信息光學(xué)第一章

1、常用數(shù)學(xué)函數(shù)常用數(shù)學(xué)函數(shù) v卷積與相關(guān)卷積與相關(guān)v傅立葉變換性質(zhì)與定理傅立葉變換性質(zhì)與定理 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論v線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析v二維光波場分析二維光波場分析本章的教學(xué)目的與要求：本章的教學(xué)目的與要求：v本章是課程的基礎(chǔ)本章是課程的基礎(chǔ)v要求學(xué)生在解決光學(xué)問題中可應(yīng)用傅立葉變換性質(zhì)和定理要求學(xué)生在解決光學(xué)問題中可應(yīng)用傅立葉變換性質(zhì)和定理v加深對空間頻率、空間頻譜概念的理解加深對空間頻率、空間頻譜概念的理解本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容第一章第一章 傅立葉分析傅立葉分析2022-2-42第一章 傅里葉分析Joseph Fourier（1768-1830）2022-2-43第一章

2、傅里葉分析 函數(shù)分類函數(shù)分類 基本初等函數(shù)：基本初等函數(shù)：在函數(shù)論中，將冪函數(shù)、指數(shù)函在函數(shù)論中，將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。 初等函數(shù)：初等函數(shù)：指在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解指在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解析式對五種基本初等函數(shù)進行有限次數(shù)的四則運析式對五種基本初等函數(shù)進行有限次數(shù)的四則運算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 非初等函數(shù)：非初等函數(shù)：指在自變量的定義域中，不能用單指在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數(shù)一解析式表示的函數(shù) 1.1 光學(xué)中幾種常用函數(shù)光學(xué)中幾種常用函數(shù)v介紹它們的定義和性質(zhì)及其在信息

3、光學(xué)中的應(yīng)用介紹它們的定義和性質(zhì)及其在信息光學(xué)中的應(yīng)用; ;v要求掌握它們的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)變形要求掌握它們的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)變形; ;v主要介紹以下函數(shù)：主要介紹以下函數(shù)：矩形函數(shù)矩形函數(shù)Sinc函數(shù)函數(shù)階躍函數(shù)階躍函數(shù)符號函數(shù)符號函數(shù)三角形函數(shù)三角形函數(shù)高斯函數(shù)高斯函數(shù)圓域函數(shù)圓域函數(shù)函數(shù)函數(shù)梳狀函數(shù)梳狀函數(shù)常用函數(shù)常用函數(shù)變型變型xf(x)xf(x- x0)x0平移平移(原點移至原點移至x0)xf(-x)折疊折疊與與f(x)關(guān)于關(guān)于y軸軸鏡像對稱鏡像對稱x-f(x)取反取反與與f(x)關(guān)于關(guān)于x軸軸鏡像對稱鏡像對稱xbf(x)倍乘倍乘y方向幅度方向幅度變化變化xf(x/a)比例縮

4、放比例縮放a1, 在在x方向展寬方向展寬a倍倍a1, 在在x方向壓縮方向壓縮a倍倍平移平移縮放縮放取反取反倍乘倍乘折疊折疊常用函數(shù)變型（例）常用函數(shù)變型（例）解解1： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折疊、壓縮、平移，包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f-2(x-2)3/2最后平移xf(x)01例例: f(x)=求求 f (-2x+4)x, 0 x10 其它其它光學(xué)中幾種常用函數(shù)光學(xué)中幾種常用函數(shù)1 矩形函數(shù)矩形函數(shù) 定義：定義：一維一維 應(yīng)用應(yīng)用：單縫透過率、門函數(shù)、時間脈沖波形：單縫透過率、門函數(shù)、時間脈沖波形. .1( )0 xrec

5、ta/2xa其它11/2( )0 xrect xelse標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型： )( rect0axx x0ax0y例題：例題：f(x)=rect(x)，將該函數(shù)壓縮，將該函數(shù)壓縮2倍，然后向左平移倍，然后向左平移3，并，并以以x=1為軸折疊，求最后得到的函數(shù)，并畫出函數(shù)圖。為軸折疊，求最后得到的函數(shù)，并畫出函數(shù)圖。向左向左平移平移3 311/2oxf(x)-1/211/2( )01/2xrect xx11/4oxf(2x)-1/4x=111/4(2 )01/4xrectxx壓縮壓縮2倍倍壓縮壓縮2倍倍y1-11/4oxf(2x+6)-13/4113/411/4(26)0 xrectxelse以以x=

6、1為軸為軸折疊折疊y1 19/421/410 20 xrectxelsex=11x-11/4o-13/419/421/4x=-3x=52 sinc函數(shù)函數(shù)定義：定義：應(yīng)用：應(yīng)用：單縫或矩形孔的夫瑯和費衍射的振幅分布單縫或矩形孔的夫瑯和費衍射的振幅分布sin()sinc( )xxx注意歸一化和非歸一注意歸一化和非歸一化的兩種表達方法?；膬煞N表達方法。sin( )sinc( )xxx強度分布為強度分布為sinc函數(shù)平方函數(shù)平方3 階躍函數(shù)階躍函數(shù) 定義：定義： 00( )1 2010 x axstepx aax aTx應(yīng)用應(yīng)用：光學(xué)直邊或刀口的透過率：光學(xué)直邊或刀口的透過率標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型：00(

7、 )1 2010 xstep xxx4 符號函數(shù)符號函數(shù)定義定義：應(yīng)用應(yīng)用：與某函數(shù)相乘，可使該函數(shù)在某點的正負(fù)發(fā)生反轉(zhuǎn)。：與某函數(shù)相乘，可使該函數(shù)在某點的正負(fù)發(fā)生反轉(zhuǎn)。相位突變。相位突變。10sgn( )0010 x axx aax a0 x/aSgn(x/a)標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型：10sgn( )0010 xxxx5 三角函數(shù)（三角函數(shù)（tir(x)或或（x) 定義：定義：應(yīng)用應(yīng)用：矩形光瞳的非相干成像系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)。矩形光瞳的非相干成像系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)。11,00 xxxaaaaelse-aa1Ox 注意：函數(shù)形狀非真三角形。注意：函數(shù)形狀非真三角形。標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型： 11,00 xxxael

8、se 6 高斯函數(shù)高斯函數(shù)定義定義：2( )( ),0 xaxGausseaa標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型：2( )( )xGauss xe特點特點：1）函數(shù)分布在整個區(qū)域連函數(shù)分布在整個區(qū)域連續(xù)、可導(dǎo)。續(xù)、可導(dǎo)。2）光滑、中心強邊緣弱。）光滑、中心強邊緣弱。3）其傅里葉變換還是高斯）其傅里葉變換還是高斯函數(shù)。函數(shù)。應(yīng)用應(yīng)用：1）是激光的常見模式：基膜高斯分布。）是激光的常見模式：基膜高斯分布。2）光信息處理中的）光信息處理中的“切趾術(shù)切趾術(shù)”，實，實質(zhì)：軟邊光欄。質(zhì)：軟邊光欄。Tr7 圓域函數(shù)圓域函數(shù)定義定義：應(yīng)用應(yīng)用：描述圓孔的透過率、二維的門函數(shù)描述圓孔的透過率、二維的門函數(shù). .220001()0rr

9、xyrcirccircrr其它8 函數(shù)函數(shù)定義定義：()0()1xaxaxa dx物理意義物理意義：描述脈沖狀態(tài)這樣一類物理量，描述脈沖狀態(tài)這樣一類物理量，函數(shù)表示某種極函數(shù)表示某種極限狀態(tài)，可用于描述高度集中的物理量，如：點電荷、點光源、限狀態(tài)，可用于描述高度集中的物理量，如：點電荷、點光源、瞬間光電脈沖等，又稱脈沖函數(shù)。瞬間光電脈沖等，又稱脈沖函數(shù)。焦點處光能描述焦點處光能描述點電荷處電場描述點電荷處電場描述 )(axx=a 函數(shù)的函數(shù)序列定義式函數(shù)的函數(shù)序列定義式：(0)lim( )0(0)lim( )1NNNNxfxxfx dx 函數(shù)序列表達式的意義是在實際操作中可以將函數(shù)序列表達式的

10、意義是在實際操作中可以將 函數(shù)具體函數(shù)具體化，便于處理?；?，便于處理。是一類函數(shù)而不是某一種函數(shù)函數(shù)是一類函數(shù)而不是某一種函數(shù)函數(shù), 根據(jù)需要有多種形式。根據(jù)需要有多種形式。lim( )()NNfx dxA 常數(shù)？ /A還是還是 函數(shù)函數(shù)！函函 數(shù)數(shù)一維二維矩形函數(shù)矩形函數(shù)高斯函數(shù)高斯函數(shù)Sinc函數(shù)函數(shù)圓域函數(shù)圓域函數(shù)貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)( )lim()NxNrect Nx2( , )lim()()Nx yN rect Nx rect Ny22( )limexp()NxNNx2222( , )limexpNx yNNxy( )limsin ()NxNc Nx2( , )limsin ()si

11、n ()Nx yNc Nxc Ny222()( , )limNN circ Nxyx y22122(2)( , )limNNJNxyx yxy幾種表示幾種表示 函數(shù)的函數(shù)序列及其極限形式函數(shù)的函數(shù)序列及其極限形式 1 1） 篩選特性：篩選特性： 對任一連續(xù)函數(shù)對任一連續(xù)函數(shù) (x), 有：有：00( ) ( )(0)( ) ()()xx dxandxxxdxx 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：物理意義：所有的有限函數(shù)都可以分解成物理意義：所有的有限函數(shù)都可以分解成 函數(shù)的函數(shù)的線性組合線性組合, 很有現(xiàn)實意義。很有現(xiàn)實意義。應(yīng)用：信息處理中函數(shù)取點。應(yīng)用：信息處理中函數(shù)取點。2 2 可分離變量特性：可分

12、離變量特性：直角坐標(biāo)系里，有直角坐標(biāo)系里，有0000(,)() ()xxyyxxyy極坐標(biāo)系里，有極坐標(biāo)系里，有000()()()rrrrr 什么是可分離變量？什么是可分離變量？這里這里2200000000(0)arctan(0)rxyryx同時同時002000()10()102rrdrrdr ？3 坐標(biāo)縮放：坐標(biāo)縮放：推論：推論： 偶函數(shù)偶函數(shù) 1()( )axxa()( )xx001()()xaxxxaa試證明？試證明？試證明？試證明？1(,)( , )ax byx yab試證明：物理意義？物理意義？1()()axxa試 證 明()00(),()10()0(1)()()0()lim()li

13、m()11()0()lim()limma mma mmmmmmmxxxxd xxa xa xd xa xda xaa xd xa xd xaXdXaaaa xdaa xd xa xd x ，證 明 ： 對 于有 ： 顯 然 對 于也 有 而 對 于當(dāng)時 ，當(dāng)時 ，()111()( 2 )1(1) ( 2 )()()a ma ma xaXdXaaaa xd xaa xxa 綜 合、式 ， 得4 乘積特性乘積特性從物理上去怎么理解呢？從物理上去怎么理解呢？000( ) ()() ()xxxxxx( ) ( )(0) ( )f xxfx00()( )0(0)xxxx( ) ( )xx無定義推論：推論

14、：當(dāng)當(dāng)x x0, 由于由于 (x x0)=0, 所以等式成立。所以等式成立。當(dāng)當(dāng)x=x0, (x)= (x0), 等式等式顯然顯然成立。成立。5 積分形式：積分形式：1( )cos()21( )2ixxx dxed或者物理意義：物理意義： 函數(shù)可以由等振幅的不同頻率正弦或余弦波合成，或函數(shù)可以由等振幅的不同頻率正弦或余弦波合成，或者說者說 函數(shù)可以分解成等振幅的不同頻率正弦或余弦波。函數(shù)可以分解成等振幅的不同頻率正弦或余弦波。（傅里葉級數(shù)）（傅里葉級數(shù)） 9 梳狀函數(shù)（梳狀函數(shù)（comb function）定義：）定義：( )()ncomb xxn* 各個梳之間等間距；各個梳之間等間距；* 每

15、個梳具有每個梳具有 函數(shù)性質(zhì)。函數(shù)性質(zhì)。T 二維梳狀函數(shù)的圖形是什么？試說明。二維梳狀函數(shù)的圖形是什么？試說明。,( , )( )( )(,)n mcomb x ycomb x comb yxn ym二維：二維：梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：0000( )()() ()mxf x combxf mxxmxx應(yīng)用：重復(fù)取樣、描述時間上重復(fù)出現(xiàn)的光電脈沖、空間應(yīng)用：重復(fù)取樣、描述時間上重復(fù)出現(xiàn)的光電脈沖、空間上等間距排列的點或線光源。上等間距排列的點或線光源。實現(xiàn)重復(fù)取樣！實現(xiàn)重復(fù)取樣！1.2 卷積卷積卷積運算的意義：一個函數(shù)繞函數(shù)軸反轉(zhuǎn)并沿自變量軸做卷積運算的意義：一個函數(shù)

16、繞函數(shù)軸反轉(zhuǎn)并沿自變量軸做某一平移后與另一函數(shù)的重疊區(qū)域的積分。某一平移后與另一函數(shù)的重疊區(qū)域的積分。( )( )( )( ) ()g xf xh xfh xd1 定義：定義：設(shè)設(shè)f(x)和和h(x)是兩個復(fù)函數(shù)，其卷積定義為是兩個復(fù)函數(shù)，其卷積定義為f()h()h()x/2h(x-)2.2.卷積的應(yīng)用卷積的應(yīng)用1）卷積運算在線性系統(tǒng)、光學(xué)成像理論和傅立葉變換中經(jīng)）卷積運算在線性系統(tǒng)、光學(xué)成像理論和傅立葉變換中經(jīng)常用到。常用到。x0y0 xiyi透鏡透鏡1線光源線光源獲得線光源的獲得線光源的遠(yuǎn)場衍射圖案遠(yuǎn)場衍射圖案狹縫狹縫2）光學(xué)系統(tǒng)具有卷積功能。）光學(xué)系統(tǒng)具有卷積功能。I0( )d 透鏡透鏡

17、2ffff2002sin()/( )( )( ) ()()/iiiia xfI xIdIP xda xf22sin()/()()/iiia xfP xa xfx0= 處單位強度點光源對應(yīng)的像強度分布處單位強度點光源對應(yīng)的像強度分布像平面上的光強分布是物的光強分布與單位強度點光源對應(yīng)像平面上的光強分布是物的光強分布與單位強度點光源對應(yīng)的像強度分布的卷積。的像強度分布的卷積。像平面上總的光強分布像平面上總的光強分布卷積是關(guān)于卷積是關(guān)于x的函數(shù)，而的函數(shù)，而 只是中間的積分變量。只是中間的積分變量。 卷積的幾何意義：置換變量卷積的幾何意義：置換變量翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)平移平移相乘相乘積分積分f(x)f()h()

18、h(-)h(x- )f()h(x- )置換變量置換變量h(x)相乘和積分相乘和積分( )( )( )( ) ()g xf xh xfh xd置換變量置換變量反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)平移平移1) 展寬效應(yīng)：卷積的效果往往是使原函數(shù)變胖展寬效應(yīng)：卷積的效果往往是使原函數(shù)變胖 （光斑變大，（光斑變大，脈沖變寬）脈沖變寬）卷積后信號的非零區(qū)域大概為原來兩個信號的非零區(qū)域之和。卷積后信號的非零區(qū)域大概為原來兩個信號的非零區(qū)域之和。只要兩函數(shù)非零區(qū)域存在重疊，卷積函數(shù)就不為零。只要兩函數(shù)非零區(qū)域存在重疊，卷積函數(shù)就不為零。卷積的兩個效應(yīng)：卷積的兩個效應(yīng)：f()h(x- )x0h(x- )2)平滑效應(yīng)：使原來劇烈變化的函數(shù)

19、變緩。例如快變函平滑效應(yīng)：使原來劇烈變化的函數(shù)變緩。例如快變函數(shù)數(shù)f (x)與寬度為與寬度為a的矩形函數(shù)卷積的矩形函數(shù)卷積/2/2( )( )()( )x ax axg xfrectdfda原函數(shù)原函數(shù)f(x)在某點在某點x的值卷積后用某一段的值卷積后用某一段(x-a/2, x+a/2)的積分值來表示的積分值來表示, 等價于這段區(qū)間的平均值。等價于這段區(qū)間的平均值。 ( )( )( )( )f xh xh xf x交換律：( )( )( )( )( )( )( )aw xbv xh xaw xh xbv xh x分配律： ( )( )( )( ) ( )( )v xw xh xv xw xh

20、x結(jié)合律：卷積的運算性質(zhì)卷積的運算性質(zhì)可分離變量特性可分離變量特性: 如果參與卷積的兩個函數(shù)是可分離的如果參與卷積的兩個函數(shù)是可分離的, 其其二維卷積也是可分離的。（極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)）二維卷積也是可分離的。（極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)）分配律體現(xiàn)了卷積的線性特性。分配律體現(xiàn)了卷積的線性特性。000( )( )( )()( )( )()()f xh xg xf xxh xf xh xxg xx若， 那么參與卷積的任一函數(shù)在參與卷積的任一函數(shù)在x方向方向上平移上平移x0 0，其卷積的形狀不，其卷積的形狀不變，只是也在變，只是也在x方向上平移方向上平移x0 0卷積的位移不變性卷積的位移不變性000000000

21、00( )( )( )( )() ()()( )() ()()()()()()( )()()fxh xg xg xfh xdfxxh xfxh xxxdfxhxxxdxg xxfxh xxg xx證 明 ：同 理 ：卷積的坐標(biāo)縮放性質(zhì)：卷積的坐標(biāo)縮放性質(zhì)： ( )( )( )1()()()f xh xg xf axh axg axa設(shè)， 則兩個卷積函數(shù)的自變量放大兩個卷積函數(shù)的自變量放大a，其卷積結(jié)果等價于卷積值的壓，其卷積結(jié)果等價于卷積值的壓縮縮1/|1/|a| |。卷積函數(shù)的形狀和位置均不變。卷積函數(shù)的形狀和位置均不變。復(fù)函數(shù)卷積：利用卷積的交換律、分配律將實部和虛部分開復(fù)函數(shù)卷積：利用卷

22、積的交換律、分配律將實部和虛部分開進行。進行。注意：絕對值符號。注意：絕對值符號。1( )( )( )()()()f xh xg xf axh axg axa設(shè)， 則( )( )( )()()() ()0()()() ()/11()()0()()() ()/11()()1()()()f xh xg xf axh axf ah axadaf axh axf ah axad aag axg axaaaf axh axf ah axad aag axg axaaf axh axg axa 證明：， 則當(dāng)時, 當(dāng)時, 與與 函數(shù)的函數(shù)的卷積卷積000000( , )( , )0000( , )(,)(

23、 , ) (,)(,)( , )*(,)(,)k lk lf x yxx yyfxxyyd df xx yyg x yxx yygxx yy 而且1 1）任一函數(shù)與）任一函數(shù)與 函數(shù)卷積運算的結(jié)果只是將該函數(shù)在坐標(biāo)函數(shù)卷積運算的結(jié)果只是將該函數(shù)在坐標(biāo)上平移上平移x0, y0，函數(shù)值分布不變，曲線形狀不變。，函數(shù)值分布不變，曲線形狀不變。2 2）任一函數(shù)與任一函數(shù)與 函數(shù)的函數(shù)的（k, l）次微分的卷積是該函數(shù)經(jīng)過次微分的卷積是該函數(shù)經(jīng)過在坐標(biāo)上平移在坐標(biāo)上平移x0, y0后的微分。后的微分。0000000000()()00()()0000000( , )(,)( , ) (,)( , )(),

24、()lim( , )(),()(,) lim(),(x xy yx xy yf x yxxyyfxxyyd dfxxyyd dfxxyyd df xxyyxxy 證明2：0000()()0()()000000)(,)(,)(,)x xy yx xy yyd df xxyyxxyyd df xxyy 00000000( , )(,)( , ) (,)( , )(),()(,)()()f x yxxyyfxxyyd dfxxyyd df xxyy 函數(shù)為偶函數(shù)證明1：函數(shù)的篩選特性卷積的運算舉例（習(xí)題課，留作業(yè)）卷積的運算舉例（習(xí)題課，留作業(yè)）1( )( )( ),( )()2xfxx step

25、xh xrect 例1設(shè)，求它們的卷積首先畫出它們的函數(shù)圖。首先畫出它們的函數(shù)圖。11oxf(x)12oxh(x)h(- )o -211o f( )改寫改寫變量變量改寫改寫變量、變量、折疊折疊解：解：然后根據(jù)它們的相對位置不同，重疊情況不同劃分討論區(qū)域。然后根據(jù)它們的相對位置不同，重疊情況不同劃分討論區(qū)域。 x 0, 此時兩函數(shù)沒有重疊區(qū)，顯然，卷積值為此時兩函數(shù)沒有重疊區(qū)，顯然，卷積值為0；1) 0 x 1, 隨著隨著h(x)右移，它與右移，它與f(x)發(fā)生重疊，但發(fā)生重疊，但h(x)的右邊緣的右邊緣沒有進入沒有進入f(x) 函數(shù)在右邊的零區(qū)。此時有函數(shù)在右邊的零區(qū)。此時有20( )( )(

26、 )(1)2xxg xf xh xdxh(x- )x1o f( )1平移平移xx 01h(x- )o f( )10 x 1x注意：經(jīng)位移注意：經(jīng)位移x后。矩形函數(shù)的前、后沿坐標(biāo)。后。矩形函數(shù)的前、后沿坐標(biāo)。 3）1x 2, h(x)與與f(x)發(fā)生重疊，但發(fā)生重疊，但h(x)的左邊緣沒有進入的左邊緣沒有進入f(x) 函數(shù)在的非零區(qū)。在這段區(qū)域，兩函數(shù)的重疊區(qū)面積是一常量，函數(shù)在的非零區(qū)。在這段區(qū)域，兩函數(shù)的重疊區(qū)面積是一常量，與與x無關(guān)。無關(guān)。 4）2 x3, h(x)與與f(x)發(fā)生重疊，但發(fā)生重疊，但h(x)的左邊緣已進入的左邊緣已進入f(x) 函數(shù)在的非零區(qū)。此時有函數(shù)在的非零區(qū)。此時有

27、101( )( )( )(1)2g xf xh xd1h(x- )o f( )12x13, h(x)與與f(x)不發(fā)生重疊，不發(fā)生重疊，h(x)的左邊緣已進入的左邊緣已進入f(x) 函數(shù)函數(shù)右側(cè)的零區(qū)，此時卷積為零。右側(cè)的零區(qū)，此時卷積為零。1h(x- )o f( )1x-2x1h(x- )o f( )1x2200/ 2011/ 212( )(3)23203xxxxxg xxxx2 x311( )(),( )()22xxfxrecth xrect例 1 設(shè)求 它 們 的 卷 積 。解：首先畫出它們的函數(shù)圖解：首先畫出它們的函數(shù)圖, 并做變量變換，然后按照它們并做變量變換，然后按照它們的重疊情況

28、劃分討論區(qū)域。的重疊情況劃分討論區(qū)域。1o h( )21o f( )-2h(x- )xf( )1o -2f( )1o h(x- )-2xx -2折疊、平移折疊、平移x根據(jù)不同根據(jù)不同x決 定 計 算決 定 計 算表達式表達式f( )1o h(x- )-2x-2x 0f( )1o h(x- )2x00h(-x)f()x0h()f(x)x0h()( )( )( ) ()h x f xhf xd*不失一般性，設(shè)函數(shù)為不失一般性，設(shè)函數(shù)為實函數(shù)。實函數(shù)。卷積滿足交卷積滿足交換律！換律！f()h()f()h()f(x)h()0藍藍1紅紅2藍藍1紅紅1 藍藍2紅紅2 藍藍2紅紅1( )( )( ) ()f

29、 x h xfh xd*不失一般性，設(shè)函數(shù)為不失一般性，設(shè)函數(shù)為實函數(shù)。實函數(shù)。卷積滿足交卷積滿足交換律！換律！f()h()f()h(x-)0=0 0f()h(x-)f()h(x-)f()h(x-)1212藍藍1紅紅2藍藍1紅紅1 藍藍2紅紅2 藍藍2紅紅1互相關(guān)與卷積的比較：互相關(guān)與卷積的比較：1）互相關(guān)時有一函數(shù)要取復(fù)共軛，而卷積沒有；）互相關(guān)時有一函數(shù)要取復(fù)共軛，而卷積沒有；2）互相關(guān)圖形不需要反轉(zhuǎn)；）互相關(guān)圖形不需要反轉(zhuǎn)；3）兩者在位移、相乘和積分這三個過程是一樣的。）兩者在位移、相乘和積分這三個過程是一樣的。如果如果f (x)為實偶函數(shù)，那么互相關(guān)和卷積的結(jié)果相等。為實偶函數(shù)，那么互

30、相關(guān)和卷積的結(jié)果相等。這時函數(shù)折疊和共軛都不改變函數(shù)值。這時函數(shù)折疊和共軛都不改變函數(shù)值。( )( )( )( )f xh xf xh x*互相關(guān)的意義：互相關(guān)的意義：衡量兩個函數(shù)間存在的關(guān)聯(lián)程度，兩信號關(guān)聯(lián)衡量兩個函數(shù)間存在的關(guān)聯(lián)程度，兩信號關(guān)聯(lián)程度高互相關(guān)值就大。程度高互相關(guān)值就大。2 2 自相關(guān)自相關(guān)定義：定義：性質(zhì)：性質(zhì)：意義：意義：衡量同一函數(shù)不同點之間的相關(guān)程度。衡量同一函數(shù)不同點之間的相關(guān)程度。( )( )( )( ) ()() ( )eff xf xf xff xdfx fd( )( )( )()()()ffffexf xf xfxfxex應(yīng)用：自相關(guān)測量應(yīng)用：自相關(guān)測量自相關(guān)

31、的運算性質(zhì)：自相關(guān)的運算性質(zhì)：2 2、自相關(guān)函數(shù)的模在原點處有極大值。即、自相關(guān)函數(shù)的模在原點處有極大值。即( )( )( )(0)(0)(0)ffffexf xf xeff書本有誤！書本有誤！22( ) ( )( )( )g x h x dxg xdxh xdx取施瓦茨不等式證明：證明：1/ 22*1/ 222( )( )( )()( )()( )(0)fffxfxffx dfdfxdfde1 1、厄米特對稱：、厄米特對稱：若若f(x)為實函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。為實函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。( )( )( )()()ffexf xf xfxfx相關(guān)的運算舉例相關(guān)的運算舉例( )( )

32、, ( )( )f xrect x h xrect x例1 設(shè)，求它們的相關(guān)函數(shù)。解解1：1) 第一函數(shù)取共軛。這里是實函數(shù)，可以省略。第一函數(shù)取共軛。這里是實函數(shù)，可以省略。 2) 兩函數(shù)變量變換：兩函數(shù)變量變換：f (x) f ( ), h(x) h( ) 。 3) 第二函數(shù)平移：第二函數(shù)平移： h( ) h(x+ )。 4) 確定積分區(qū)域劃分、積分。確定積分區(qū)域劃分、積分。h(x+ )的中心在的中心在 = -x處處.f ( )h (x+ )-1/21/2 x- x f( ) 與與h(x+ )不重合，相關(guān)函數(shù)。不重合，相關(guān)函數(shù)。( )( )( )0g xf xh xf ( )h (x+ )

33、-1/21/2-x-x = -x-1 x 0， f( ) 與與h(x+ )部分重部分重合，相關(guān)函數(shù)合，相關(guān)函數(shù)1/21/2( )()1xg xrect xdx f ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x0 x 1， f( ) 與與h(x+ )部分重部分重合，相關(guān)函數(shù)合，相關(guān)函數(shù)1/21/2( )()1xg xrect xdx 11122xx f ( )h (x+ )-1/21/2 x- x = -xf ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x1 x ， f( ) 與與h(x+ )不重合，不重合，相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為001110( )10101xxxg xxxx 與書本

34、不一致！與書本不一致！解解2：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，有根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，有1/21/2( )( )()()g xrectrect xdrect xd01110( )10101xxxg xxxx rect(x+ )的非零值區(qū)域為的非零值區(qū)域為1/21/2,1/21/2xxx 即1/21/21/21/2/1/21/1/2/1/1/2/1( )()1/1/2/0( )()1xxxxxxxxg xrect xdxxxg xrect xdx 當(dāng)12，即時，在-12 12積分區(qū)間，被積函數(shù)為始終為0。當(dāng)12，即時，在-12 12積分區(qū)間，被積函數(shù)為始終為0。當(dāng)-1212，即0時，當(dāng)-1212，即-1時，1

35、1( )(), ( )()22( )xxf xrecth xrectg x例2 設(shè)，求它們的相關(guān)函數(shù)02111( )()()()222xxg xrectrectdrectdf ( )-20 h(x+ -1)/22-x-x = 1-x解：解：2-x4, f( ) 與與h(x+ )不重合不重合( )( )( )0g xf xh xf ( )-20 h (x+ -1)/22-x-x = 1-x-2 2-x0， 2 x4, f( ) 與與h(x+ )部分重合部分重合0( )xg xdxf ( )-20 h (x+ -1)/22-x-x = 1-x0 2-x2， 0 x2， x0,b0, 有11(,)(

36、,)(,),yyxxyxffffxyababffxyaaF F FFFabababFFXax YbY這里 2 ()2 ()2 ()2 ()2 ()(,)(,)1(,)1(,)1(, )xyxyffyxabffyxabxyif xf yif xf yiaxbyiaxbyiF XF Yf ax by edxdyf ax by edxdyf ax by ed ax d byabf ax by ed ax d byabf X Y ed X d Yab如果a0,b0, 有11(,)(,)yxffxyabF F FFabab同理可證同理可證a 0,b 0的情況的情況 2 ()2 ()2 ()2 ()2 (

37、,)(,)1(,)11(,)1(, )xyxyffyxabffyxabxif xf yif xf yiaxbyiaxbyiF Xf ax by edxdyf ax by edxdyf ax by ed ax d byabf ax by ed ax d byabf X Y eab如果a0,b0, 有 )11(,)(,)yyxF Yffxyabd X d YF F FFabab證畢證畢v3 3）位移定理）位移定理 A A 位移和時移：位移和時移： 即函數(shù)即函數(shù)f(x,y)在空域或時域平移，只引起其頻譜的相位線性在空域或時域平移，只引起其頻譜的相位線性平移，而不改變其振幅頻譜。平移，而不改變其振幅頻

38、譜。 B B 頻移頻移 即原函數(shù)在空域中的相移會引起其頻譜函數(shù)在頻域的平移。即原函數(shù)在空域中的相移會引起其頻譜函數(shù)在頻域的平移。),(2),(),(bfafiyxyxeffFbyaxf2 () ( , )(,)ixyxyf x y eF ff 注意：這里所謂的相移、位移都是與橫向空間坐標(biāo)相關(guān)的。注意：這里所謂的相移、位移都是與橫向空間坐標(biāo)相關(guān)的。 2 ()22222(,) ( , )( , )(,)(, )(, )xyxyxyxyxyxyif xf yifx a afy b bifXafYbif af bif Xf Yif af bF fx fyf x yf x y edxdyf xa yb

39、ed xa d ybf X Y edXdYef X Y edXdYe 證明：，(,),F fx fyXxa YYb這里2 (,) (,)(,)xyif a f bxyf xa ybF ffe試證：2 () ( , )(,)ixyxyf x y eF ff 證明：4 4）卷積定理）卷積定理),(),(),(),(),(),(),(),(yxyxyxyxffGffFyxgyxfffGffFyxgyxf通過傅立葉變換，可將空域（或頻域）中的卷積運算，通過傅立葉變換，可將空域（或頻域）中的卷積運算，對應(yīng)為頻域（或空域）中的乘積運算。避開了復(fù)雜的對應(yīng)為頻域（或空域）中的乘積運算。避開了復(fù)雜的卷積運算。卷

40、積運算。兩個函數(shù)卷積的傅立葉變換等于兩函數(shù)各自傅立葉兩個函數(shù)卷積的傅立葉變換等于兩函數(shù)各自傅立葉變換的乘積；而兩個函數(shù)乘積的傅立葉變換等于此變換的乘積；而兩個函數(shù)乘積的傅立葉變換等于此兩函數(shù)各自傅立葉變換的卷積兩函數(shù)各自傅立葉變換的卷積. . ( , )( , )(,) (,)xyxyf x yg x yF ffG ff證明：2222 ( , )( , )( , ) (,)( , ) (,)( , )( , )xyxyxyxyif x f yifxfyiffif Xf Yf x yg x yfg xyd dedxdyfg xyd dedxdyfeg X Y ed d 證明：22( , )( ,

41、 )( ,) ( ,)xyxyiffif Xf YxyxydXdYfed dg X Y edXdYF ff G ff 5 5）互相關(guān)定理）互相關(guān)定理v兩函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)和它們的互功率譜構(gòu)成傅立葉變換對。兩函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)和它們的互功率譜構(gòu)成傅立葉變換對。),(),(),(),(),(),(),(),(yxyxyxyxffGffFyxgyxfffGffFyxgyxff(x, y)與與g(x, y)的的互功率互功率譜譜有興趣的同學(xué)可以自行證明有興趣的同學(xué)可以自行證明6 6）自相關(guān)定理）自相關(guān)定理v信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜之間存在傅立葉變換關(guān)系。信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜之間存在傅立葉變換關(guān)系。)

42、,(),(),(),(),(),(22yxyxyxffFffFyxfffFyxfyxf互功率互功率譜譜7）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定理定理 ( , )( ,), ( ,)( ,)f rFf rF 設(shè)則 原函數(shù)在空域中轉(zhuǎn)動原函數(shù)在空域中轉(zhuǎn)動 角，對應(yīng)的譜函數(shù)在頻域也轉(zhuǎn)角，對應(yīng)的譜函數(shù)在頻域也轉(zhuǎn)動了同樣的動了同樣的 角。（需知道結(jié)論）角。（需知道結(jié)論）8 8）能量守恒定理（岶色渥定理）能量守恒定理（岶色渥定理）22( , )(,)xyxyf x ydxdyF ffdf df廣義岶色渥定理廣義岶色渥定理*( , )( , )(,)(,)xyxyxyf x y gx y dxdyF ffGffdf df不要求證不要求

43、證明，但要明，但要掌握！掌握！9）積分定理積分定理即對函數(shù)連續(xù)進行變換和逆變換，又重新得到原函數(shù)（即對函數(shù)連續(xù)進行變換和逆變換，又重新得到原函數(shù)（可逆可逆）。10）多次變換定理多次變換定理 在函數(shù)在函數(shù)f(x,y)連續(xù)的各點上，有：連續(xù)的各點上，有：即對函數(shù)即對函數(shù)f(x,y)連續(xù)作兩次傅立葉變換或逆變換，得其連續(xù)作兩次傅立葉變換或逆變換，得其“鏡像鏡像”（傅立葉變換的（傅立葉變換的對稱性）對稱性）。光學(xué)模型為。光學(xué)模型為4f 成像系統(tǒng)成像系統(tǒng)),(),(),(11yxfyxfyxf),(),(),(11yxfyxfyxff f f f 像面像面譜面譜面物面物面透鏡透鏡透鏡透鏡11）微分性質(zhì)微

44、分性質(zhì)即空域的微分運算可被頻域內(nèi)乘以即空域的微分運算可被頻域內(nèi)乘以2 fi 代替。代替。12）積分性質(zhì)積分性質(zhì) 即函數(shù)的積分運算可通過傅立葉變換簡化為除法運算。即函數(shù)的積分運算可通過傅立葉變換簡化為除法運算。)(2)0()(21)(xxxxfFfFfidf)()(2)(2)(xxxxxfFdfdxffifFfixfdxd13）共軛變換定理共軛變換定理若若f(x,y)為非負(fù)實函數(shù)，有為非負(fù)實函數(shù)，有 *1*( , )(,)(,)( , )xyxyfx yFffFfffx y*(,)(,)xyxyF ffFff復(fù)函數(shù)的傅立葉變換復(fù)函數(shù)的傅立葉變換( ,)( , ) ,( , )( , )( , )

45、xyRiF fff x yf x yf x yif x y如果那么(,)( , )( , )xyRiF fffx yif x y 用到傅里葉變換用到傅里葉變換的什么特性？的什么特性？注意下列問題！注意下列問題！(,)Re(,)Im(,)xyxyxyF ffF ffiF ffRe(,)( , ) ?Im(,)( , ) ?xyRxyIF fffx yF fffx y 不一定不一定是實數(shù)是實數(shù)不一定是不一定是虛數(shù)虛數(shù)結(jié)論：結(jié)論：1 1）復(fù)函數(shù)的）復(fù)函數(shù)的傅立葉變換等于其實函數(shù)部分和虛函數(shù)部分的分傅立葉變換等于其實函數(shù)部分和虛函數(shù)部分的分別傅立葉變換之和。別傅立葉變換之和。2 2）如果）如果f(x,

46、 y)為實函數(shù)，其傅立葉變換的實部為偶函數(shù)，虛部為實函數(shù)，其傅立葉變換的實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。3 3）如果）如果f(x, y)為實奇函數(shù)，其傅立葉變換的實部為零。為實奇函數(shù)，其傅立葉變換的實部為零。常見函數(shù)的傅里葉變換對常見函數(shù)的傅里葉變換對原函數(shù)原函數(shù)譜函數(shù)譜函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)譜函數(shù)譜函數(shù)1(fx, fy)rect(x) rect(y)sinc(fx) sinc(fy) (x, y)1(x) (y)sinc2(fx) sinc2(fy)(x-x0, y-y0)exp-i2 (fxx0+fyy0)comb(x) comb(y) comb(fx) comb(fy)exp-i2 (a

47、x+ by) (fx a, fyb)step(x)(fx)/2+1/(2ifx)cos(2fxx) (fx f0)+(fx+f0)/2exp-(x2+y2)exp-(fx2+fy2)sin(2fxx) (fx f0)- (fx+f0)/2i circ(x2+y2)0.5 (x x0)+ (x+x0) /2cos(2fxx0)sgn(x)sgn(y)i (x-x0)- (x+x0)/2sin( 2fxx0)expi(x2+y2)expi/2 exp-i(fx2+fy2)221222xyxyJffff11xyifif1.6 線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)1 1 系統(tǒng)的算符表示系統(tǒng)

48、的算符表示v系統(tǒng)：系統(tǒng)：對給定的信號作出響應(yīng)而給出另外的信號，對給定的信號作出響應(yīng)而給出另外的信號，即對信號產(chǎn)生即對信號產(chǎn)生作用作用。v作用：作用：將其定義為將其定義為一種變換一種變換，把對系統(tǒng)的，把對系統(tǒng)的輸入稱為輸入稱為激勵激勵，而對此系統(tǒng)的，而對此系統(tǒng)的輸出稱為響應(yīng)輸出稱為響應(yīng)。系 統(tǒng)激勵激勵( (輸入輸入) )響應(yīng)響應(yīng)( (輸出輸出) ),(11yxf),(22yxg實際存在的系統(tǒng)有很多形式，我們這里只討論具有實際存在的系統(tǒng)有很多形式，我們這里只討論具有線性或同時具有平移不變性的系統(tǒng)。線性或同時具有平移不變性的系統(tǒng)。比較簡單、常比較簡單、常見的有應(yīng)用價值。見的有應(yīng)用價值。系統(tǒng)的作用系統(tǒng)

49、的作用就是完成物理或數(shù)學(xué)上的某種變換或運算。就是完成物理或數(shù)學(xué)上的某種變換或運算。算符算符 表示系統(tǒng)的作用，表示系統(tǒng)的作用，這個算符的性質(zhì)，要針對這個算符的性質(zhì)，要針對具體系統(tǒng)而定。具體系統(tǒng)而定。處理的處理的特點特點：簡化信息處理。：簡化信息處理。信息處理對系統(tǒng)的信息處理對系統(tǒng)的核心任務(wù)核心任務(wù): 找出系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。找出系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。1 1）光學(xué)成像過程：）光學(xué)成像過程：“物物”光分布光分布線性變換線性變換“像像”光分布光分布v分析一個系統(tǒng)，就是要確定系統(tǒng)輸入輸出之間的對應(yīng)關(guān)系；分析一個系統(tǒng)，就是要確定系統(tǒng)輸入輸出之間的對應(yīng)關(guān)系；v描述系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系就是把一個激勵轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的描述系統(tǒng)

50、輸入輸出之間關(guān)系就是把一個激勵轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的一個響應(yīng)，這種轉(zhuǎn)換可以用一個算子表示為：一個響應(yīng)，這種轉(zhuǎn)換可以用一個算子表示為： g(x)=f(x)v對于線性系統(tǒng)，則有：對于線性系統(tǒng)，則有： c1g1(x)+c2g2(x)=c1f1(x)+c2f2(x)2 2 線性系統(tǒng)的意義線性系統(tǒng)的意義( (不變形不變形) )2)2)線性系統(tǒng)的定義線性系統(tǒng)的定義112211221212( )( )( )( )( )( );( )( )( )( )f (x)gxf (x)gxfxgxfxgxfxfxgxgx假設(shè)一個激勵作用于某系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為；激勵作用于某系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為；用符號表示為：，那么系統(tǒng)滿足可加性它的重要

51、性質(zhì)就它的重要性質(zhì)就是線性疊加性是線性疊加性由幾個激勵函數(shù)相加產(chǎn)生的總響應(yīng)是各個激由幾個激勵函數(shù)相加產(chǎn)生的總響應(yīng)是各個激勵單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)函數(shù)之和勵單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)函數(shù)之和含義：若把一個線性組合整體輸入線性系統(tǒng)，則系含義：若把一個線性組合整體輸入線性系統(tǒng)，則系統(tǒng)的總響應(yīng)是單個響應(yīng)的同樣的線性組合；統(tǒng)的總響應(yīng)是單個響應(yīng)的同樣的線性組合；也可以理解為：也可以理解為：系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)能夠用它對系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)能夠用它對此輸入分解成的某些基元函數(shù)的響應(yīng)表示出來。此輸入分解成的某些基元函數(shù)的響應(yīng)表示出來。1 1111( )( )c f xc g xc齊次性（均勻性）：，其中 為任意常數(shù).

52、當(dāng)系統(tǒng)未加激勵當(dāng)系統(tǒng)未加激勵時它不產(chǎn)生任何時它不產(chǎn)生任何響應(yīng)，保持比例響應(yīng)，保持比例因子不變。因子不變。1 12 21 122( )( )( )( )c f xc f xcg xc g x綜合上述兩特性，線性系統(tǒng)的定義可表示為：假設(shè)系統(tǒng)的激勵函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)的激勵函數(shù)為11111()niif(x ,y )f x ,y相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為22221()niig(x ,y )g x ,yai為常數(shù)，為常數(shù)， .為系統(tǒng)算符。那么對于線性系統(tǒng)有為系統(tǒng)算符。那么對于線性系統(tǒng)有2211221111inniiiiiig(x ,y )f (x ,y )a g (x ,y )a f (x ,y

53、 )以及問題：問題：根據(jù)系統(tǒng)的定義，傅立葉變換算符可看作系統(tǒng)的變換算符，根據(jù)系統(tǒng)的定義，傅立葉變換算符可看作系統(tǒng)的變換算符，那么它是線性系統(tǒng)嗎？為什么？那么它是線性系統(tǒng)嗎？為什么？對于連續(xù)的激勵對于連續(xù)的激勵( , )( , )( , )g x yagd dafd d 可以表示為積分形式：v處理線性系統(tǒng)常用方法：處理線性系統(tǒng)常用方法：3)3)線性系統(tǒng)的分析與綜合：傅立葉分析線性系統(tǒng)的分析與綜合：傅立葉分析一個復(fù)一個復(fù)雜輸入雜輸入分解分解多個簡單多個簡單“基基元元”輸入輸入計 算 每 個計 算 每 個“基元基元”輸輸入的響應(yīng)入的響應(yīng)總響應(yīng)總響應(yīng)疊加疊加傅立葉分析提供了一個進行信號分解的手段！傅立

54、葉分析提供了一個進行信號分解的手段！2()(,)( , )xyif xf yxyF fff x y edxdy基元函數(shù)基元函數(shù)權(quán)重因子權(quán)重因子基元函數(shù)的意義：基元函數(shù)的意義：代表了傳播方向為：代表了傳播方向為： cos fx，cos fy的單位振幅的平的單位振幅的平面波。面波。逆傅立葉變換的物理意義：逆傅立葉變換的物理意義：物函數(shù)物函數(shù)f(x,y)可看作是無數(shù)振可看作是無數(shù)振幅不同幅不同 (|F(fx,fy) |dfxdfy)方向不同方向不同（ cos fx，cos fy ）的平面波線性疊加的結(jié)果的平面波線性疊加的結(jié)果(傅立葉分解傅立葉分解)。yxyfxfiyxyxdfdfeffFffFyxf

55、yx)(21),(),(),(基元函數(shù)基元函數(shù)權(quán)重因子權(quán)重因子逆傅立葉變換提供了分解函數(shù)的一種手段。逆傅立葉變換提供了分解函數(shù)的一種手段。v線性系統(tǒng)的基本特點：線性系統(tǒng)的基本特點：它對同時作用的幾個激勵函數(shù)的它對同時作用的幾個激勵函數(shù)的響應(yīng)等于每個激勵函數(shù)單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)之和。響應(yīng)等于每個激勵函數(shù)單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)之和。v系統(tǒng)對任一輸入函數(shù)的響應(yīng)可用基元函數(shù)響應(yīng)的線性組系統(tǒng)對任一輸入函數(shù)的響應(yīng)可用基元函數(shù)響應(yīng)的線性組合來表示。合來表示。v基元函數(shù)基元函數(shù): 指不能指不能再分解的基本函數(shù)單元再分解的基本函數(shù)單元,且它們的且它們的響應(yīng)是響應(yīng)是比較易于確定比較易于確定的。在光學(xué)系統(tǒng)中，常用的基

56、元函數(shù)有三種：的。在光學(xué)系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有三種：函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)v線性系統(tǒng)對某種線性系統(tǒng)對某種“基元基元”激勵的響應(yīng)。激勵的響應(yīng)。已知已知f(x1,y1)是系統(tǒng)的激勵（輸入），求系統(tǒng)對輸入是系統(tǒng)的激勵（輸入），求系統(tǒng)對輸入f(x1, y1)的響應(yīng)的響應(yīng)g(x2, y2)研究系統(tǒng)的主要任務(wù)是要知道它如何作用于輸入信號。研究系統(tǒng)的主要任務(wù)是要知道它如何作用于輸入信號。最原始的方法就是最原始的方法就是一點一點一點一點取樣分析。求助于取樣分析。求助于函數(shù)函數(shù)的篩選的篩選性質(zhì)。性質(zhì)。1111( ,)( , ) (,)f x yfxyd d 根據(jù) 函數(shù)的篩選性質(zhì)：

57、系統(tǒng)輸入函系統(tǒng)輸入函數(shù)的分解式數(shù)的分解式f(x1, y1)看成以看成以函數(shù)為基元函數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)以以f( , )為權(quán)重的組合。為權(quán)重的組合。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，也稱點擴散函數(shù)也稱點擴散函數(shù)2211112211222211(,) ( ,)( , ) (,)(,)( , ) (,)( , ) (, )(, ) (,)g x yf x yfxyd dg x yfxyd dfh xyd dh x yxy 則：；式中，；線性系統(tǒng)輸線性系統(tǒng)輸出函數(shù)的疊出函數(shù)的疊加積分加積分知道了系統(tǒng)的點擴散函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）就知道系統(tǒng)知道了系統(tǒng)的點擴散函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）就知道系統(tǒng)的傳輸特性。的傳

58、輸特性。1)1)線性空不變系統(tǒng)的定義線性空不變系統(tǒng)的定義101020200000 (,)(,)xxyyh xxyyxyxy 這里、只與、有關(guān)。3 3 線性空不變系統(tǒng)線性空不變系統(tǒng)一個一個線性線性系統(tǒng)，當(dāng)激勵函數(shù)僅在輸入面上位移時，系統(tǒng)的系統(tǒng)，當(dāng)激勵函數(shù)僅在輸入面上位移時，系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)始終具有相同的形式，僅造成響應(yīng)函數(shù)在輸出面響應(yīng)函數(shù)始終具有相同的形式，僅造成響應(yīng)函數(shù)在輸出面上的位移。即上的位移。即 首先是線性系統(tǒng)，其對激勵的作用具有線性疊加特性。首先是線性系統(tǒng)，其對激勵的作用具有線性疊加特性。線性空不變系統(tǒng)對輸入信號空間位置的平移所產(chǎn)生的唯一線性空不變系統(tǒng)對輸入信號空間位置的平移所產(chǎn)生的唯一

59、效應(yīng)是使輸出信號的位置也產(chǎn)生成常數(shù)比例的平移效應(yīng)是使輸出信號的位置也產(chǎn)生成常數(shù)比例的平移, ,而系統(tǒng)而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)不變。的脈沖響應(yīng)函數(shù)不變。 系統(tǒng)對激勵的作用與激勵的空間坐標(biāo)無關(guān)，系統(tǒng)對激勵的作用與激勵的空間坐標(biāo)無關(guān)，只與空間坐標(biāo)的相對量有關(guān)。只與空間坐標(biāo)的相對量有關(guān)。1221111202011010(,)(,)(,)(,)gxyfxygxxyyfxxyy脈沖響應(yīng)形式較簡單：脈沖響應(yīng)形式較簡單：),(),;,(2222yxhyxh2)2)線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)實際上存在像差的影響。實際上存在像差的影響。只依賴于位置差而與具體位置坐標(biāo)無關(guān)。當(dāng)點光源在物只依賴于位置差而與具

60、體位置坐標(biāo)無關(guān)。當(dāng)點光源在物場中移動時，像只改變位置而不改變形狀（等暈性）場中移動時，像只改變位置而不改變形狀（等暈性）.疊加積分式：疊加積分式：),(*),(),(),(),(22222222yxhyxfddyxhfyxg像可表示為物與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)在輸出平面上的一個二維卷積。像可表示為物與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)在輸出平面上的一個二維卷積。線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是其脈沖傳遞函數(shù)的傅里葉變換。線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是其脈沖傳遞函數(shù)的傅里葉變換。),(),(),(),(),(yxhffHffFffHffGyxyxyxyx其中傅立葉變換形式簡單傅立葉變換形式簡單系統(tǒng)傳遞函數(shù)，表示系統(tǒng)在頻域?qū)π盘柕膫鬟f能力。系