排列上課分解PPT課件

1、分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理： 完成一件事，有完成一件事，有n類不同方案，在第類不同方案，在第1類方案類方案中有中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類方案中有類方案中有m2種不同種不同的方法的方法 在第在第n類方案中有類方案中有mn種不同的方法種不同的方法.那那么完成這件事共有么完成這件事共有 種種不同的方法不同的方法.12nNmmm分步乘法計數(shù)原理：分步乘法計數(shù)原理： 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個步驟，做第個步驟，做第1步有步有m1種不同的方法種不同的方法,做第做第2步有步有m2種不同的方法種不同的方法，做第做第n步有步有mn種不同的方法種不同的方法.那么完成這

2、件事共那么完成這件事共有有 種不同的方法種不同的方法.12nNmmm第1頁/共50頁上午下午相應的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？探究：探究：分析：題目轉化為順序排列問題分析：題目轉化為順序排列問題第2頁/共50頁把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題就可以敘述為： 從3個不同的元素a,b,c中任取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb第3頁/共50頁問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)中，

3、每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？1234443322444333111244431112224333111222 敘述為: 從4個不同的元素a,b,c,d 中任取3個，然后按 照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，3

4、41，342; 412，413，421，423，431，432。第4頁/共50頁問題1 從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某天的一項活動,其中1名參加上午的活動,1名參加下午的活動,有哪些不同的排法? 實質是：實質是：從從3個不同的元素個不同的元素中中, ,任取任取2 2個個, ,按一定的順序按一定的順序排成一列排成一列, ,有哪些不同的排有哪些不同的排法？法？ 問題2 從1，2，3，4這4個數(shù)中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？實質是：實質是：從從4個不同的元素個不同的元素中中, 任取任取3個個,按照一定的順按照一定的順序排成一列序排成一列,寫出所有不同寫出所有不同的

5、排法的排法.定義：一般地說定義：一般地說,從從n個不同的元素中個不同的元素中,任取任取m(mn)個元個元 素素,按照按照一定的順序排成一列一定的順序排成一列,叫做從叫做從n個不同的元素個不同的元素 中取出中取出m個元素的個元素的一個排列一個排列. 第5頁/共50頁基本概念基本概念1、排列： 從n個不同元素中取出m (m n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。說明：說明：1 1、元素不能重復。2 2、“按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。3 3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。

6、4 4、m mn n時的排列叫選排列，m mn n時的排列叫全排列。5 5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，可以采用“樹形圖”。（有序性）（有序性）（互異性）（互異性）第6頁/共50頁練習1 下列問題是排列問題嗎？（1）從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其不同結果有多少種？（2）從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其不同結果有多少種？（3）從1到10十個自然數(shù)中任取兩個組成點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？（4）平面上有5個點，任意三點不共線，這五點最多可確定多少條射線？可確定多少條直線？（5）10個學生排隊照相，則不同的站法有多少種？（從中歸納這幾類問題的區(qū)別）

7、是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列第7頁/共50頁練習3.寫出從5個元素a，b，c，d，e中任取2個元素的所有排列 解決辦法是先畫“樹形圖”，再由此寫出所有的排列，共20個 若把這題改為：寫出從5個元素a，b，c，d，e中任取3個元素的所有排列，結果如何呢？方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更“啰嗦”練習2.在A、B、C、D四位候選人中，選舉正、副班長各一人，共有幾種不同的選法？寫出所有可能的選舉結果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC 研究一個排列問題，往往只需知道所有排列的個數(shù)而無需一一寫出所有的排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個數(shù)呢？接下來

8、我們將來共同探討這個問題：排列數(shù)及其公式 第8頁/共50頁2、排列數(shù)： 從n n個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n n個不同的元素中取出m m個元素的排列數(shù)。用符號 表示。mnA“排列”和“排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？排列數(shù)，而不表示具體的排列。所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；mn“排列數(shù)”是指從 個不同元素中，任取個元素的mnA所以符號只表示nm“一個排列”是指：從 個不同元素中，任取按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；個元素第9頁/共50頁233 26A 問題中是求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記為 ,已經算得23A344 3 224A 問題2中是求從4個不同元

9、素中取出3個元素的排列數(shù)，記為，已經算出34A探究：從n n個不同元素中取出2 2個元素的排列數(shù) 是多少？2nA呢？mnA呢？3nA 第1位第2位第3位第m位n種(n-1)種(n-2)種(n-m+1)種2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm第10頁/共50頁(1)(1)排列數(shù)公式（1 1）：(1)(2)(1)( ,*,)mnAn nnn mm nN mn當m mn n時，123) 2)(1(nnnAnn正整數(shù)1 1到n n的連乘積，叫做n n的階乘，用 表示。! nn n個不同元素的全排列公式：!nnAn(2)(2)排列數(shù)公式（2 2）：!()!mnn

10、An m說明：1 1、排列數(shù)公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。為了使當m mn n時上面的公式也成立，規(guī)定：1! 0 2 2、對于 這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。nm第11頁/共50頁 (1) (2)(1)mnn nnnmA排列數(shù)公式：排列數(shù)公式：mnn! (m n,m,n N)(n m)!A)Nnm,n,(m 常用于計算含有數(shù)字的常用于計算含有數(shù)字的排列數(shù)的值排列數(shù)的值常用于對含有字母的排列數(shù)常用于對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形和論證的式子進行變形和論證10 ！規(guī)定：規(guī)定：第12頁/共50頁小結：小結：【排列排列】從從n個不同元素中選出個不同元素中選出m(mn)個元素個

11、元素,并按一定并按一定的順序排成一列的順序排成一列.【關鍵點關鍵點】1、互異互異性性(被選、所選被選、所選元素互不相同元素互不相同) 2、有序有序性性(所選元素有所選元素有先后位置等順序先后位置等順序之分之分)【排列數(shù)排列數(shù)】所有排列總數(shù)所有排列總數(shù)121mnAn nnnm ()().()mnn!A=(n-m)!第13頁/共50頁例例1 1 計算：計算：316(1)A 3360141516 =6！=654321=72066(2)A例題與練習! 57!7! 8)3( 22! (1)!(4)mmmmA42221mm第14頁/共50頁變式練習：117 165 4,mnnm 、如果A則2290,nn、

12、如果A則1714n(n-1)=90103.由乘積式寫出排列數(shù)的符號 (m-2)(m-3).(m-k+3)42kmA第15頁/共50頁例例2.2.解方程解方程: :4321(1)140nnAA189(2)34mmAA（1）n=3 (2)m=6第16頁/共50頁例3 3 求證下列各式：11(1)(2)mmnnmkm knnn kAn AAAA 你能用學過的方法，舉一實際的例子說明（1 1）、（2 2）嗎？)(nmk2325453445)2( ;5) 1 (AAAAA例如：第17頁/共50頁變式練習：變式練習：求證：1!22!+33!+nn!=(n+1)!- 1分析：nn!=(n+1)!-n!( 2

13、! -1! ) +( 3! -2! ) +( 4! -3! ) + ( n+1) ! -n! ) 證明：nn!=(n+1)!-n!左邊=( n+1) ! -1!注意階乘的幾種變形11n-=n! (n+1)! (n+1)!n!+n n!=(n+1)!第18頁/共50頁小結:1.排列的定義;(不同元素)2.排列數(shù)公式;3.幾種階乘變形.mnA =n(n-1)(n-2).(n-m+1)mnn!A =(n-m)!11n-=n! (n+1)! (n+1)!n!+n n!=(n+1)!第19頁/共50頁排列應用題排列應用題第20頁/共50頁【概念復習】：1排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點問題；從n個

14、不同元素中，任取m(mn)個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列一個排列.2排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計算公式 ) 1() 2)(1(mnnnnAmn)!(!mnnAmn第21頁/共50頁例1.1. 某段鐵路上有1212個車站，共需要準備多少種普通客票？21212 11132 ()A種一、無限制條件的排列問題第22頁/共50頁例2 2、某年全國足球甲級(A(A組) )聯(lián)賽共有1414隊參加, ,每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1 1次, ,共進行多少場比賽? ?21414 13182()A場第23頁/共50頁1.1.從5 5種

15、不同的蔬菜種子中選3 3種分別種在3 3塊不同土質的土地上，共有多少種不同的種法？分析：把5 5個種子分別標上1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,用123123表示種子1 1種在第1 1塊土地上，種子2 2種在第2 2塊土地上，種子3 3種在第3 3塊土地上，因此3 3個數(shù)的一個排列就是一種種植方法，從5 5個不同數(shù)中取出3 3個數(shù)的一個排列就是一種種植方法，多少個排列就有多少種種法。變式練習變式練習第24頁/共50頁2.2.公共汽車上有4 4位乘客，其中任何兩個人都不在同一車站下車，汽車沿途停靠6 6個站，那么這4 4位乘客不同的下車方法有多少種？分析：個車站分別標上1,2,3,4,5,

16、6,1,2,3,4,5,6,如12461246表示第一位乘客在1 1號站下，第二位乘客在2 2號站下，第三位乘客在4 4號站下，第四位乘客在6 6號車站下，不同的排列表示不同的下法，有多少個不同的排列就有多少種不同的下法，共有A A4 46 6=6=6543=360543=360第25頁/共50頁3 3、有5 5名男生，4 4名女生排隊。（1 1）從中選出3 3人排成一排，有多少種排法？（2 2）全部排成一排，有有多少種排法？（3 3）排成兩排，前排4 4人，后排5 5人，有多少種排法？39A99A459959AAA第26頁/共50頁例例3 3 某信號共用紅、黃、藍3 3面旗從上到下掛在豎直的

17、旗桿上表示，每次可以任掛1 1面、2 2面或3 3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？變式：變式：將題中的將題中的“3 3面旗面旗”改為改為“3 3色旗色旗”，結論如何？結論如何？12333315AAA2333338第27頁/共50頁課堂練習：課堂練習：1、20位同學互通一封信，那么通信次數(shù)是多少？2、由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的正整數(shù)？3、5個班，有5名語文老師、5名數(shù)學老師、5名英語老師，每個班上配一名語文老師、一名數(shù)學老師和一名英語老師，問有多少種不同的搭配方法？220380()A次1234566666661956()AAAAAA個

18、5555551728000AAA第28頁/共50頁例例4 4、 用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析1：由于百位上的數(shù)字不能為0，只能從1到9這9個數(shù)字中任選一個，有 種選法，再排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字中任選2個，有 種選法，根據分步計數(shù)原理，所求三位數(shù)的個數(shù)是：19A29A1299648AA分析2：所求的三位數(shù)可分為：不含數(shù)字0的，有 個；含有數(shù)字0的，有 個，根據分類計數(shù)原理，所求三位數(shù)的個數(shù)是：39A292A32992648AA分析3：從0到9這十個數(shù)字中取3個的排列數(shù)為 ，其中以0為百位數(shù)字的排列數(shù)為 ，故所求三位數(shù)的個數(shù)是：310A29A32

19、109648AA(特殊位置預置法特殊位置預置法)(特殊元素預置法特殊元素預置法)(排除法排除法)二、有限制條件的排列問題二、有限制條件的排列問題第29頁/共50頁小 結一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。第30頁/共50頁變：1、用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的且能被5整除的三位數(shù)？211988AAA2、用1到9這九個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的且能被3整除的三位數(shù)？3333333180AA第31頁/共50頁例例5 5 5個人站成一排共有多少種排法？ 其中甲必須站在中間，有多少種

20、不同的排法？ 其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？ 其中甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？ 其中甲、乙兩人不站排頭和排尾，有多少種不同的排法？ 其中甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？55120A 4424A 242448AA323472AA52452472AAA或第32頁/共50頁小結二：對于相鄰問題，常用 “ 捆 綁 法 ” （ 先 捆 后松）小結三：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素考慮）第33頁/共50頁例例5 5 5個人站成一排其中甲、乙兩人不站排頭和排尾，有多少種不同的排法？解： 甲、乙兩人不站排頭和排尾，則這兩個位置可從其余3人中選2人來站，有 種排法，

21、剩下的人有 種排法，共有 種排法.23A33A233336AA(特殊位置預置法特殊位置預置法)(特殊元素預置法特殊元素預置法)233336AA(排除法排除法)511323523323236AA A AA A第34頁/共50頁例例5 5 5個人站成一排其中甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？解： 甲站排頭有 種排法，乙站排尾有 種排法，但兩種情況都包含了“甲站排頭，乙站排尾”的情況，有 種排法，所以共有 種排法.44A44A33A543543278AAA用直接法，如何分類？用直接法，如何分類？一類：甲站排尾二類：甲站中間44A113333AAA所以共有 種排法.4113433378AAA

22、A第35頁/共50頁(7)(7)、甲與乙中間必須排2名，有幾種排法？222232AAA例5 5個人站成一排第36頁/共50頁例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？順序固定問題用“除法” 對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).所以共有 種。 747733AAA分析：先在7個位置上作全排列，有 種排法。其中3個女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只對應一種排法，33A77A第37頁/共50頁本題也可以這樣考慮：對應于先將沒有限制條件的其他元

23、素進行排列，有 種方法；47A再將有限制條件（順序要求）的元素進行排列，只有一種方法；故，總的排列方法數(shù)為：47840()A 種第38頁/共50頁七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。（1）若其中的）若其中的A小孩必須站在小孩必須站在B小孩的左邊，有小孩的左邊，有多少種不同的排法？多少種不同的排法？解1：A在B左邊的一種排法必對應著A在B右邊的一種排法，所以在全排列中， A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等，因此有：25207721 A排法。（種）變式練習252057

24、 A解法2第39頁/共50頁 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。念。2)若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個女孩看作一人與四個男孩排隊，有 種排法，而三個女孩之間有 種排法，所以不同的排法共有： （種）。7203355 AA55A33A第40頁/共50頁 變式： 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。（3）若三個女孩要站在一起，四個男孩也 要站在一

25、起，有多少種不同的排法？不同的排法有：288443322 AAA（種）第41頁/共50頁七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。 （4）若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的）若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？排法？解：先把四個男孩排成一排有解：先把四個男孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。

26、35A44A14403544 AA第42頁/共50頁變式、變式、七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。 （5）若三個女孩互不相鄰，四個男孩也互不相）若三個女孩互不相鄰，四個男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？鄰，有多少種不同的排法？不同的排法共有：1443344 AA（種）相間問題第43頁/共50頁七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成兩排兩排照相留念。照相留念。（

27、6）若前排站三人，后排站四人，其中的）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B兩兩小孩必須站前排且相鄰，有多少種不同的排法？小孩必須站前排且相鄰，有多少種不同的排法？解：解：A，B兩小孩的站法有：兩小孩的站法有： （種），其余人的站法（種），其余人的站法有有 （種），所以共有（種），所以共有 （種）（種） 排法。排法。222A55A48025522 AA第44頁/共50頁解：連續(xù)命中的3 3槍和命中的另一槍被未命中的4 4槍所隔開 ，如圖表示沒有命中，_ _ _ _ _ _命中的三槍看作一個元素和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空檔中有A A2 25 5=54=20=54=20種排法2.2.某人

28、射擊8 8槍，命中4 4槍，4 4槍命中恰好3 3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？第45頁/共50頁課堂練習：課堂練習：1、4個學生和3個老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（ ） A . B . C . D .77A3344AA223322AAA333324AAA2、停車場上有一排七個停車位，現(xiàn)有四輛汽車要停放，若要使三個空位連在一起，則停放的方法有 種.3、用0、1、2、3、4、5六個數(shù)字，可組成多少個無重復數(shù)字且不能被5整除的五位數(shù)？4、在7名運動員中選出4名組成接力隊，參加4100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？D55A法一：113444384()A A A 個法二：1441355544384()A AAA A個411322522525400()AA A AA A種第46頁/共50頁拓展性練習：拓展性練習：1、把15個人分成前后三排，每排5人，不同的排法數(shù)為（ ）2355510515AAAAD1515AC3355510515AAAAB510515AAA2、計劃展出10