自動(dòng)控制原理第8章

1、8.1 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述8.2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法1.非線性現(xiàn)象的普遍性非線性現(xiàn)象的普遍性p非線性是宇宙間的普遍規(guī)律非線性是宇宙間的普遍規(guī)律p非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式多樣，種類繁多非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式多樣，種類繁多p線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述2.非線性系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型非線性系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型其中，其中，f ()和和g ()為非線性函數(shù)。為非線性函數(shù)。( , )( , )nmnmd ydyd rdrf tyg trdtdtdtdt3.非線性系統(tǒng)的分類非線性系統(tǒng)的分類按非線性環(huán)節(jié)的物理性能及非線性特性的形狀劃分，非線性按非線性環(huán)節(jié)的物理

2、性能及非線性特性的形狀劃分，非線性特性有死區(qū)、飽和、間隙和繼電器等。特性有死區(qū)、飽和、間隙和繼電器等。 x(t) y(t)(1) 死區(qū)特性（不死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）靈敏區(qū)特性）各類液壓閥的正重疊量；各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦；系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力等。彈簧預(yù)緊力等。死區(qū)或不靈敏區(qū)死區(qū)或不靈敏區(qū)( )0( ) ( ) ( )sign ( )x tay tx tak x tax t x(t) y(t)放大器的飽和輸出特性放大器的飽和輸出特性磁飽和磁飽和元件的行程限制元件的行程限制功率限制

3、等。功率限制等。(2)飽和特性飽和特性( )( )( ) ( )sgn ( )x takx ty tx takax t(3)間隙特性間隙特性齒輪傳動(dòng)中的齒隙齒輪傳動(dòng)中的齒隙液壓傳動(dòng)中的油隙液壓傳動(dòng)中的油隙 ( )( )0( ) ( ) ( )0sgn ( )( )0k x tay ty tk x tay tcx ty t y(t) x(t)c y(t) x(t)(4) 繼電器特性繼電器特性理想繼電器理想繼電器 具有死區(qū)的單值繼電器具有死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性 y(t) x(t

4、) y(t) x(t) x(t) y(t) y(t) x(t)以非線性環(huán)節(jié)的輸入和輸出之間存在的函數(shù)關(guān)系劃以非線性環(huán)節(jié)的輸入和輸出之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分，非線性特性可分為分，非線性特性可分為單值函數(shù)和多值函數(shù)單值函數(shù)和多值函數(shù)兩類。兩類。p死區(qū)特性、飽和特性和理想繼電器特性都屬于單值情況；死區(qū)特性、飽和特性和理想繼電器特性都屬于單值情況；p間隙特性和一般繼電器特性屬于多值情況。間隙特性和一般繼電器特性屬于多值情況。p多值函數(shù)的非線性特性將使頻率響應(yīng)產(chǎn)生。多值函數(shù)的非線性特性將使頻率響應(yīng)產(chǎn)生。4.非線性系統(tǒng)特征非線性系統(tǒng)特征不適用疊加性原理不適用疊加性原理穩(wěn)定性分析復(fù)雜穩(wěn)定性分析復(fù)雜非線性系統(tǒng)的

5、穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與初始條件以及系統(tǒng)的輸入信號(hào)的類有關(guān)，也與初始條件以及系統(tǒng)的輸入信號(hào)的類型和幅值有關(guān)。型和幅值有關(guān)?？赡艽嬖诳赡艽嬖谧猿终袷帲O限環(huán)）自持振蕩（極限環(huán)）現(xiàn)象現(xiàn)象自持振蕩是指沒有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，自持振蕩是指沒有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。期運(yùn)動(dòng)。線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只有收斂和發(fā)散，只有在線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只有收斂和發(fā)散，只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。頻率響應(yīng)發(fā)生畸變頻率響應(yīng)發(fā)生畸變p非

6、線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量外，還含有的正弦信號(hào)分量外，還含有w w 的高次諧波分量，的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。使輸出波形發(fā)生非線性畸變。 G(s)、G(jw w)對(duì)非線性系統(tǒng)不適用對(duì)非線性系統(tǒng)不適用5. 5. 非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)分析的重點(diǎn)非線性系統(tǒng)分析的重點(diǎn)某一平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定，如果不穩(wěn)定應(yīng)如何校正；某一平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定，如果不穩(wěn)定應(yīng)如何校正；系統(tǒng)中是否會(huì)產(chǎn)生自持振蕩，如何確定其周期和系統(tǒng)中是否會(huì)產(chǎn)生自持振蕩，如何確定其周期和振幅；振幅；如何利用或消除自持振蕩以獲得需要的性

7、能指標(biāo)。如何利用或消除自持振蕩以獲得需要的性能指標(biāo)。 基本的非線性系統(tǒng)研究方法基本的非線性系統(tǒng)研究方法p小范圍線性近似法小范圍線性近似法p逐段線性近似法逐段線性近似法p相平面法相平面法p相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解法，只適用于階數(shù)最相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解法，只適用于階數(shù)最高為二階的系統(tǒng)。高為二階的系統(tǒng)。 p描述函數(shù)法描述函數(shù)法p描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的頻域法，適用于具有低描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的頻域法，適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。 p李雅普諾夫法李雅普諾夫法p計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算機(jī)仿真問題的提出問題的提出線性系統(tǒng)理論相對(duì)成熟，能否將一些非線性系統(tǒng)

8、近線性系統(tǒng)理論相對(duì)成熟，能否將一些非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)研究？似為線性系統(tǒng)研究？描述函數(shù)描述函數(shù): 非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，可應(yīng)非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行頻域用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。分析。基本思想基本思想：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可以用一次諧波線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可以用一次諧波分量來近似。分量來近似。主要解決的問題主要解決的問題：無(wú)外作用情況下，非線性系統(tǒng)的：無(wú)外作用情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。穩(wěn)定性和自振蕩。一、描述函

9、數(shù)的定義一、描述函數(shù)的定義1. 基本概念基本概念y(t)奇函數(shù)奇函數(shù)（斜對(duì)稱）（斜對(duì)稱）輸出的一次諧波分量輸出的一次諧波分量( )sinx tAtw輸入：0011( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn twww穩(wěn)態(tài)輸出：非正弦周期信號(hào)，可展開成傅立葉級(jí)數(shù)。00A 直流分量：201( )cos()nAy tn tdtww201( )sin()nBy tn tdtww22nnnYABarctannnnAB11111( )( )cossinsin()y ty tAtBtYtwww22111YAB111arctanAB22111111( )arctanABYAN A

10、AAB穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比：描述函數(shù)2 應(yīng)用基本假設(shè)應(yīng)用基本假設(shè)非線性系統(tǒng)應(yīng)可簡(jiǎn)化為如下一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一非線性系統(tǒng)應(yīng)可簡(jiǎn)化為如下一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式。個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式。非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性y(x)是是x的奇函數(shù)，或的奇函數(shù)，或是正弦輸入下的輸出為是正弦輸入下的輸出為t的奇對(duì)稱函數(shù)，的奇對(duì)稱函數(shù)，A00。非線性環(huán)節(jié)中不包含儲(chǔ)能元件。非線性環(huán)節(jié)中不包含儲(chǔ)能元件。系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的濾波性能。系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的濾波性能。3. 描述函數(shù)的物理意義描述函數(shù)的物理意義非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)反映了非線

11、性系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)反映了非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中一次諧波分量的幅值和相位相正弦響應(yīng)中一次諧波分量的幅值和相位相對(duì)于輸入信號(hào)的變化。對(duì)于輸入信號(hào)的變化。關(guān)于輸入正弦信號(hào)幅值的復(fù)變?cè)鲆娣糯笃?。關(guān)于輸入正弦信號(hào)幅值的復(fù)變?cè)鲆娣糯笃鳌６?、典型非線性特性的描述函數(shù)1.1.理想繼電器特性理想繼電器特性( )sinx tAtw(0)( )(2 )Mty tMtww傅氏展開傅氏展開01( )(cossin)nnny tAAn tBn tww斜對(duì)稱、奇函數(shù)斜對(duì)稱、奇函數(shù)A A0 0=A=An n=0=011( )siny tBtw210001( )sin()2( )sin()24sin()By ttdty

12、ttdtMMtdtwwwwww14( )0YMN AAA( (偶次對(duì)稱性偶次對(duì)稱性) )2. 飽和特性飽和特性3. 死區(qū)特性死區(qū)特性4. 死區(qū)飽和特性死區(qū)飽和特性122( )sin1 () ()kaaaN AAaAAA122( )sin1() ()2kaaaN AAaAAA11222( )sinsin1()1() ()ksassaaN AAAAAAAAs5. 一般繼電特性的描述函數(shù)一般繼電特性的描述函數(shù)22222( )1 ()1 ( )(1)()MmhhMhN AjmA hAAAA4( )MN AA理想繼電特性：理想繼電特性：死區(qū)繼電特性：死區(qū)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：0 h1

13、 m1 m24( )1MhN AAA2244( )1jMhMhN AAAA幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：一般而言一般而言, 描述函數(shù)描述函數(shù) N(A)是是A的函數(shù)的函數(shù), 與頻率與頻率w w無(wú)關(guān)；無(wú)關(guān)；非線性環(huán)節(jié)為單非線性環(huán)節(jié)為單/非單值函數(shù)時(shí)非單值函數(shù)時(shí), N(A)是實(shí)是實(shí)/復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), 虛部為虛部為/不為不為0 ；如果一非線性可以看作是兩個(gè)非線性的疊加、如果一非線性可以看作是兩個(gè)非線性的疊加、即（并聯(lián)）即（并聯(lián)）12yyy設(shè)設(shè)y1、y2、y分別有分別有N1(A)、N2(A)、N(A）12( )( )( )N ANANA三、利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性三、利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性1. 穩(wěn)

14、定性的定性分析穩(wěn)定性的定性分析在滿足一定假設(shè)時(shí)，有在滿足一定假設(shè)時(shí)，有()( ) ()()1( ) ()C jN A G jR jN A G jwwww1( ) ()0N A G jwNyquist判據(jù)：判據(jù)：若開環(huán)穩(wěn)定，則閉若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件環(huán)穩(wěn)定的充要條件是是G(jw w) 軌跡不包圍軌跡不包圍G平面的平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性) )線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)( )1N A 1()0G jw()1G jw 1()( )G jN Aw 1( )N A(-1,j0)? G(jw w) 與負(fù)倒描述函數(shù)相交與負(fù)倒描述函數(shù)相交 閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)

15、自持振蕩閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振極限環(huán)振蕩蕩) ？穩(wěn)定？穩(wěn)定 ？不穩(wěn)定？不穩(wěn)定 ?!振幅（振幅（A） ?! 頻率頻率(w w)設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(jw w)穩(wěn)定穩(wěn)定 G(jw w)不包圍負(fù)倒描述函不包圍負(fù)倒描述函數(shù)數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 G(jw w)包圍負(fù)倒描述包圍負(fù)倒描述函數(shù)函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定2. 自持振蕩（極限環(huán)）分析自持振蕩（極限環(huán)）分析當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到增大到c點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， c點(diǎn)被點(diǎn)被G(j w w)軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅振幅A繼續(xù)增大；繼續(xù)增大；不返回到不返回到a。當(dāng)微小擾動(dòng)使振

16、幅當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到減小到d點(diǎn)，點(diǎn)，d點(diǎn)未被點(diǎn)未被G(j w w)軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅振幅A繼續(xù)減?。焕^續(xù)減??；不返回到不返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)。點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)。 微小擾動(dòng)微小擾動(dòng)穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到增大到e點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， e點(diǎn)未被點(diǎn)未被G(j w w)軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅振幅A減小；減??；返回到返回到b。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到減小到f點(diǎn)，點(diǎn)， f點(diǎn)被點(diǎn)被G(j w w)軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅振幅A增大；增大；返回到返回

17、到b。 b點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)。點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)。2212121 2()(1)(1)()(1)KKG jjjTjTTTjTTwwwwwww軌跡和非線性部分的軌跡相交，這可以通過加校正實(shí)現(xiàn)。 用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟：用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟：(1) 將非線性系統(tǒng)化成典型結(jié)構(gòu)圖；將非線性系統(tǒng)化成典型結(jié)構(gòu)圖；(2) 由定義求出非線性部分的描述函數(shù)由定義求出非線性部分的描述函數(shù)N(A)；(3) 在復(fù)平面作出在復(fù)平面作出G(jw w)和和-1/N(A)的軌跡；的軌跡；(4) 判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否存在極限環(huán)；判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否存在極限環(huán)；(5) 如果系統(tǒng)存在極限環(huán)，進(jìn)一步分析極限環(huán)的穩(wěn)

18、如果系統(tǒng)存在極限環(huán)，進(jìn)一步分析極限環(huán)的穩(wěn)定性定性,確定它的頻率和幅值；確定它的頻率和幅值； 另外，用描述函數(shù)法設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)時(shí)，很重另外，用描述函數(shù)法設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)時(shí)，很重要的一條是避免要的一條是避免G(jw w)和和-1/ N(A)的軌跡相交，這可的軌跡相交，這可以通過非線性校正方法實(shí)現(xiàn)。以通過非線性校正方法實(shí)現(xiàn)。K試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？非線性系統(tǒng)的校正非線性系統(tǒng)的校正* *Aa=1A 1( )N A 1( )N A 22Aa242 5(6)()(2)(3)(1336)KKjG jjjjwwwwwww ww242(6)Im()0(1336)KG jwww ww6w4266( 5 )2Re()|0.6670.524(1336)3KG jwwwww ww 221( )141()12 1()AAN AaMAAmax1|0.524( )26aN AM 212( )3112 1()AN AA a不穩(wěn)定自振交點(diǎn)不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b穩(wěn)定自振交點(diǎn)穩(wěn)定自振交點(diǎn)A11.11A22.3max61Re()|( )G jN Aww如要求穩(wěn)定如要求穩(wěn)