北師版八年級上冊勾股定理知識總結(jié)與練習(xí)題

1、 勾股定理1. 知識總結(jié)1. 勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么2勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為,大正方形面積為， 所以 方法三：，化簡得證3勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它

2、只適用于直 角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。4勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊。勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較:若它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是鈍角三

3、角形；若，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中,及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形6. 勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）7. 勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必須把

4、握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解8. 勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論9. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成

5、對問題的解決常見圖形：10.互逆命題的概念 如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。應(yīng)用題的常見題型及數(shù)量關(guān)系： (1)行程問題：路程速度×時間 (2)工程問題：工作總量工作效率×工作時間 (3)濃度問題：溶質(zhì)溶液×濃度 (4)利率問題：本息和本金利息，利息本金×利率×期數(shù) (5)利潤問題：利潤成本×利潤率，利潤售價成本 (6)價格問題：總價單價×數(shù)量 (7)水流問題：順?biāo)俣褥o水速度水流速度，逆水速度靜水速度水流速度 此外還有：等

6、積變形問題、數(shù)字問題、比例問題、調(diào)配問題、與幾何圖形相關(guān)的問題、勾股定理復(fù)習(xí)題一、選擇題 1.如圖直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積【 】圖3（A）4 (B) 6 (C) 16 (D) 552 已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為 【 】（A）12 （B）7 （C）12或7 （D）以上都不對 3 若三角形三邊長為a、b、c，且滿足等式，則此三角形是（ ）.（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形 4直角三角形兩直角邊分別為5、12，則這個直角三角形斜邊上的高為（ ）.（A）6 （B）8.5 （C） （D） 5 一只螞蟻沿直角三角

7、形的邊長爬行一周需2秒，如果將直角三角形的邊長擴(kuò)大1倍，那么這只螞蟻再沿邊長爬行一周需 （ ）.（A）6秒 （B）5秒 （C）4秒 （D）3秒6 如圖5所示，在長方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BE=12，BF=16，則由點(diǎn)E到F的最短距離為（ ）. （A）20 （B）24 （C）28 （D）327 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽“的勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖1所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a、b，那么 的值為（ ）.（A）1 （B）12 （C）13 （D）25 圖28已知、b、c是三角

8、形的三邊長，如果滿足，則三角形的形狀是 【 】（A）底與邊不相等的等腰三角形 （B）等邊三角形 （C）鈍角三角形 （D）直角三角9如圖2是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大的正方形E的面積是【 】（A）13 （B）26 （C）47 （D）9410已知一直角三角形的木板，三邊的平方和為1800cm2,則斜邊長為 【 】（A） （B） （C） （D）11設(shè)一個直角三角形的兩條直角邊長為a、b，斜邊上的高為 h，斜邊長為c，則以 c+h，a+b，h為邊的三角形的形狀是（ ）A. 直角三角形 B. 銳角三角

9、形 C. 鈍角三角形 D. 不能確定 12. ABC中，AB=15，AC=13。高AD=12。則ABC的周長是（ ） A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或3313、三角形的三邊長分別為6,8,10，它的最短邊上的高為. ( )A、6 B、4.5 C、2.4 D、8 14、下面幾組數(shù):7,8,9；12,9,15；m² + n², m²-n², 2mn（m，n 均為正整數(shù),mn）；,.其中能組成直角三角形的三邊長的是.( )A、 B、 C、 D、15三角形的三邊為a、b、c，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是 ( )A、a:b:c=816

10、17 B、a²-b²=c² C、a²=(b+c)(b-c) D、a:b:c =13512 16、三角形的三邊長為,則這個三角形是( ) A、等邊三角形 B、鈍角三角形 C、直角三角形 D、銳角三角形 17、已知一直角三角形的三邊的平方和為，則斜邊長為 ( )A、 B、 C、 D、18、在RtABC中，C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是 ( )A、 B、 C、 D、 19、在中，BC邊上的高，則的周長為 ( )A、42 B、32 C、42或32 D、37或3320、已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是 ( )

11、A、5 B、25 C、D、5或21、已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是 ( )A、24cm² B、36cm² C、48cm² D、60cm²22、直角三角形中一直角邊的長為9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長為( )A、121 B、120 C、90 D、不能確定23、在下列長度的四組線段中，不能組成直角三角形的是 ( )A、a=9 b=41 c=40 B、a=b=5 C=5C、a:b:c=3:4:5 D、a=11 b=12 c=15 24、下列說法正確的有 ( ) ABC是直角三角形，C=

12、90°，則a²+b²=c².ABC中，a²+b²c²，則ABC不是直角三角形.ABC中，a²-b²=c²，則ABC是直角三角形.ABC是直角三角形，則(a+b)(a-b)=c².A、4個 B、3個 C、2個 D、1個25、已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是( ) A、24cm² B、36cm² C、48cm² D、60cm²26、2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代

13、數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小小正方形拼成的一個大正方形（如圖1所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為 ( )圖2A、13 B、19 C、25 D、169圖3圖127、如圖2，四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90º，則四邊形ABCD的面積是 ( )A、84 B、30 C、36 D、無法確定28、如圖3，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C'處，B C'交AD于E，AD=8，AB=4，則DE的長為 ( )A、

14、3 B、4 C、5 D、629Rt一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（） A、121B、120C、132D、不能確定30.如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為【 】A 8 B 4 C 8 D 6二、填空題圖51. 如圖5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個半圓的面=，則是 2國慶期間，小華與同學(xué)到“花鼓燈嘉年華”去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們從門口A處出發(fā)先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走3千米，再折向北走到6千米處往東拐，僅走了1千米，就找到了寶藏，則門口A到藏寶點(diǎn)B的直線距離是【 】3.如圖

15、2，甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的在RtABC中，若直角邊AC6，BC6，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是_.圖1 圖2 AB圖34.如圖3，一只螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱表面爬到點(diǎn)B，如果圓柱的高為8cm，圓柱的底面半徑為，那么最短的路線長是 . 5如圖5，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是 米6如圖6，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2

16、步為1米），卻踩傷了花草圖5圖8圖6 7如圖以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=3，則圖中陰影部分的面積為 8. 如圖，有一圓柱，其高為12cm，它的底面半徑為3cm，在圓柱下底面A處有一只螞蟻，它想得到上面B處的食物，則螞蟻經(jīng)過的最短距離為_ cm。（取3）9 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于_ 。 10、一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時荷葉偏離原來的位置有3米遠(yuǎn)，如圖4所示，則荷葉的高度為 米.圖5圖4 圖611、將一根長24cm 的筷子，置于

17、底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中（如圖5），設(shè)筷子露在杯子外面的長度是為hcm ，則h的取值范圍是 12、如圖6，圓柱形玻璃容器高20cm，底面圓的周長為48cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距上口1cm的點(diǎn)B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度為 13、小剛準(zhǔn)備測量河水的深度,他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的頂端拉向岸邊,竿頂和岸邊的水面剛好相齊,河水的深度為 14、如圖，已知在中，分別以， 為直徑作半圓，面積分別記為，則+的值等于 15.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全

18、等的直角三角形圍成的。在RtABC中，若直角邊AC=6，BC=6，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是_。5201510CAB16、如圖，已知RtABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm，現(xiàn)將ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A、B重合，則折痕DE=_cm 17、如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是18、如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是，高為，若一只小蟲從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程是 （結(jié)果保留根號）. 19 如圖7，已知在中，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，則+的值等于 20 如圖8，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)直角