北航張量講義4

1、第四章 一般張量一般張量定義在一般坐標系上。一般坐標系包括了直線坐標系和曲線坐標系， 笛卡兒直角坐標系是基為標準基的直線坐標系。所以，在一般坐標系中，基不一定是標準基，其坐標變換不一定是正交變換。為了維持張量式的不變性，需引進兩組基協(xié)變基和逆變基，從而產(chǎn)生不同類型的張量協(xié)變張量、逆變張量和混變張量。（一般坐標系下的指標約定：為了區(qū)別不同類型的基和張量，需同時采用上標與下標，并修改求和約定：² 除自然坐標系外，坐標采用上標變量 （4.1）² 自然坐標系下的，上標變量與下標變量有相同的含義 （4.2）² 啞標必須在上下標中各取一個（4.3）² 偏導(dǎo)數(shù)分母中的

2、上下標與分子指標相同時，構(gòu)成啞標（4.4）² 用括號來區(qū)分指數(shù)與上標xi的平方為(xi)2)4.1一般坐標系中的基向量第一章已說明，一般坐標系中，空間點P的位置由坐標y i通過變換確定（4.5）,物理空間中自然坐標系坐標，變換空間中一般坐標系坐標，到的變換（正變換）。y2y1y3x1x3x2變換空間物理空間T:T -1:線線線幾何上（如圖）把變換空間的點P¢變換為物理空間點P，把變換空間坐標面（垂直于坐標軸，面上一個坐標保持常數(shù)）組成的六面體變換為物理空間坐標面組成的曲面六面體。六面體上坐標面的交線即為坐標線。P點有三條坐標線，其向量方程為（4.6）據(jù)向量導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，

3、坐標線的切向量為（4.7）另一方面，的Jacobi矩陣為（4.8）可見的列向量即為切線向量?？紤]到行列式與混合積的關(guān)系，的Jacobi行列式為（4.9）因為坐標變換為可逆變換，由上式，向量組不共面，即向量組線性無關(guān)，且有逆變換存在（4.10）逆變換可視為物理空間的三個標量場，有三個梯度向量（4.11）梯度垂直于等值面，則分別與相應(yīng)的坐標面垂直，也就與坐標面內(nèi)的向量垂直（如圖）。下面我們討論兩組向量的關(guān)系，并證明的線性無關(guān)性。逆變換的Jacobi矩陣為（4.12）可見的行向量為梯度向量gi，因此的Jacobi行列式可表示為（4.13a）與滿足正交歸一條件，即（4.13）因為這說明正逆Jacobi

4、矩陣是互逆關(guān)系（4.14）上式求行列式得（4.15）這表明，正逆Jacobi行列式均不為零，且有相同的符號。由（4.13a）知是線性無關(guān)的,且（4.16）綜上所述，與均為線性無關(guān)的向量組，二者為互逆的一一對應(yīng)的對偶關(guān)系，都可作為張量空間的基，稱為協(xié)變基，稱為逆變基，二者互為對偶基。通過（4.14）式，我們可從任一組基向量求得另一組基向量。此外，由與的定義不難看出，一般情況下，它們都是空間點的函數(shù)，不一定正交，也不一定為單位向量。自然要問，我們?yōu)槭裁床贿x擇較為簡單的自然基或標準基？下面例子說明了這個問題。例1 （4.3）式中，粒子的速度可表示為可看出，等式右端含有協(xié)變基，為了維持張量式的不變性，

5、我們必須取協(xié)變基作為yi系下的基，從而有例2 （4.4）式中，標量場的梯度為同樣，為了維持張量的不變性，必須取逆變基作為yi系下的基，使上兩例說明，在一般坐標系下，若要使張量式與直角坐標系保持一致，張量的基不能任意取，有的張量需取協(xié)變基，有的則應(yīng)取逆變基，另一些即可取協(xié)變基，也可取逆變基。實用上，逆變換一般是未知的，我們可先通過正變換求協(xié)變基，然后通過互逆關(guān)系（4.14）求逆變基。此外，還有一種適合于手工計算的簡單方法求逆變基。例如，因與與與垂直，故有又所以有（4.17）最后指出，自然坐標系的變換可視為自身到自身的恒等變換，所以有所以自然基也包含于協(xié)變基與逆變基之中。例41 直線坐標系的坐標變

6、換為 （4.18）試求協(xié)變基和逆變基。解：（4.18a）（4.18b）本例說明直線坐標系的協(xié)變基和逆變基都是常向量。本例中協(xié)變基為非正交單位向量，逆變基為非正交非單位向量，協(xié)變基向量和坐標系的幾何圖象如下圖所示。T:T -1:變換空間物理空間線線線例42 柱坐標系的坐標變換為（4.19）試求協(xié)變基和逆變基。解：引入指標變量，（4.19）式寫為（4.20）所以有可見柱坐標系的基向量為空間坐標的函數(shù)。在曲線坐標中，協(xié)變基和逆變基都是空間坐標的函數(shù)，所以稱為局部基向量。不難看出，柱坐標系的基為正交非單位向量，協(xié)變基向量和坐標系的幾何圖象如下圖所示。T:T -1:變換空間線線線物理空間 例43 求向量

7、 在例41協(xié)變基和逆變基下的分量。解：在協(xié)變基下，可寫為（4.21）稱的逆變分量。用點乘上式，（4.22）則可寫為（4.23）同理有（4.24）稱的協(xié)變分量。由此可見, 協(xié)變基和逆變基的引入，使得向量在任意坐標系的分量求解式的形式保持不變，從而滿足了張量方程的不變性要求。由（4.18a，b）（4.23）（4.24）得4.2坐標變換與一般張量421 基向量的變換設(shè)有兩個坐標系：老系與新系，相應(yīng)的坐標變換為（4.25）上式為一一對應(yīng)的可逆關(guān)系，必有（4.26）前者為新到老的變換函數(shù)，稱正變換函數(shù)，后者為老到新的變換函數(shù)，稱逆變換函數(shù)。老系和新系的協(xié)變基為（4.27）據(jù)求導(dǎo)鏈式法則，新老協(xié)變基的關(guān)系

8、為（4.27a）令（4.28）則（4.28）式可寫為（4.29）稱協(xié)變基的正變換系數(shù)。一般情況下，與的關(guān)系式并不知道，我們用基向量來確定變換系數(shù)，為此用點乘上式（4.30）又，老新協(xié)變基的關(guān)系為（4.31）令（4.32）則（4.31）式可寫為（4.33）且有（4.34）（注：正逆變換式中，自由標為變換系數(shù)矩陣的行標，啞標為列標）稱協(xié)變基的逆變換系數(shù)。正逆變換系數(shù)矩陣互為逆矩陣，事實上（4.35）類似地，老系和新系的逆變基為（4.36）新老逆變基的關(guān)系為（4.37）令（4.38）則（4.37）式可寫為（4.39）逆變基的正變換系數(shù)。比較（4.32）（4.38）式知：逆變基的正變換系數(shù)是協(xié)變基的逆

9、變換系數(shù)的轉(zhuǎn)置，即（4.40）同理可得逆變基的逆變換公式（4.41）（4.42）為逆變基的逆變換系數(shù)，且有：逆變基的逆變換系數(shù)是協(xié)變基的正變換系數(shù)的轉(zhuǎn)置。同樣有：逆變基的正逆變換系數(shù)矩陣互為逆矩陣（4.43）以上特性表明，為了確定基的變換，我們只需計算協(xié)變基的變換系數(shù)。例44 試計算聯(lián)系自然坐標系與柱坐標系的變換系數(shù)解：據(jù)題意有（4.44）根據(jù)自然基的定義和例42的結(jié)果有422 一般張量及其變換在一般坐標系下，用協(xié)變基或逆變基作張量基可得1階一般張量，用協(xié)變和逆變基各自作并積或相互作并積可得不同的張量基和相應(yīng)的張量。² 1階協(xié)變張量用逆變基作張量基 （4.45），為老新坐標系下的分量

10、，稱協(xié)變分量。將基向量的變換式代入可得分量的變換式（4.46）可見協(xié)變張量的變換與協(xié)變基的變換規(guī)律相同。（4.46）式也可看作是1階協(xié)變張量的定義。² 1階逆變張量用協(xié)變基作張量基 （4.47），為老新坐標系下的分量，稱逆變分量。將基向量的變換式代入可得分量的變換式（4.48）可見逆變張量的變換與逆變基的變換規(guī)律相同。（4.48）式也可看作是1階逆變張量的定義。² 2階協(xié)變張量用逆變基的并積作張量基 （4.49）將基向量的變換式代入可得新老協(xié)變分量的變換式 （4.50）² 2階逆變張量用協(xié)變基的并積作張量基 （4.51） （4.52）² 2階混變張量用協(xié)

11、變基與逆變基的并積作張量基 （4.53） （4.54） （4.55） （4.56）小圓點是占位符。指標分布的規(guī)律是：自由標平著走，啞標上下分，逆變量是上標，協(xié)變量是下標。 類似地，可寫出任意階張量的表達式。4. 2. 3一般相對張量首先討論新老基混合積間的關(guān)系，仿(1.63)式的證明可得（4.57）（4.58）表示到的Jacobi行列式，所以有（4.59）因為逆變基的混合積滿足（4.16）式，所以決定新老基混合積間的關(guān)系的獨立參數(shù)是，可用來定義一般相對張量。以2階協(xié)變相對張量為例，仿卡氏相對張量的定義有（4.60）將基向量的變換式代入，并考慮（4.59）式可得新老協(xié)變分量的變換式 （4.61）

12、w±1、±2、¼稱為T的權(quán)。例44 證明置換符號（4.62）為相對張量。證：由混合積的性質(zhì)得（4.63）上式代入了（4.16）式。由此有（4.64）所以為權(quán)為1的3階相對張量，滿足不變式（4.65）又，可表為（4.66）類似地，可導(dǎo)出（4.67）和（4.68）可見為權(quán)為1的3階相對張量。4.3 置換張量（Eddington張量）（4.65）（4.68）式說明，如定義（4.69）（4.70）則和均為絕對張量，稱為Eddington張量。下面將看到，Eddington張量可用來表示張量的叉積和混合積。事實上，任何相對張量都可定義一個相應(yīng)的絕對張量，這正是研究相對張量的

13、意義所在。4.4張量代數(shù)非笛卡兒張量的很多特性與笛卡兒張量相同，但因協(xié)變張量、逆變張量和混變張量的變換規(guī)律不同，非笛卡兒張量的某些特性需要修正。本節(jié)重點討論修正部分，其余簡要說明。4.4.1 代數(shù)運算1相等與加減一般張量有各種不同的形式（協(xié)變、逆變、混變），如果兩個張量的指標及其上下分布均相同，則稱它們?yōu)橥蛷埩?。如同型，不同型。顯然，只有同型張量分量才能相等與加減，如2、并積一般張量的并積與卡氏張量類同，如為協(xié)變張量與逆變張量的并積，是2階混變張量。3、自縮并縮并（包括自縮并與互縮并）只能在上下標間進行，否則不能保證結(jié)果為張量。如縮并（4.71）縮并（4.72）有（4.72）式說明2階張量縮

14、并為標量不變量零階張量。而所以，不是標量不變量零階張量。正因為如此，為了保證張量特性，一般坐標系中規(guī)定啞標只能上下各取一個。4、點積點積是并積加互縮并的復(fù)合運算，所以點積也只能在上下標間進行，以保證結(jié)果的張量特性。如單點：（4.72）上式也可由向量點積的定義推得（4.73）這里可看到，為了保證張量方程不變性，引入?yún)f(xié)變、逆變兩組基的必要性。又或（4.74）可見，一般張量中，同一實體式可對應(yīng)不同指標式(注：后兩個等式是省略基向量的分量寫法)。雙點：（4.75）5、一階張量（向量）的叉積面積計算常用到向量的叉積。向量叉積可從幾何上定義，它與坐標系無關(guān)。我們希望叉積的張量表達式也與坐標系無關(guān)。首先討論

15、基向量的叉積，根據(jù)Eddington張量張量的定義式（4.69）（4.76）所以有（4.77）類似有（4.78）則向量的叉積可表示為（4.79）在笛卡兒直角坐標系中，所以，上式是叉積的一般表達式。同理叉積也可表示為（4.80）6、一階張量（向量）的混合積體積計算常用到向量的混合積。一般坐標系下的混合積表達式推導(dǎo)如下（4.81）類似有（4.82）7、張量的轉(zhuǎn)置一般張量的指標有前后與上下之分，張量的轉(zhuǎn)置是變換張量分量指標前后順序的運算。張量分量表示法是省略了基張量的簡化寫法。在默認情況下，分量指標的前后順序與基張量相同，上下分布與基張量對稱。如是省略寫法。張量的類型是由基張量決定的，即基張量相同的

16、張量為同型張量。張量的轉(zhuǎn)置是保持基張量不變的情況下，變換張量分量指標前后順序的運算，故轉(zhuǎn)置后的張量一般為同型非等張量，轉(zhuǎn)置并不改變張量的協(xié)變與逆變特性，如（4.83）此外，轉(zhuǎn)置并不改變指標的循環(huán)順序，上式中i仍為第一循環(huán)標。在任何情況下，如發(fā)現(xiàn)分量指標前后順序與基張量不一致，說明發(fā)生了轉(zhuǎn)置運算。4.4.2 識別定理一般張量的識別定理與卡氏張量類同：例45 一般系下，（1.18）的弧長公式改為（4.83a）、是向量的協(xié)變分量和逆變分量，即有度量矩陣，定義為（4.84a）（4.84b）因與是的并積為2階張量，為0階張量，由識別定理和為2階張量的協(xié)變分量和逆變分量，稱為度量張量，記為（4.85）、張

17、量的對稱性與反對稱性一般張量的對稱性與反對稱性與卡氏張量類同，即當(dāng)轉(zhuǎn)置張量與原張量相等時為對稱向量張量，負轉(zhuǎn)置張量與原張量相等時為反對稱張量。如滿足（4.86）的張量為2階對稱張量。滿足（4.87）的張量為2階反對稱張量。對稱混變張量可不寫占位符（4.87a）又，度量張量是對稱張量， 與是關(guān)于任何兩對指標反對稱的反對稱張量。將（4.86）（4.87）式按矩陣寫出，不難發(fā)現(xiàn)，2階對稱張量的協(xié)變和逆變矩陣為對稱矩陣，各有6個獨立分量，混變對稱張量的矩陣為可見為非對稱矩陣，共有9個獨立分量。2階反對稱張量的協(xié)變和逆變矩陣為反對稱矩陣，各有三個獨立分量，混變反對稱張量的矩陣為非反對稱矩陣，共有9個獨立

18、分量。所以，在允許的情況下，常用逆變或協(xié)變對稱與反對稱張量。不難證明在階數(shù)不變的情況下，基向量的變換不會改變張量的對稱性和反對稱性。與卡式張量相同，對于反對稱逆變和協(xié)變張量，必有反偶向量存在（4.87c），是Eddington張量的逆變和協(xié)變分量，最后一個等號是卡氏張量寫法。、度量張量張量不僅在不同坐標系下是不變量，在同一坐標系不同基張量下也是不變量。對于2階張量，有（4.88）所以，不同類型張量分量間必存在聯(lián)系，這種聯(lián)系是通過度量張量來實現(xiàn)的（度量張量的定義見例45（4.84a）（4.84b）（4.85），這是因為度量張量分量正好是聯(lián)系協(xié)變基與逆變基的系數(shù)矩陣（4.89）（4.90）將上式代

19、入張量的并矢式（例如（4。88）式）可得同一坐標系不同類張量分量的關(guān)系式，例如，2階協(xié)變與逆變的并矢式為則有（4.91）以上用了度量張量的對稱性。類似地，容易證明（4.91a）由此可見，關(guān)系式中的指標分布規(guī)律仍為自由標平著走，啞標上下分，另外度量張量與某張量的點積的效果是使該張量的啞標下降或上升變?yōu)樵搹埩康淖杂蓸?，自由標是度量張量的另一指標，因此，我們把這種運算稱為度量張量的指標升降運算。度量張量不僅有升降指標的作用，而且很多張量特征量都可用它表示，所以在張量理論中占有重要地位，下面討論它的特性：j度量張量是對稱張量k協(xié)變度量張量與逆變度量張量互為逆張量據(jù)（4.89）（4.90）得（4.92）

20、（4.93）l度量張量的混變分量矩陣與直角坐標系分量矩陣是單位陣由指標升降運算和性質(zhì)k得（4.94）在直角坐標系下（4.95）（4.85）式改寫為（4.96）表明度量張量是一般坐標系下的單位張量。m度量張量的行列式（4.97）與基的混合積的為（4.98）此公式可由（1.42）式導(dǎo)出。在右手坐標系中可用代替基的混合積。由性質(zhì)k可得（4.99）n基向量的?？杀硎緸椋?.100）、張量的物理分量在曲線坐標系中，基向量可能為有量綱量綱，這使張量分量的物理意義與張量本身不符合，給分析和應(yīng)用造成困難。例如在柱坐標系中，粒子速度為（4.100a）由例42，的量綱為長度, 的量綱為時間的倒數(shù)，不是速度量綱。為

21、得到有物理意義的分量，可用基向量的模將基向量無量綱化（4.101）（4.101a）為無量綱單位向量，為向量的物理分量。物理分量雖具有物理意義，但不滿足張量變換式，因為不滿足張量變換式給理論推導(dǎo)造成困難。所以，通常的做法是，用張量分量作理論分析，將結(jié)果化為物理分量。類似地，對于2階協(xié)變張量，我們有（4.101b）照此方法，不難導(dǎo)出任意類型任意階張量的物理分量表達式。、二階張量1、二階張量的分解2階張量可分解為對稱與反對稱張量，例如，逆變張量可分解為（4.102）2、二階張量的的矩陣二階張量的四種分量對應(yīng)的矩陣為（注：矩陣為常規(guī)體）（4.103）由4.2.1節(jié)，張量坐標變換矩陣也有四個（4.104

22、）則張量的坐標變換式可用矩陣表示為（4.105）可見，協(xié)變，逆變矩陣為合同矩陣，混變矩陣為相似矩陣。另外，兩個混變矩陣間也是相似關(guān)系：由升降得張量分量的關(guān)系式（4.106）令 則上式的矩陣形式為（4.107）3、對稱二階張量的主軸和主值注意到不同坐標系下的混變矩陣是相似矩陣，由矩陣論知，可通過求特征值與特征向量的方法將其對角化，即，對于實對稱矩陣，存在一組標準正交基，在該組基下，張量只有對角分量，其值等于矩陣的特征值，標準正交基向量就是標準化的特征向量。我們稱特征值為張量的主值，與特征向量重合的軸為主軸。主軸構(gòu)成一個坐標系。當(dāng)張量的分量與基向量均為常量時，主軸坐標系為全局直角坐標系，否則為局部

23、直角坐標系。對于協(xié)變和逆變張量，可通過指標的升降運算化為混變張量，該混變張量的主軸和主值定義為協(xié)變和逆變張量的主軸和主值，由于兩種混變張量間存在相似關(guān)系，具有相同的主軸和主值，可任選一個來求主軸和主值，求解方法與卡氏張量的方法相同。4.4.7、張量分量方程的不變性張量分量經(jīng)張量運算（包括代數(shù)運算和微積分運算）所組成的等式稱張量分量方程（以下簡稱張量方程）。例如（4.108）張量方程是省略了張量基的指標方程，省略的基向量的個數(shù)等于各項中自由標的個數(shù)。根據(jù)張量代數(shù)的性質(zhì)，方程的各項必由同型張量構(gòu)成，且滿足指標的一致性：各項自由標的個數(shù)、符號及上下分布須相同（前后分布可不同，表示進行了轉(zhuǎn)置運算），啞

24、標必須成對上下分布。張量方程的不變性是指：若張量方程在某一坐標系中成立，則必在任意坐標系中也成立。這是張量方程的重要特點。例如，對于（4.108）式，必有（4.109）證：因為（4.108）式中各因子均為張量，故有必有置換指標得（4.109）成立。利用這一特性，我們可在某一坐標系（常為直角坐標系）中用張量方程推導(dǎo)或證明物理方程，其結(jié)果可適用于任意坐標系。例如，度量張量在直角直角坐標系的分量為，滿足，由方程不變性原理，必有，即度量張量是對稱張量。4.5張量分析如前所述，本書中張量分析重點討論張量場的微積分。本節(jié)的主要內(nèi)容是把直角坐標系中微積分公式推廣到一般坐標系。在曲線坐標系下，基向量是坐標的函

25、數(shù)，從而需要引進協(xié)變導(dǎo)數(shù)的概念。、向量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)由上一章知，張量場微積分的核心內(nèi)容是梯度、散度和旋度。用哈密頓算子，向量的梯度、散度和旋度可表為（4.110）其中，散度是梯度的縮并，旋度是置換張量與梯度的雙點積，所以關(guān)鍵是求梯度表達式。設(shè)一般坐標系下的坐標、向量分量和基向量為直角坐標系下的對應(yīng)量為若將前者視為新坐標系下的量，后者視為老坐標系下的量，利用變換公式得（4.111）考慮上式和（3。16）式，向量的左梯度（混變）為（4.112）類似左梯度（協(xié)變）為（4.113）可見向量算子（4.114）必為協(xié)變向量。同理可得右梯度表達式（4.115）（4.116）所以右向量算子為（4.117）仍是協(xié)變

26、向量。以上分析表明，梯度是向量組與向量組的并積和，左梯度是左并積，右梯度是右并積。在中，k是區(qū)別向量組不同向量的指標，稱組指標。在（4.117）中，k又成為區(qū)別向量張量分量的張量標。所以，指標的特性與它所處的位置有關(guān)。當(dāng)k一定時為一向量，可按逆變基或協(xié)變基分解（4.118）式中，i是張量指標，與稱為向量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，簡稱向量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。是協(xié)變分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，是逆變分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。協(xié)變導(dǎo)數(shù)的協(xié)變性是由指標k的協(xié)變性決定的。在直角坐標系下，基向量是常量，協(xié)變導(dǎo)數(shù)與普通導(dǎo)數(shù)相同：（4.119）由（4.119）式得（4.121）同理由（4.122）（4.118）（4.121）（4.122）式代入（4

27、.113）得（4.123）由此可知，為2階張量的協(xié)變分量，i，j都張量指標。同理可得是的逆變分量。4.5.2 C(Christoffel)符號以上分析表明，梯度問題實際上是協(xié)變導(dǎo)數(shù)問題?，F(xiàn)求協(xié)變導(dǎo)數(shù)，由向量求導(dǎo)法則，（4.118）變?yōu)椋?.124）（4.125）用點乘（4.124）點乘（4.125）得（4.126）（4.127）令（4.128）稱第二類C（Christoffel）符號，k是張量標，i、j是組指標（求導(dǎo)標）。由向量公式（4. 23）得（4.128a）又（4.129）則有（4.130）（4.128）（4.129）代入（4.126）（4.127）得（4.131）（4.132）所以協(xié)變

28、導(dǎo)數(shù)問題又轉(zhuǎn)化為C符號問題。C符號有下面特性j 是向量組的逆變分量（見4.128a），可由升降運算求協(xié)變分量（4.133）稱第類C（Christoffel）符號，i，j是組指標（求導(dǎo)標），k是張量標。反之有（4.134）直線坐標系下等于零（因此時基向量為常量）不是3階張量的分量因在直線坐標系下0，曲線坐標系，不滿足張量方程不變性。m關(guān)于組指標（求導(dǎo)標）對稱（4.135a）由C符號的定義得（4.135）n可用度量張量表示利用對稱性（4.135a）和向量求導(dǎo)法則得（4.136）的關(guān)系可由（4.134）式得到。另一常用公式是與度量張量行列式g的關(guān)系。由（4.98）（4.137）則有（4.138）4.

29、5.3 張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)和逆變導(dǎo)數(shù)向量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)概念可推廣到任意階張量T。我們把導(dǎo)數(shù)組在張量基上的分量稱為協(xié)變導(dǎo)數(shù)，這里k為組指標。張量求導(dǎo)實際上是對張量的每個解析分量函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)果仍為同階張量（注：是兩個張量的并積和，階數(shù)比高一階），故可將向張量基分解，從而得到協(xié)變導(dǎo)數(shù)。例如，將0、1、2階張量、向協(xié)變基分解得（4.139）0階張量沒有基向量，協(xié)變導(dǎo)數(shù)恒等于普通導(dǎo)數(shù)。1階以上的張量按不同的基分解可得不同的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。下面我們以2階混變張量為例，推導(dǎo)高階協(xié)變張量的表達式，其它類型張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)可根據(jù)指標升降得到。根據(jù)協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義、基向量求導(dǎo)公式（4.128）（4.130）以及向量求導(dǎo)法則得所以（

30、4.140）n階張量協(xié)變導(dǎo)數(shù)公式的規(guī)律是：第一項是普通導(dǎo)數(shù)，其余n項由第二類C符號與張量分量的乘積構(gòu)成，每一項依次用啞標置換原張量指標得到，置換上標時為正號，否則為負號，C符號的其余指標按指標一致原理確定。例：試寫出的協(xié)變導(dǎo)數(shù)（4.141）張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)有如下性質(zhì)與運算規(guī)律：j n階張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)是n1階張量的分量因為k協(xié)變導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)順序可交換協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量，可再次求協(xié)變導(dǎo)數(shù)得2階協(xié)變導(dǎo)數(shù)，每求一次導(dǎo)，張量的階數(shù)加一。例如，逆變向量的2階協(xié)變導(dǎo)數(shù)可記為（4.142）j、k為求導(dǎo)標。在直角坐標系下有（4.143）根據(jù)張量方程的不變性得（4.144）l度量張量和置換張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零例，在自然坐標

31、系下，而（4.145）所以（4.146）度量張量協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零這一特性稱為Ricci定理。根據(jù)這一特性，對張量式求協(xié)變導(dǎo)數(shù)時，可將度量張量提到求導(dǎo)號外。同樣置換張量求導(dǎo)時也可作常量處理。m協(xié)變導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則與普通導(dǎo)數(shù)相同這是張量方程不變性的必然結(jié)果。例如，設(shè)為常量，則（4.147）n協(xié)變導(dǎo)數(shù)可用度量張量對求導(dǎo)標進行升降運算這是張量的基本特性，如（4.148）求導(dǎo)標為上標的導(dǎo)數(shù)稱為張量的逆變導(dǎo)數(shù)。有了逆變導(dǎo)數(shù)的概念，向量梯度可用任意類型張量分量表達（4.149）4.5.4 梯度、散度、旋度1。梯度由上一節(jié)知，梯度的一般形式為（4.150）為任意階張量，而梯度的分量即為協(xié)變導(dǎo)數(shù)，所以0階張量的梯度為

32、（4.151）向量的左梯度見（4.149）式，右梯度為（4.152）不難發(fā)現(xiàn)，逆變或協(xié)變左梯度與梯度互為轉(zhuǎn)置，對于混變梯度，二者不等逆變或協(xié)變 混變（4.153）由2階張量的分解定理，協(xié)變梯度可分解為（4.154）為對稱張量，為反對稱張量。我們知道物理上表示轉(zhuǎn)動，稱轉(zhuǎn)動張量。下面舉例說明和的物理意義。例：設(shè)表示變形固體的位移向量場（若為流體表示速度，即單位時間的位移），假定位移是微小量（如為流體，討論微小時段的位移，仍為小量），試說明和的物理意義，并寫出柱坐標系下的物理分量。解：設(shè)變形體內(nèi)有無限近兩點P，Q，變形后移至，。P，Q的位移差為（4.155）所以，數(shù)量上表示位移差的大小，稱為位移張量

33、。如果位移后，兩點的距離發(fā)生變化，說明產(chǎn)生了變形，因為剛體運動不會使兩點距離發(fā)生改變。故可用兩點距離的平方差來度量變形（4.156）（提示：對稱量與反對稱量的縮并恒為零即：若 則 （4.157）因 則）（4.158）由小位移假定，略去高階小量，將（4.154）式代入，且考慮的反對稱性與的對稱性有（4.159）由此可知，反映變形大小，稱為變形張量。下面求柱坐標系下，的物理分量，先求度量張量和第二類C符號。由例42的結(jié)果得（4.160）說明柱坐標系是正交坐標系，滿足正交條件（4.161）即正交坐標系的度量矩陣為對角陣，顯然逆變度量矩陣也為對角陣（4.162）因為兩者為互逆關(guān)系，即相乘為單位陣，故（

34、4.163）利用C符號與度量矩陣的關(guān)系可求出 其余為零（4.163a）（4.164）位移向量的物理分量為（4.165）變形張量的物理分量為對 稱（4.166）此例說明，為求張量的物理表達式，都需要轉(zhuǎn)換。2。散度先求一般坐標系向量的散度表達式（4.167）可見向量的散度無左右之分，且散度的算子為 （4.167a）利用協(xié)變導(dǎo)數(shù)定義有（4.168）所以，向量散度等于梯度的縮并，這與卡氏張量相同。由協(xié)變導(dǎo)數(shù)公式與（4.138）得（4.169）此為向量散度的常用計算式，在直角坐標系下，1，上式變?yōu)槌Ｒ娦问?。類似地可?dǎo)出2階張量的散度 （4.170） （4.171）（4.172）可見若T為若為對稱張量，左

35、散度等于右散度。2階張量的散度為向量，分量為（以逆變張量為例，并考慮（4.138）式） （4.173）利用指標升降運算容易求得其它類型張量的散度公式，如有必要根據(jù)（4.170）還可定義任意階張量的散度并導(dǎo)出計算公式。3。旋度由公式（1.29）向量得旋度公式 （4.174）最后一個等式是向量旋度的普遍式。還可定義向量得右旋度 （4.175）所以向量的左右旋度互為相反向量，因此我們只需討論左旋度。由上兩式，旋度算子為 （4.176）由協(xié)變導(dǎo)數(shù)公式得（注意關(guān)于jk對稱，關(guān)于jk反對稱） （4.177）上式還可寫為 （4.178）若有需要，根據(jù)右端式和（4.150）式可定義任意階張量的旋度。此外向量旋

36、度與反對稱張量和反偶向量的關(guān)系與卡氏張量相同。 （4.179）最后，由指標升降還可導(dǎo)出逆變向量旋度公式。4.5.5 L(Laplacian)算子與物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算子由前可知，梯度、散度、旋度都可看成是算子與張量作用的結(jié)果。本節(jié)討論另外兩個常用的張量微分算子: L（Laplacian）算子和物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算子。1。L算子L算子是一種復(fù)合運算算子，它的運算法則是先對張量求梯度得到另一張量，然后對新張量求散度。我們以逆變向量為例導(dǎo)出L算子的表達式 （4.180）令 （4.181）式中表示2階混變導(dǎo)數(shù)與張量基的線性組合，由上面推導(dǎo)過程不難得知，其中可換成任何張量T如 （4.181a）與普通導(dǎo)數(shù)不同的是，上面表達式

37、中的張量基可提到求導(dǎo)號外面。由此（4.180）式變?yōu)?（4.181b）所以，L算子可表示為 （4.182）例：在直角坐標系下，協(xié)變導(dǎo)數(shù)變?yōu)槠胀▽?dǎo)數(shù)，度量張量變?yōu)閱挝粡埩?，則（4.183）這是我們熟悉的算子。利用L算子，Laplacian方程可寫為， （4.184）式中為標量。下面推導(dǎo)一般坐標系下，標量的L算子計算式。因為向量，在一般坐標系下的協(xié)變分量由（4.151）式給出，由指標升降運算得逆變分量由L算子的定義和向量散度的計算式（4.169）可以得到任意坐標系下的標量Laplacian算子為 （4.184a）2。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算子在張量場中，空間坐標是與時間無關(guān)的獨立變量，如果我們觀察質(zhì)點在空間的運

38、動，用表示質(zhì)點在時刻的空間位置，這樣空間坐標就轉(zhuǎn)換為時間的函數(shù) （4.185）而質(zhì)點的速度由節(jié)4。1節(jié)例2的討論可表示為 （4.186）進一步，我們將質(zhì)點具有的物理量（如密度、溫度、速度等等）用張量表示 （4.187）則隨時間的變化率定義為質(zhì)點的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。由求導(dǎo)法則有 （4.188）式中的含意見（4.181）式及說明，它與普通導(dǎo)數(shù)表示法最大的不同是張量基可以提到求導(dǎo)符號外。所以物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算子為 （4.189）算子的第一部分是單純的時間變化率稱當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，第二部分是與空間位置變化有關(guān)的變化率稱遷移導(dǎo)數(shù).例：質(zhì)點的加速度為質(zhì)點的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) （4.190） （4.191）最后指出，前面討論的微分算子都是張量，具有坐標變換的不變性，故稱為不變性微分算子。4.6張量方程的轉(zhuǎn)換張量方程主要有實體、并矢和分量三種形式，第三種實際上是第二種省略形式（略去了基向量）。張量方程包括代數(shù)方程、微分方程和積分方程。積分方程的被積式為微分表達式，為簡便，下面我們僅討論張量實體或分量代數(shù)方程和微分方程的轉(zhuǎn)換。物理方程可用物理分量表示為物理分量方程，也可用指標式或?qū)嶓w式表示為張量方程。物理分量方程的形式與選擇的坐標系有關(guān)，張量方程的形式與坐標系無關(guān)。實際運用中，我們常常需把物理分量方程轉(zhuǎn)換為張量方程或把張量方程轉(zhuǎn)換為物理分量方程，