數字信號處理7PPT課件

1、令輸入信號x(n) =(n)，代入上式，有： (7.2)于是得到： 第1頁/共117頁又由(7.2)式可知，當nN-1時，h(n)=0, 即這個系統(tǒng)的沖激響應h(n) 是有限長度的。將ai =h(i)(i=0,1,N-1) 代入(7.1)式得到： (7.3)第2頁/共117頁將(7.3)式的兩邊進行z變換后，可以得到FIR濾波器的系統(tǒng)函數： (7.4)又由(7.4)式有： 第3頁/共117頁 因此，FIR濾波器的系統(tǒng)函數H(z)的極點都位于z=0處，為N-1階極點；而N-1個零點由沖激響應h(n)決定，一般來說，可以位于有限 z 平面的任何位置。 由于FIR數字濾波器的極點都集中在單位園內的原

2、點z=0處，與系數h(n)無關，因此FIR濾波器總是穩(wěn)定的，這是FIR數字系統(tǒng)的一大優(yōu)點。第4頁/共117頁 FIR數字濾波器的頻率響應為： (7.5) 所謂線性相位濾波器，就是說此濾波器的相位特性，或者說其頻率響應H(ej) 的幅角()，是頻率的線性函數。7.2 7.2 線性相位FIRFIR濾波器第5頁/共117頁 7.2.1 7.2.1 恒延時濾波 數字濾波器的相延時為 (7.6) 數字濾波器的群延時為 (7.7) 所謂恒延時濾波就是要求p() 或g() 是不隨變化的常量。第6頁/共117頁要使p() 與g()都是不隨變化的常量，() 的圖象必定是一條過原點的直線，即有： ()= -, 為

3、一常數 (7.8)7.2.2 7.2.2 線性相位FIRFIR濾波器滿足的條件7.2.2.1 7.2.2.1 要求恒相延時與恒群延時同時成立() 0圖7.1 時的圖象第7頁/共117頁因為 故有： （7.9）第8頁/共117頁由 (7.8) 式和 (7.9) 式有： 利用三角公式，由上式可以得到： （7.10）第9頁/共117頁可以證明，當滿足： (7.11)以及 0nN-1 (7.12)時，(7.10) 式成立。這就是說，如果 (7.11) 式和 (7.12) 式滿足，便有：()=-，是的線性函數，而且有 ，即恒相延時與恒群延時同時成立。第10頁/共117頁 (7.12)式說明沖激響應h(n

4、)關于中心點偶對稱，無論N為偶數還是奇數，對稱中心都位于 。第11頁/共117頁 若只要求群延時g() 為一常數，則相位特性是一條可以不經過原點的直線，即： （7.13） 并且有0=/2（這在下面會給予解釋），即有 (7.14)7.2.2.2 7.2.2.2 只要求恒群延時成立第12頁/共117頁0()22圖7.3 時的圖象第13頁/共117頁由 (7.9) 式和 (7.14) 式可得： 利用三角公式，由上式可以得到： （7.15）第14頁/共117頁可以證明，當滿足: (7.16)以及 0nN-1 (7.17) 時，(7.15) 式成立。這就是說，如果 (7.16) 式和 (7.17) 式滿

5、足，便有 , 是的線性函數，而且有g()=，即恒群延時成立。第15頁/共117頁 (7.17)式說明沖激響應h(n) 關于中心點奇對稱，無論N為偶數還是奇數，對稱中心都位于 。當N為奇數時有 。 第16頁/共117頁 總的來說，當FIR濾波器的沖激響應h(n) 偶對稱或者奇對稱時，此濾波器的相位特性是線性的，而且群延時是恒定的，為 = 。第17頁/共117頁 7.2.3 線性相位FIR濾波器的特性 由沖激響應h(n)為偶對稱或者奇對稱的對稱條件，可以導出線性相位FIR數字濾波器的一些特性。 7.2.3.1 7.2.3.1 網絡結構 根據h(n)的對稱性可以簡化FIR濾波器的網絡結構，詳見下面8

6、.3節(jié)。 第18頁/共117頁7.2.3.2 7.2.3.2 頻率響應 FIR濾波器的頻率響應為:(7.18) 如果FIR濾波器是線性相位的，那末h(n)具有對稱性，由此可以導出線性相位FIR數字濾波器頻率響應的特有形式。第19頁/共117頁 1. 1. 偶對稱 ， N N為奇數 此時有h(n)=h(N-1-n)。對(7.18)式分段求和，得到：第20頁/共117頁 令 ，則上式為：第21頁/共117頁 其中： (7.20) (7.19)式中求和號部分為實數，故H(ej) 的相位為第22頁/共117頁 2. 2. 偶對稱 ， N N為偶數 此時有h(n)=h(N-1-n)。對(7.18)式分段

7、求和，得到：第23頁/共117頁 于是得到： (7.21)其中： (7.22) 第24頁/共117頁 3 3奇對稱 ， N N為奇數 此時有h(n)= -h(N-1-n)。對(7.18)式分段求和，得到：第25頁/共117頁 于是得到： (7.23) 其中： (7.24)第26頁/共117頁4 4奇對稱 ， N N為偶數 此時有 h(n)= -h(N-1-n)。將(7.18)式分段求和，得到：第27頁/共117頁 于是得到： (7.25) 其中： (7.26)第28頁/共117頁 上述四種情況有一個統(tǒng)一的形式，即： (7.27) 其中，H() 是的實函數，是三角函數的線性組合；因此H(ej)的

8、相位由() 決定，而() 是的線性函數。當h(n)偶對稱時， ；當h(n) 奇對稱時， 。第29頁/共117頁 現在可以解釋為什么7.2.2.2節(jié)中的0只能夠取 /2了。從上面討論的第3、4種情況我們看到，只要h(n)是奇對稱的，所推導出的頻率響應的表達式(7.27)中，必然有 ；另外，(7.27)式中的H()可能為負數，也就是與模值可能相差 -1=e-j，因為（/2）-=-/2，所以0 也可能為 /2。 就是說，0 只能取/2。第30頁/共117頁 另外，幅度函數H()是三角函數的線性組合，在四種情況下各有不同的形式，但是，并不是每一種形式都能夠用于低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的濾波器。

9、例如，在第4種情況下， ，由于是正弦函數的線性組合，故顯然當=0時有H()=0，也就是說，=0不可以在相應的濾波器的通帶，因此，這種形式不能夠用于低通和帶阻濾波器。第31頁/共117頁 7.2.3.3 7.2.3.3 零點分布 如果FIR濾波器是線性相位的，則其N-1個零點在z平面上的分布是有一定的規(guī)律的。 對 一 線 性 相 位 F I R 濾 波 器 有 ： ， 0nN-1 因此有： 第32頁/共117頁 令m=N-1-n，則： 也即 (7.28)第33頁/共117頁 因此，如果z=zi 是H(z)的零點，那末zi-1 也是H(z)的零點；此外，由于h(n)為實序列，故zi* 也是H(z)

10、的零點，由此又得出(zi*)-1 也是零點。這四個零點構成了互為倒數、互為復共軛對的四點組。第34頁/共117頁第35頁/共117頁 幾種特殊情況：若 ，則零點為單位圓上的復共軛對；若zi是不為0的實數，則零點為實軸上的倒數對；若zi= 1或zi= -1，則零點為單點。第36頁/共117頁7.3 7.3 窗口法 從本節(jié)開始，討論設計FIR數字濾波器的一些主要方法。注意，FIR數字濾波器不能夠借助于模擬濾波器的設計方法來設計，而是直接逼近所要求的頻率響應。窗口法是設計FIR濾波器的重要的基本方法。第37頁/共117頁7.3.1 7.3.1 窗口法的基本思想 用傅里葉反變換可以求得圖7.6所示的理

11、想低通濾波器的沖激響應： （7.29）第38頁/共117頁 將此無限長的hd(n)截斷就得到有限長的沖激響應h(n)： (7.30)第39頁/共117頁 這里已經假設了h(n)的長度N為奇數。(7.30)式等價于： (7.31)其中 (7.32)第40頁/共117頁第41頁/共117頁7.3.2 7.3.2 理論分析 h(n) 是兩個序列的乘積，故H(ej) 是這兩個序列的傅里葉變換的卷積，即： (7.33) 其中Hd(ej) 是hd(n) 的傅里葉變換，也即理想的頻響，而WR(ej) 是矩形窗wR(n) 的頻譜。第42頁/共117頁(7.34)WR(ej)是的偶函數。第43頁/共117頁圖

12、7.7 矩形窗的頻譜第44頁/共117頁 由 (7.33) 式有： （7.35） 式中積分等于由 -c到c區(qū)間曲線WRej(-)下的面積，如圖7.8中陰影所示。當主瓣的中心變化時，此曲線左右移動，此面積也就發(fā)生變化。第45頁/共117頁圖 7.8 由 -c 到c 區(qū)間曲線WRej(-) 下的面積第46頁/共117頁 當 =0時： 當逐漸增大，隨著圖中不同正負、不同大小的旁瓣移出和移入積分區(qū)間，使得H(ej) 的大小產生波動。第47頁/共117頁 當 ： H(ej ) 取最大值，約為1.0895 H(ej0)，此處稱為上臂峰，或正肩峰。 當 = c： 主 瓣 的 中 心 移 到 了 c處， 。

13、當 ：H(ej) 取最小值，約為 -0.0895 H(ej0)，此處稱為下臂峰，或負肩峰。 繼續(xù)增大到，H(ej) 隨著積分區(qū)間內旁瓣的移動而在阻帶內波動。第48頁/共117頁 圖7.9表示了H(ej )在由0到范圍內變化的情況，圖中已經假定H(ej0)=1。在 與 之間為過渡帶。第49頁/共117頁 圖 7.9 加矩形窗后的頻響與理想頻響的比較第50頁/共117頁 因此，加窗后所得到的FIR濾波器的頻響H(ej) 出現了過渡帶、肩峰以及通帶和阻帶內的波動。與這些特征有關的因素：1. 1. 過渡帶：正、負肩峰之間的過渡帶的寬度等于窗函數頻譜的主瓣寬度。對于矩形窗頻譜WR(ej)，此寬度為4/N

14、。因此，過渡帶寬度與所選窗函數有關；而對于一定的窗函數，增加窗口長度N可以使過渡帶變陡。第51頁/共117頁 2 2肩峰及波動：是由窗函數頻譜的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動就越快；旁瓣相對值越大，波動就越厲害，肩峰也越強。因此，肩峰及波動與所選窗函數有關。長度N的增加能夠使頻響的波動加快，但是不能夠改變肩峰和波動的相對大小。第52頁/共117頁 因此，加窗法設計FIR濾波器，h(n) 之長度也即窗口長度N可以影響過渡帶的寬度；而所選窗函數不僅可以影響過渡帶的寬度，還能影響肩峰和波動的大小。選擇窗函數應使其頻譜：a）主瓣寬度盡量小，以使濾波器的過渡帶盡量陡；b）旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使濾波

15、器頻響的肩峰和波動減小。第53頁/共117頁 然而，一般情況是，若選擇的窗口頻譜旁瓣較小，其主瓣就會較寬，反之亦然。因此，常常要根據需要進行折衷的選擇。第54頁/共117頁 7.3.3 7.3.3 幾種常用窗函數 這里介紹幾種常用窗函數，它們的長度均設為N，并且都是因果窗，即定義在0nN-1區(qū)間，N可以是奇數或偶數，但w(n)都是偶對稱的。由7.2.3.2節(jié)可以知道，w(n)的頻譜可表示為： （7.36） 其中幅度函數W() 是的實函數，而相位函數： (7.37) 因此，對每種窗，只需考察其w(n) 和W() 的表示式。第55頁/共117頁 7.3.3.1 7.3.3.1 矩形窗 (7.32)

16、式已給出以n=0為對稱中心的非因果矩形窗wR(n)的定義，下面是實際使用的因果矩形窗： (7.38)第56頁/共117頁 這個矩形窗的對稱中心在(N-1)/2，它是wR(n)向右移位(N-1)/2的結果，即有： (7.39) 這兩個窗函數的頻譜之間的關系： (7.40) 第57頁/共117頁 如果序列以n=0為對稱中心，則其延時= 0，同時相位函數()=0。因此，對稱中心也即延時為0的非因果矩形窗的頻譜是： (7.43) 而對稱中心也即延時為 的因果矩形窗的頻譜是： (7.44)第58頁/共117頁7.3.3.2 7.3.3.2 升余弦窗-漢寧( (Hanning)Hanning)窗 (7.4

17、5) (N1) (7.46)第59頁/共117頁 圖 7.10 升余弦窗的頻譜第60頁/共117頁 從圖7.10中可以看到，由于三部分頻譜的相加，使總的頻譜W()的旁瓣大大抵消，從而使能量有效地集中在主瓣內，但其代價是使主瓣與矩形窗相比加寬了一倍。第61頁/共117頁 7.3.3.3 7.3.3.3 改進的升余弦窗哈明( (Hamming)Hamming)窗 對升余弦窗作一點調整，得到： （7.47） (7.48) 結果是，99.96% 的能量集中在主瓣內，而主瓣寬度仍與漢寧窗相同。第62頁/共117頁 顯然，漢寧窗和哈明窗可以統(tǒng)一表示為： (7.49) 對于漢寧窗， =0.5；對于哈明窗，

18、=0.54。第63頁/共117頁 7.3.3.4 7.3.3.4 二階升余弦窗布萊克曼( (Blackman)Blackman)窗 如果還要進一步抑制旁瓣，可以對升余弦窗再加一個二次諧波的余弦分量： 而 (7.51)（7.50）第64頁/共117頁 以上幾種窗函數的時域圖像，除矩形窗之外，都是在對稱中心 處取最大值，并且向兩邊逐漸減小，而在n=0和n=N-1處取最小值。第65頁/共117頁 7.3.3.5 7.3.3.5 凱塞( (Kaiser)Kaiser)窗 這種窗通過調整一個參數來進行主瓣寬度與旁瓣衰減之間比重的選擇。 凱塞窗利用零階貝塞爾函數I0(x)構成： 0 n N - 1 (7.

19、52) w(n)從對稱中心 向兩邊逐漸減小，越大，減小越快。第66頁/共117頁 參數值越大，其頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應增加，因而改變值就可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間進行選擇。第67頁/共117頁圖 7.11 Kaiser 窗函數隨參數而變化第68頁/共117頁 以上所討論的五種窗函數的主要性能歸納于表7.1中，可以看出，從上到下，旁瓣衰減越來越厲害，而主瓣卻越來越寬。不過，哈明窗與漢寧窗的主瓣寬度相同，但是旁瓣衰減特性卻好于漢寧窗。在實際應用中，經常采用哈明窗。表7.2則表示凱塞窗在不同值下的性能。第69頁/共117頁第70頁/共117頁第71頁/共117頁7.3.4 7.3.4 設

20、計方法小結 上面關于窗口法的基本思想以及理論分析雖然是關于非因果矩形窗的，但其基本原則和得出的那些結論對于采用其它窗、采用因果窗也完全適合。在實際應用中，濾波器的沖激響應h(n)都應該是因果序列；所加的窗當然也是因果窗，并且窗口長度N既可以是奇數，也可以是偶數。第72頁/共117頁 線性相位FIR系統(tǒng)的沖激響應h(n)是偶對稱或者奇對稱的，其頻率響應H(ej)是h(n)的傅里葉變換，并且可以表示為： H(ej)=H()ej() (7.53) 不管h(n)是有限長還是無限長，()=-只與h(n)的對稱中心有關； 而h(n)是否是無限長的，只對應著H()是否是理想的矩形函數。第73頁/共117頁

21、可以得到用窗口法設計線性相位因果FIR數字濾波器的步驟：1對給定的理想的頻率響應（比如圖7.6所示）進行傅里葉反變換，得到的是一個以n=0為對稱中心的無限長序列，用hd(n)來表示。第74頁/共117頁2如果所要求的濾波器沖激響應的長度為N(可以是奇數或者偶數)，則將hd(n)向右移位 ，于是得到一個以 為 對 稱 中 心 的 無 限 長 序 列 ， 用 h ( n ) 來 表 示 ， 即 有h(n)=hd(n- )。第75頁/共117頁3 用 所 選 定 的 窗 函 數 和 所 要 求 的 長 度 N ， 對 h ( n ) 加 窗 ， 即 有 ：h(n)=h(n)w(n)。由于h(n)和w

22、(n)的對稱中心都在 ，于是就得到了長度為N、對稱中心在 的序列h(n)。第76頁/共117頁 圖7.13 非因果理想濾波器沖激響應的移位第77頁/共117頁 有時，理想濾波器的頻率響應是這樣給出的： （7.54）第78頁/共117頁 對這一Hd(ej)直接進行傅里葉反變換，就得到了以為對稱中心的無限長序列h(n)。以低通濾波器為例，有 這里 = = 。這樣的做法相當于將上面的第1步和第2步合并為一步。第79頁/共117頁例7.17.1 用矩形窗設計一個線性相位因果FIR濾波器，它在0區(qū)間的理想頻率響應為： 第80頁/共117頁 例7.17.1 用矩形窗設計一個線性相位因果FIR濾波器，它在0

23、區(qū)間的理想頻率響應為： 第81頁/共117頁第82頁/共117頁 設所求的FIR濾波器的沖激響應h(n)長度為N，則 。 而 第83頁/共117頁 h(n)還可以按照下面的方法求出：第84頁/共117頁 將hd(n)向右移位 ，就得到h(n)： ，與上面得到的結果相同。這里要特別注意，雖然sin(n)=0，但是一定要保留hd(n)中的sin(n)，這樣，移位后才能得到正確的h(n)。 第85頁/共117頁 例7.27.2 一個帶通FIR數字濾波器的衰減指標如圖7.14所示，用窗口法設計這個線性相位因果濾波器。圖7.14 一個帶通濾波器的衰減指標第86頁/共117頁解：要求阻帶最小衰減為45dB

24、, 查表7.1, 可知應該選哈明窗。 過渡帶寬度：1 =p 1 s 1 =0.13, 2 =s2 p2 =0.15, 應選較窄的，故 =0.13。 由表7.1, 可知對于哈明窗，=8/N, 于是得到: N=8/()=8/0.13=61.54, 于是取 N=62。 第87頁/共117頁 求截止頻率：第88頁/共117頁 先用傅里葉反變換求得以0為對稱中心的無限長序列：第89頁/共117頁 將hd(n)移位： -n 對h(n)加哈明窗，就得到要求的線性相位因果帶通FIR數字濾波器的沖激響應： h(n)=h(n)w(n),其中： 第90頁/共117頁7.6 Maltab方法用MatlabMatlab

25、進行基于窗函數的FIRFIR數字濾波器的設計7.6.17.6.1第91頁/共117頁7.6.1.1 常用的窗函數 Matlab中提供了很多常用的窗函數，其中的一些窗函數的調用形式為：矩形窗： w = boxcar ( N )漢寧窗： w = hanning ( N )哈明窗： w = hamming ( N )布萊克曼窗： w = blackman ( N )凱塞（Kaiser）窗： w = kaiser (N, beta) 其中輸入參數N表示窗口的長度，返回的變量w是一個長度為N的列向量，表示窗函數在這N點的取值。Beta是控制Kaiser窗形狀的參數。第92頁/共117頁 Matlab還提

26、供了函數 M,Wn,beta,ftype=kaiserord(f,a,dev)，以利用Kaiser窗來估計濾波器階數M、參數Beta、截止頻率Wn和需選用的濾波器類型ftype。如果ftype為空，表示濾波器為 低 通 ； 如 果 f t y p e = h i g h ， 濾 波 器 為 高 通 ；ftype=stop，濾波器為帶阻；ftype=DC-0，則表示多帶濾波器第一個頻帶為阻帶；ftype=DC-1，表示多帶濾波器第一個頻帶為通帶。輸入參數f表示需設計的FIR濾波器的頻帶；a表示FIR濾波器在f定義的頻帶中的幅度值，一般對通帶取值為1，阻帶取值為0；dev表示FIR濾波器在f定義的

27、頻帶內的波動值。第93頁/共117頁7.6.1.2 窗函數法設計FIR數字濾波器1. 1. b=fir1(N,Wn) b=fir1(N,Wn) fir1函數用來設計 FIR 濾波器，其中N為濾波器的階數，因此h(n)的長度為N+1；Wn是截止頻率，其取值在01之間，這是以抽樣頻率為基準頻率的標稱值，故1對應抽樣頻率；b對應設計好的濾波器的系數h(n)。若Wn是一標量，則用來設計低通濾波器；如果Wn是12的向量，則可以用來設計帶通濾波器；如果Wn是1L的向量，則可以用來設計L通帶濾波器，注意這時的調用方式為： b=fir1(N,Wn,DC-1) 或 b=fir1(N,Wn,DC-0) 前者保證第

28、一個帶為通帶，后者保證第一個帶為阻帶。第94頁/共117頁 fir1 fir1 函數還有以下多種調用形式： b = fir1(N,Wn,ftype) 當ftype 中的輸入參數為 high 字串，即可用來設計高通濾波器；當ftype 中的輸入參數為 stop 字串，即可用來設計帶阻濾波器，此時Wn是12的向量。 b = fir1(N,Wn,window) b = fir1(N,Wn,ftype,window) 參量 window 表示設計 FIR 濾波器所采用的窗函數類型，以列向量形式表示。向量window 的長度必須為 N+1。若 window 缺省，則 fir1 默認使用哈明窗。第95頁/

29、共117頁2 2 b = fir2(N,f,m)b = fir2(N,f,m) 該函數采用窗函數法設計具有任意頻率響應的FIR數字濾波器。其中 f是頻率向量，其值在01（標稱值）之間，1 對應抽樣頻率，其第一個點必須是 0，最后一個點必須是 1，而且頻率點必須是遞增的。m 是對應于頻率點 f 處的期望的幅頻響應， f和m的長度必須相等。 如同fir1函數，b = fir2(n,f,m,window)可以根據windows的值來選取不同的窗函數，缺省時自動選用哈明窗。 fir1和fir2函數可以用來設計低通、高通、帶通、帶阻和通用多帶 FIR 濾波器。第96頁/共117頁 例7.37.3 利用矩

30、形窗和哈明窗設計一個FIR低通濾波器，已知c =0.25，N=10。運行結果如圖7.16所示。圖7.16 分別加矩形窗和哈明窗后的幅頻響應曲線第97頁/共117頁例7.4 7.4 利用窗函數法完成數字帶通濾波器的設計，并畫出所設計的濾波器的幅頻響應圖。濾波器的性能指標如下： 低端阻帶邊界頻率：s1=0.2, 高端阻帶邊界頻率：s2=0.8； 阻帶最小衰減：As=60dB。 低端通帶邊界頻率：p1=0.35, 高端通帶邊界頻率：p2=0.65； 通帶最大衰減：Rp=1dB。 第98頁/共117頁圖7.17 例7.4中帶通濾波器的幅頻響應曲線第99頁/共117頁解：因為 As=60dB，所以應該選

31、用Blackman窗。程序運行結果如下：M = 75（濾波器階數）Rp =0.0028（實際通帶波動）As =75（最小阻帶衰減） 從運行結果來看，75 階 Blackman 窗的 FIR 數字濾波器的實際阻帶衰減為 75dB，通帶波動為 0.0028dB，顯然滿足上面所提的技術要求，其幅頻響應曲線如上圖所示。第100頁/共117頁 例7.5 7.5 利用Kaiser窗設計一個滿足下列指標的數字高通濾波器，并畫出幅頻響應曲線圖。 通帶邊界頻率p=0.6, 阻帶邊界頻率s=0.45， 阻帶波紋=0.03。第101頁/共117頁圖7.18 例7.5的高通濾波器的幅頻響應曲線第102頁/共117頁7

32、.6.2 用Matlab進行等波紋FIR濾波器的設計1、b = remez(N,f,a,w,ftype)b = remez(N,f,a,w,ftype) 它的幾種調用形式為：（1 1） b = remez(N,f,a) b = remez(N,f,a) 用來設計一個N階（h(n)的長度為 N+1）的FIR 數字濾波器。f是頻率向量，其單位為，范圍為 0 f 1，這些頻率是順序遞增的；數組 a 對應f中為各指定頻率上理想的幅頻響應，f 和 a 的長度必須相等，且為偶數；每個頻率帶中所用的權函數等于 1，這說明在每個頻率帶中的容限（i）是相同的。數組 b 返回濾波器的系數（即沖激響應）。第103頁/共117頁（2 2） b = remez(N,f,a,w) b = remez(N,f,a,w) 數組 w 是每個頻率帶的加權向量，其它參數與（1）中類似。 （3 3） b = remez(N,f,a,ftype)b = remez(N,f,a,ftype) 當 f t y p e