(gòu)成一個(gè)線性空間，矩陣構(gòu)成一個(gè)線性空間，nmC的一組基的一組基, ,引理引理設(shè)設(shè)x x1 1 ,x ,x2 2 , ,

18、x , ,x n n是線性空間是線性空間V V 的一組基，則對(duì)于的一組基，則對(duì)于V V的任一元的任一元x x， x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n唯一線性表示。唯一線性表示。nnnnxxxxxxx22112211證明證明 設(shè)設(shè)x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n有兩種線性表示：有兩種線性表示：niii, 2 , 1,0ii0)()()(222111nnnxxxx x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n是線性空間是線性空間V V 的一組基，它們線性無關(guān)，的一組基，它們線性無關(guān)，坐標(biāo)坐標(biāo) 設(shè)設(shè)x x1 1 ,

19、x ,x2 2 , ,x , ,x n n是線性空間是線性空間V V 的一組基，的一組基，則稱則稱x x由由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n唯一線性表示的系數(shù)為向唯一線性表示的系數(shù)為向量量x x在基在基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n下的坐標(biāo)，記為下的坐標(biāo)，記為X.X.nnxxxx2211TnX21nnxxx2121即設(shè)即設(shè)則則引入坐標(biāo)的意義就在于將抽象的向量與具體的引入坐標(biāo)的意義就在于將抽象的向量與具體的數(shù)組向量聯(lián)系起來了。數(shù)組向量聯(lián)系起來了。說明：說明：在不同的坐標(biāo)系（或基）中，同一向量的坐在不同的坐標(biāo)系（或基）中，同一向量的坐標(biāo)一般是不

20、同的。例如：標(biāo)一般是不同的。例如：例例4 4、在、在R R3 3中，中， x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3是與是與y y1 1 ,y ,y2 2 , y , y 3 3都都是線性空間是線性空間R R3 3 的一組基的一組基100,010,001321xxx111,011,001321yyy向量向量3321),(RxT在這兩組基下的坐標(biāo)分別為在這兩組基下的坐標(biāo)分別為T),(33221,),(321T引理引理 n n維線性空間維線性空間V V 的任意的任意n n個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無關(guān)的向量x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n都可構(gòu)成線性空間都可構(gòu)成線

21、性空間V V 的一組基。的一組基。證明證明 設(shè)設(shè)x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n 是是n n維線性空間維線性空間V V 的任意一組的任意一組線性無關(guān)的向量，線性無關(guān)的向量，x x是是V V的任一向量，只要證明：的任一向量，只要證明：設(shè)存在一組不全為設(shè)存在一組不全為0 0的數(shù)的數(shù)k k , , l l 1 1 , , l l 2 2 , , , , l l n n使使02211nnxlxlxlkx由于由于x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n 是線性無關(guān)的，故是線性無關(guān)的，故0knklklklxxxxn2121所以所以X X可由可由x x1 1 ,x

22、 ,x2 2 , ,x , ,x n n是線性表示。是線性表示。X X可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n是線性表示即可是線性表示即可進(jìn)而進(jìn)而因此因此x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n可構(gòu)成可構(gòu)成V V 的一組基的一組基 推論推論1 1 在在n n維線性空間中，任意維線性空間中，任意m(mn)m(mn)個(gè)個(gè)向量必是線性相關(guān)的向量必是線性相關(guān)的 推論推論2 2 在在n n維線性空間中，任意兩組基維線性空間中，任意兩組基中所含的向量的數(shù)目相同。中所含的向量的數(shù)目相同。 下面，討論當(dāng)線性空間的基改變時(shí)，向量的坐標(biāo)下面，討論當(dāng)線性空間的基改變時(shí)，向

23、量的坐標(biāo)如何變化，為此，首先介紹過渡矩陣的概念。如何變化，為此，首先介紹過渡矩陣的概念。二、基變換與過渡矩陣二、基變換與過渡矩陣 x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n與與y y1 1 ,y ,y2 2 , , y , , y n n是是n n維線性空維線性空間間V V的兩組不同基。則由基的定義，有的兩組不同基。則由基的定義，有nnnnnnnnnnxpxpxpyxpxpxpyxpxpxpy22112222112212211111稱稱P P是由基是由基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n到基到基y y1 1 ,y ,y2 2 , , y , , y n

24、n的過的過渡矩陣。渡矩陣。Pxxxyyynn2121記作：記作：nnijpP)(其中其中過渡矩陣結(jié)論過渡矩陣結(jié)論(1) (1) 過渡矩陣過渡矩陣P P是可逆矩陣；是可逆矩陣；同一向量在不同基下的坐標(biāo)是不同的。設(shè)同一向量在不同基下的坐標(biāo)是不同的。設(shè)YyyyXxxxxnn,2,121得坐標(biāo)變換公式得坐標(biāo)變換公式(2) (2) 設(shè)設(shè)P P是由基是由基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n到基到基y y1 1 ,y ,y2 2 , , y , , y n n的的過渡矩陣，則過渡矩陣，則P P-1-1是由基是由基y y1 1 ,y ,y2 2 , , y , , y n n到基到基x

25、 x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x n n的過渡矩陣。的過渡矩陣。XPY1PYxxxn,21由于基向量線性無關(guān)，則由于基向量線性無關(guān)，則,PYX 例例5 5、求向量、求向量 在基在基x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)121,111,011,001321XXX解法解法1 1： 由向量坐標(biāo)的定義，可設(shè)：由向量坐標(biāo)的定義，可設(shè)：332211XXX332321121得方程組得方程組解方程組即可解方程組即可由自然基到基由自然基到基x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3的過渡矩陣為的過渡矩陣為1001100111P1111211001100

26、111XPY解法解法2 2：,100110111P求得求得利用坐標(biāo)變換公式，則基利用坐標(biāo)變換公式，則基x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為自學(xué)自學(xué)P8例例1.2.6；練習(xí)；練習(xí)P23：4第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、子空間與生成子空間一、子空間與生成子空間二、子空間的運(yùn)算二、子空間的運(yùn)算三、子空間的直和三、子空間的直和 1 1、定義：設(shè)、定義：設(shè)V V是一個(gè)線性空間，是一個(gè)線性空間，S S是是V V的一個(gè)子集，的一個(gè)子集，如果如果S S關(guān)于關(guān)于V V的加法及數(shù)乘也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則的加法及數(shù)乘也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱稱S S是是V

27、 V的一個(gè)子空間。仍記為的一個(gè)子空間。仍記為 定理定理 : : 線性空間線性空間V V的一個(gè)子集的一個(gè)子集S S是是V V的一個(gè)子空的一個(gè)子空間當(dāng)且僅當(dāng)間當(dāng)且僅當(dāng)S S關(guān)于關(guān)于V V的加法及數(shù)乘是封閉的，即的加法及數(shù)乘是封閉的，即VS SyxFSyx,說明：每個(gè)非零線性空間至少有兩個(gè)子空間，一個(gè)是說明：每個(gè)非零線性空間至少有兩個(gè)子空間，一個(gè)是它自身，另一個(gè)是僅由零向量所構(gòu)成的子集合，稱為它自身，另一個(gè)是僅由零向量所構(gòu)成的子集合，稱為零子空間。零子空間。一、子空間與生成子空間一、子空間與生成子空間 設(shè)設(shè)x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k 是線性空間是線性空間V V的任意一

28、組向量，的任意一組向量，則稱所有則稱所有x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k線性表示的集合構(gòu)成的子空線性表示的集合構(gòu)成的子空間（可以驗(yàn)證其為間（可以驗(yàn)證其為V V的子空間）為生成子空間，記的子空間）為生成子空間，記),(:212211kkkxxxLxxxxVxL例例 在三維向量空間在三維向量空間R R3 3中，中，e e1 1 ,e ,e2 2 , e , e 3 3是自然基。是自然基。則則 e e1 1 ,e ,e2 2的生成子空間是的生成子空間是x x1 1 -x -x2 2 平面；平面；e e2 2 ,e ,e3 3的生成子空間是的生成子空間是x x2 2 x x3

29、 3 平面；平面；e e1 1 ,e ,e3 3的生成子空間是的生成子空間是x x1 1 x x3 3 平面；平面；2 2、生成子空間、生成子空間例例1、n元齊次方程組元齊次方程組 的解的集合構(gòu)成線性空間，的解的集合構(gòu)成線性空間，Ax稱為解空間，記為稱為解空間，記為, )(AN.)(nRAN若設(shè)若設(shè) 則則,)(rArank.)(dimrnAN即即,)(AxxAN稱稱 為為A的核空間，的核空間，A的核空間的維數(shù)稱為的核空間的維數(shù)稱為A的零度。的零度。)(AN例例2、矩陣、矩陣A的列空間：的列空間：.,)(nnmRxRAAxyyAR矩陣矩陣A的列空間又稱為的列空間又稱為A的值域，記為的值域，記為設(shè)

30、矩陣設(shè)矩陣,21nA則則.),(21mnRL),(21nLy有有,2211Axxxxynn生成子空間的維數(shù)生成子空間的維數(shù) x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k 的任一極大無關(guān)組構(gòu)成生成子空間的任一極大無關(guān)組構(gòu)成生成子空間L(xL(x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k ) ) 的基。的基?；臄U(kuò)充定理基的擴(kuò)充定理 n n維線性空間維線性空間V V 的任意一組線性無關(guān)的任意一組線性無關(guān)的向量的向量x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x r r 都可擴(kuò)充為線性空間都可擴(kuò)充為線性空間V V 的一組的一組基。（可用歸納法證明）基。（可用歸納法證明）

31、記記dim L (xdim L (x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k )= r )= r r r為向量組為向量組x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k的秩的秩. .從而有：從而有：;)(dimrankAARnANAR)(dim)(dim二、子空間的運(yùn)算二、子空間的運(yùn)算 設(shè)設(shè)S S1 1 ,S ,S2 2 是線性空間是線性空間V V 的兩個(gè)子空間，定義子的兩個(gè)子空間，定義子空間的交空間與和空間（仍為空間的交空間與和空間（仍為V V的子空間）：的子空間）：,2121SxSxVxSS,22112121SxSxxxxVxSS例如，在線性空間例如，在線性空間R3中

32、，中， v v1 1 表示過原點(diǎn)的直線表示過原點(diǎn)的直線L L1 1 上所有上所有向量形成的子空間，向量形成的子空間，v v2 2 表示另一條過原點(diǎn)的直線表示另一條過原點(diǎn)的直線L L2 2 上所上所有向量形成的子空間，則有向量形成的子空間，則21VV 是由原點(diǎn)（是由原點(diǎn)（ L L1 1 與與L L2 2的交點(diǎn)）構(gòu)成的零子空間；的交點(diǎn)）構(gòu)成的零子空間； 21VV 是由是由 L L1 1 與與L L2 2所決定的平面上全體向量構(gòu)成的所決定的平面上全體向量構(gòu)成的子空間。子空間。 子空間的維數(shù)公式子空間的維數(shù)公式要證明要證明)dim()dim()dim()dim(212121SSSSSStSSsSrS)

33、dim(,)dim(,)dim(2121tsrSS)dim(21設(shè)設(shè)S S1 1 ,S ,S2 2 是線性空間是線性空間V V 的兩個(gè)子空間，則的兩個(gè)子空間，則證明證明記記將它分別擴(kuò)充為將它分別擴(kuò)充為S S1 1 ,S ,S2 2的基的基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x t t , y, y1 1 ,y ,y2 2 , , y , y r-t r-t 與與x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x t t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , ,z , ,z s-t s-t 事實(shí)上，取事實(shí)上，取 的一組基的一組基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x

34、 t t, ,21SS 只需證明只需證明S S1 1+S+S2 2的基恰好是的基恰好是x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x t t , , y y1 1 ,y ,y2 2 , ,y , ,y r-t r-t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , ,z , ,z s-t s-t 0111111tststrtrttzqzqypypxkxk21SSxttxlxlx11設(shè)設(shè))(111111tststrtrttzqzqypypxkxkx 記記則則從而可設(shè)從而可設(shè)由由)(1111tststtzqzqxlxlx進(jìn)而得進(jìn)而得x=0,x=0,及及01111trtrttypypxkxk 故向量

35、組故向量組x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x t t , , y y1 1 ,y ,y2 2 , ,y , ,y r-t r-t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , ,z , ,z s-t s-t 線性無關(guān)，并構(gòu)成線性無關(guān)，并構(gòu)成S S1 1+S+S2 2的基。的基。0)(1111tststtzqzqxlxl011tstqqll得得由由x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x t t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , ,z , ,z s-t s-t 為為S S2 2的基知的基知011trtrtyppkk),(),(212211LLLL7311,101

36、2,1111,01212121),(212121LLLL121,2121,3dim21 LL121,例例3 3、求、求的交空間與和空間的維的交空間與和空間的維數(shù)與基數(shù)與基解解 由于由于并且并且是是的極大線性無關(guān)組，故的極大線性無關(guān)組，故是和空間是和空間L L的一組基。的一組基。由維數(shù)公式得交空間的維數(shù)是由維數(shù)公式得交空間的維數(shù)是1 1，現(xiàn)在要求交空間，現(xiàn)在要求交空間的一組基。的一組基。得出基礎(chǔ)解系（得出基礎(chǔ)解系（1 1，-4-4，3 3，-1-1）T T22112211llkk0703020221222121212121llklkkllkkllkkT4, 3, 2, 5342121是交空間的一

37、組基。是交空間的一組基。 21LL 設(shè)設(shè)，則則解齊次線性方程組解齊次線性方程組則則022112211llkk 設(shè)設(shè)S S1 1 ,S ,S2 2 是線性空間是線性空間V V 的兩個(gè)子空間，如果交空的兩個(gè)子空間，如果交空間間=0=0，則稱和空間為直和，記做，則稱和空間為直和，記做三、子空間的直和三、子空間的直和21SS 定理定理: : 設(shè)設(shè)S S1 1 ,S ,S2 2是線性空間是線性空間V V的兩個(gè)子空間，則下列命的兩個(gè)子空間，則下列命題等價(jià)題等價(jià)221121,SS)dim()dim()dim()4(2121SSSS21SS 可唯一表示成可唯一表示成的任意元的任意元 （2 2）和空間）和空間2

38、1SS 為直和；為直和；（1 1）和空間）和空間（3 3）若）若 是是S S1 1的基，的基，r,21t,21是是S S2 2的基，的基，則則 是是,21rt,2121SS 的基。的基。自學(xué)自學(xué)P11定理定理1.3.5命題命題 設(shè)設(shè)S S是是n n維線性空間維線性空間V V 的一個(gè)子空間，則存在子空的一個(gè)子空間，則存在子空間間T , T , 使得使得TSV并稱并稱T T是是S S的補(bǔ)空間。的補(bǔ)空間。證明：證明：設(shè)設(shè)x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,x k k是是S S的一組基，則它可擴(kuò)充為的一組基，則它可擴(kuò)充為V V的一組基的一組基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,x , ,

39、x k k，x x k+1k+1， ,x ,x n n, ,令令),(1nkxxspanT則則)dim()dim(dimTSV從而從而TSV練習(xí)練習(xí)P23：5, 6第四節(jié)第四節(jié) 線性映射線性映射主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、一、線性映射線性映射二、線性映射的矩陣表示二、線性映射的矩陣表示三、線性映射的運(yùn)算（自學(xué)）三、線性映射的運(yùn)算（自學(xué)）四、不變子空間（自學(xué)）四、不變子空間（自學(xué)）一、線性映射（變換）的定義及性質(zhì)一、線性映射（變換）的定義及性質(zhì)則稱則稱T T是從是從V V到到W W的一個(gè)線性映射或線性算子。的一個(gè)線性映射或線性算子。212121)(,TxTxxxTFVxx成立設(shè)設(shè)V,WV,W是數(shù)域是

40、數(shù)域F F上的兩個(gè)線性空間，上的兩個(gè)線性空間，T T是從是從V V到到W W的一個(gè)的一個(gè)變換（或映射），如果對(duì)于變換（或映射），如果對(duì)于當(dāng)當(dāng) V=WV=W時(shí)時(shí), T, T也稱為也稱為V V上的一個(gè)線性變換。上的一個(gè)線性變換。xTxxxVVT:00:TxxVVT例例1 1 恒等變換恒等變換例例2 0-2 0-變換變換線性變換舉例：線性變換舉例：例例3 3 求導(dǎo)運(yùn)算是多項(xiàng)式空間求導(dǎo)運(yùn)算是多項(xiàng)式空間C C n n x x 上的線性變換。上的線性變換。)( )(:,)()(0 xpxpxCxCTCaxaxpxpxCnndxdniiiin例例4 4 定義在閉區(qū)間定義在閉區(qū)間a,ba,b上的所有連續(xù)函數(shù)的

41、集合上的所有連續(xù)函數(shù)的集合Ca,bCa,b是一是一個(gè)線性空間，則個(gè)線性空間，則Ca,bCa,b的積分運(yùn)算是線性變換。的積分運(yùn)算是線性變換。,)(,)()(baCxfdxxfxfTxa線性映射（變換）線性映射（變換） 有以下性質(zhì)：有以下性質(zhì)：WVT:;)() 1 (WVT; )()()2(TT（3 3）T T將將V V中的線性相關(guān)向量組映射為中的線性相關(guān)向量組映射為W W中的線性相中的線性相關(guān)向量組，但把線性無關(guān)向量組不一定映射為關(guān)向量組，但把線性無關(guān)向量組不一定映射為W W中的中的線性無關(guān)向量組；線性無關(guān)向量組；（4 4）設(shè)）設(shè) 則則,1VV ,)(1WVT并且并且.dim)(dim11VVT

42、線性變換的值域與核線性變換的值域與核設(shè)設(shè)T T是是n n維線性空間維線性空間V V的一個(gè)線性變換，定義的一個(gè)線性變換，定義T T的值域的值域R(T)R(T)與核與核N (T)N (T)分別為分別為,)(VxTxyTR設(shè)設(shè)A A是是n n階矩陣，階矩陣，A A的值域的值域R(A)R(A)與核與核N (A)N (A)分別為分別為0:)(,)(AxRxANRxAxyARnn0:)(TxVxTN-T-T的全體像組成的集合的全體像組成的集合-零向量原像組成的集合零向量原像組成的集合實(shí)例實(shí)例求導(dǎo)運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算T T在多項(xiàng)式空間在多項(xiàng)式空間p pn n x x 上的值空間上的值空間R(T)R(T)與與核空間核

43、空間N (T)N (T)分別為分別為R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)= 1 （1 1） T T的值域的值域R(T)R(T)與核與核N (T)N (T)都是都是V V的子空間；的子空間；（3 3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.dim(R(T)+dim(N(T)=n.則則),()()2(21nTTTLTR定理：設(shè)定理：設(shè)T T是是n n維線性空間維線性空間V V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，是是n n維線性空間維線性空間V V的基的基，n,21分別稱為象子空間，核子空間；分別稱為象子空間，核子空間；象子空間的維數(shù)象子空間的維數(shù)dim R(T) dim R(

44、T) 稱為稱為T T的秩，核子空的秩，核子空間的維數(shù)稱為間的維數(shù)稱為T T的零度（或虧）的零度（或虧）設(shè)設(shè)T T是是n n維線性空間維線性空間V V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換，是是n n維線性空間維線性空間V V的基，的基，n,21nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111ATTTnnn),(),(),(21121稱稱A A為為T T在基在基 下的矩陣。下的矩陣。n,21二、線性變換的矩陣表示二、線性變換的矩陣表示（2 2）給定）給定n n維線性空間維線性空間V V的基后，的基后， V V上的線性變換上的線性變換與與n n階矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。階矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?；蛄康南罂梢员?/p>