事件的獨立性與相關(guān)性

1、課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計課程組概率統(tǒng)計課程組概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.5 1.5 事件的獨立性與相關(guān)性事件的獨立性與相關(guān)性1.5.1 1.5.1 兩個事件的獨立性與相關(guān)性兩個事件的獨立性與相關(guān)性1.5.2 1.5.2 有限個事件的獨立性有限個事件的獨立性 1.5.3 1.5.3 相互獨立事件的性質(zhì)相互獨立事件的性質(zhì)1.5.4 Bernoulli1.5.4 Bernoulli概型概型例如例如 箱中裝有箱中裝有1010件產(chǎn)品件產(chǎn)品:7:7件正品件正品,3,3件次品件次品, ,甲買走甲買走1 1件件正品正品, ,乙要求另開一箱乙要求另開一箱, ,也買走也買走1 1件正品件正品. .記甲

2、取到正品為事件記甲取到正品為事件A,A,乙取到正品為事件乙取到正品為事件B,B,則則107)()|(BPABP由乘法公式即得由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)從問題的實際意義理解，就是說事件從問題的實際意義理解，就是說事件A A和事件和事件B B出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率彼此不受影響概率彼此不受影響. .1.5.1 1.5.1 兩個事件的獨立性與相關(guān)性兩個事件的獨立性與相關(guān)性定義定義: : 若事件若事件A A與與B B滿足滿足 P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B), 則稱則稱A A與與B B相互獨立，簡稱相互獨立，簡稱A A與與B B獨立獨立。

3、推論推論1:1: A.BA.B為兩個事件為兩個事件, ,若若P(A)0,P(A)0, 則則A A與與B B獨立等價于獨立等價于P(B|A)=P(B).P(B|A)=P(B). 若若P(B)0,P(B)0, 則則A A與與B B獨立等價于獨立等價于P(A|B)=P(A).P(A|B)=P(A).證明：證明：A.BA.B獨立獨立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B) P(B|A)=P(B)注意注意: :從直觀上講從直觀上講,A,A與與B B獨立就是其中任何一個事件出獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件

4、出現(xiàn)與否的影響現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響. .證明證明 不妨設(shè)不妨設(shè)A.BA.B獨立獨立, ,則則)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他類似可證其他類似可證. . 推論推論2:2:在在 A A與與 B, B, 與與 B,AB,A與與 ，與，與 這四對事件中這四對事件中, , 若有一對獨立若有一對獨立, ,則另外三對也相互獨立。則另外三對也相互獨立。AABB 注意注意: : 判斷事件的獨立性一般有兩種方法判斷事件的獨立性一般有兩種方法: : 由定義判斷由定義判斷, ,是否滿足公式是否滿足公式; ; 由問題的性質(zhì)從直觀上去判

5、斷由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷. .例例1.5.11.5.1 某高校的一項調(diào)查表明：該校有某高校的一項調(diào)查表明：該校有30%30%的學(xué)生的學(xué)生 視力有缺陷視力有缺陷. 7%. 7%的學(xué)生聽力有缺陷，的學(xué)生聽力有缺陷，3%3%的學(xué)生視力與的學(xué)生視力與聽力都有缺陷，記聽力都有缺陷，記A= =“學(xué)生視力有缺陷學(xué)生視力有缺陷”，30. 0)( APB= =“學(xué)生聽力有缺陷學(xué)生聽力有缺陷”，07. 0)( BPAB= =“學(xué)生聽力與視力都有缺陷學(xué)生聽力與視力都有缺陷”，03. 0)( ABP現(xiàn)在來研究下面三個問題：現(xiàn)在來研究下面三個問題：（1 1）事件）事件A與與B是否獨立？是否獨立？ 由于由于 021.

6、 007. 003. 0)()(BPAP)(ABP所以事件所以事件A與與B不獨立，即該校學(xué)生視力與聽力不獨立，即該校學(xué)生視力與聽力缺陷有關(guān)聯(lián)缺陷有關(guān)聯(lián). .（2 2）如果已知一學(xué)生視力有缺陷，那么他聽力也有缺）如果已知一學(xué)生視力有缺陷，那么他聽力也有缺 陷的概率是多少？陷的概率是多少？ 這要求計算條件概率這要求計算條件概率)(ABP, ,由定義知由定義知10130. 003. 0)()()( APABPABP（3 3）如果已知一學(xué)生聽力有缺陷，那么他視力也有缺）如果已知一學(xué)生聽力有缺陷，那么他視力也有缺 陷的概率是多少？陷的概率是多少？7307. 003. 0)()()( BPABPBAP類似

7、地可算條件概率類似地可算條件概率定義定義 設(shè)設(shè), 1)(0 , 1)(0 BPAP稱稱 為事件為事件A與與B的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù))(1)()(1)()()()(),(BPBPAPAPBPAPABPBA 定理定理1.5.11.5.1 (1) (1)0),( BA當且僅當當且僅當A與與B相互獨立；相互獨立； 1),( BA (3) (3).()()()(0),(BPABPAPBAPBA ).()()()(0),(BPABPAPBAPBA (2)(2); ;定義定義 (n(n個事件的相互獨立性）個事件的相互獨立性） 設(shè)有設(shè)有n n個事個事A A1 1,A,A2 2, ,A,An n, ,若對任何正整

8、數(shù)若對任何正整數(shù)m(2mn)m(2mn)以及以及)()(),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（都有則稱這則稱這n n個事件相互獨立個事件相互獨立. .若上式僅對若上式僅對m=2m=2成立成立, ,則稱這則稱這n n個事件兩兩獨立個事件兩兩獨立. .注意注意: : 從直觀上講從直觀上講,n,n個事件相互獨立就是其中任何一個事件相互獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受其余一個或幾個事件出現(xiàn)與否個事件出現(xiàn)的概率不受其余一個或幾個事件出現(xiàn)與否的影響的影響. .1.5.2 1.5.2 有限個事件的獨立性有限個事件的獨立性例例1.5.2 1.5.2 隨機投擲編號為隨機投擲編號

9、為 1 1 與與 2 2 的兩個骰子事件的兩個骰子事件 A A 表示表示1 1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù),B ,B 表示表示2 2號骰子向號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)上一面出現(xiàn)奇數(shù),C ,C 表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)數(shù). . 則則2/ 1)()()(CPBPAP4/ 1)()()(CAPBCPABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但但0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP本例說明本例說明: : 不能由不能由 A, B, C A, B, C 兩兩獨立兩兩獨立A, B, C A, B, C 相互獨立相互獨立 1.5.3 1.5.3

10、 相互獨立事件的性質(zhì)相互獨立事件的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1:1: 如果如果n 個事件個事件nAAA,21相互獨立，則相互獨立，則)1(nmm 個事件改為相應(yīng)的對立事個事件改為相應(yīng)的對立事n個事件仍然相互獨立個事件仍然相互獨立. .將其中任何將其中任何件，形成新的件，形成新的性質(zhì)性質(zhì)2:2: 如果如果n個事件個事件nAAA,21相互獨立，則有相互獨立，則有 niniiniiiAPAPAP111)(1(1)(1)( 例例1.5.31.5.3 三個元件串聯(lián)的電路中三個元件串聯(lián)的電路中, ,每個元件發(fā)生斷電每個元件發(fā)生斷電的概率依次為的概率依次為0.3,0.4,0.6,0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相

11、互獨且各元件是否斷電相互獨立立, ,求電路斷電的概率是多少求電路斷電的概率是多少? ?解解 設(shè)設(shè)A A1 1,A,A2 2,A,A3 3分別表示第分別表示第1,2,31,2,3個元件斷電個元件斷電 , , A A表示電路斷電表示電路斷電, ,則則A A1 1,A,A2 2,A,A3 3相互獨立相互獨立,A= A,A= A1 1+A+A2 2+A+A3 3, ,P(A)=P(AP(A)=P(A1 1+A+A2 2+A+A3 3)=)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.832=1-0.168=0.832例例1.5.4 1.5.4 已知事件已知事件 A, B,

12、 C A, B, C 相互獨立相互獨立, ,證明證明: :事件事件A與與CB也相互獨立也相互獨立. .證證: :)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP事件事件例例1.5.5 1.5.5 設(shè)每個人的血清中含肝炎病毒的概率為設(shè)每個人的血清中含肝炎病毒的概率為0.4%, 0.4%, 求來自不同地區(qū)的求來自不同地區(qū)的100100個人的血清混合液中個人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率含有肝炎病毒的概率. .解解: :設(shè)這設(shè)這100 100 個人的血清混合液中含有肝炎病毒為個人的血清混合液中含有肝炎病

13、毒為 事件事件 A, A, 第第 i i 個人的血清中含有肝炎病毒為事個人的血清中含有肝炎病毒為事件件 A Ai i (i =1,2, (i =1,2,100 ). ,100 ). 則則1001 iiAA)(11)(1001iiAPAP33. 0)004. 01 (1100若若B Bn n表示表示 n n 個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則 , 2 , 110,)1 (1)( nBPnn1)(lim nnBP 注意：注意：不能忽視小概率事件不能忽視小概率事件, ,小概率事件遲早要小概率事件遲早要發(fā)生發(fā)生 一個元件一個元件( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )能正常工作的概率

14、稱為元件能正常工作的概率稱為元件( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )的可靠性的可靠性. .系統(tǒng)由元件組成系統(tǒng)由元件組成, ,常見的元件連接方式：常見的元件連接方式：串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)1 12 22 21 1 系統(tǒng)的可靠性問題系統(tǒng)的可靠性問題例例1.5.51.5.5設(shè)兩系統(tǒng)都是由設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 4 個元件組成個元件組成, ,每個元件正常工作每個元件正常工作的概率為的概率為 p p , , 每個元件是否正常工作相互獨立每個元件是否正常工作相互獨立. .兩兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性. .A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1S S1 1

15、: :)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP)()(12SPSP22)2(pp)2 (22pp222pp例例1.5.61.5.6 某射手在相同條件下獨立地進行某射手在相同條件下獨立地進行5 5次射擊次射擊, ,每次每次擊中目標的概率是擊中目標的概率是0.6,0.6,求：概率最大的擊中目標次數(shù)求：概率最大的擊中目標次數(shù). .解：解：擊中目標次數(shù)可能取值為擊中目標次數(shù)可能取值為0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,設(shè)設(shè)B Bi i(i=0,1,(i=0,1,5),5)表示擊中目標表示擊中目

16、標i i次次, ,事件事件A Ai i表示第表示第i i次射次射中中,(i=1,2,.,5),(i=1,2,.,5),則則A Ai i (i=1,2,.,5)(i=1,2,.,5)相互獨立相互獨立, ,P(BP(B0 0) )= =)AAAAA(P54321=(1-0.6)=(1-0.6)5 5=0.4=0.45 5P(BP(B1 1)=)=)(5432154321543215432154321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAP=5=50.60.6(1-0.6)(1-0.6)4 45005)6 . 01(6 . 0C4115)6 . 01(6 . 0C例例1.5.6 1.5.

17、6 某射手在相同條件下獨立地進行某射手在相同條件下獨立地進行5 5次射擊次射擊, ,每次每次擊中目標的概率是擊中目標的概率是0.6,0.6,求：概率最大的擊中目標次數(shù)求：概率最大的擊中目標次數(shù). .即即i5ii5i 0.6)(1 0.6 C)P(B(i=0,1,2,3,4,5)(i=0,1,2,3,4,5)類推得類推得P(BP(B3 3) )2335)6 . 01(6 . 0CP(BP(B4 4) )1445)6 . 01(6 . 0CP(BP(B5 5) )0555)6 . 01(6 . 0CP(BP(B2 2) )3225)6 . 01(6 . 0C解：解： 擊中目標次數(shù)可能取值為擊中目標

18、次數(shù)可能取值為0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,設(shè)設(shè)B Bi i(i(i=0,1,=0,1,5),5)表示擊中目標表示擊中目標i i次次, ,事件事件A Ai i表示第表示第i i次射次射中中,(i=1,2,.,5),(i=1,2,.,5),則則A Ai i (i=1,2,.,5)(i=1,2,.,5)相互獨立相互獨立, ,易計算：概率最大的擊中目標次數(shù)為易計算：概率最大的擊中目標次數(shù)為3.3.一般地：設(shè)射擊次數(shù)為一般地：設(shè)射擊次數(shù)為n n，每次射擊擊中目標，每次射擊擊中目標的概率為的概率為p p，則：，則： 當（當（n+1n+1）p p為整數(shù)時，概率為整數(shù)時，概率最大的擊中目標

19、次數(shù)為最大的擊中目標次數(shù)為(n+1)p(n+1)p和和(n+1)p-1;(n+1)p-1;當當（n+1n+1）p p不為整數(shù)時，概率最大的擊中目標不為整數(shù)時，概率最大的擊中目標次數(shù)為次數(shù)為(n+1)p(n+1)p的整數(shù)部分的整數(shù)部分. . 若某個試驗由若某個試驗由n n次基本試驗構(gòu)成次基本試驗構(gòu)成, ,且具有以下特點且具有以下特點: : (1) (1) 每次基本試驗有且只有兩個可能結(jié)果：成功、失敗每次基本試驗有且只有兩個可能結(jié)果：成功、失敗; ; (2) (2) 每次基本試驗中每個結(jié)果出現(xiàn)的概率不變每次基本試驗中每個結(jié)果出現(xiàn)的概率不變; ; (3) (3) 基本試驗之間相互獨立基本試驗之間相互

20、獨立; ; (4) (4) 在相同條件下在相同條件下, ,試驗可以重復(fù)進行試驗可以重復(fù)進行. .則稱此試驗為獨立重復(fù)試驗或貝努里則稱此試驗為獨立重復(fù)試驗或貝努里(Bernoulli)(Bernoulli)試驗試驗; ;由由于該試驗由于該試驗由n n次基本試驗構(gòu)成次基本試驗構(gòu)成, ,故亦稱之為故亦稱之為n n重貝努里試驗重貝努里試驗. .貝努里公式：貝努里公式： 在在n n重貝努里試驗中重貝努里試驗中, ,如果如果“成功成功”在在每次試驗中出現(xiàn)的概率為每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,p,令令B Bk k=“=“在在n n 次試驗中次試驗中“成成功功”出現(xiàn)出現(xiàn)k k 次次”, ,則則), 2 , 1 ,

21、 0()1 ()(nkppCBPknkknk1.5.4 Bernoulli1.5.4 Bernoulli概型概型例例1.5.71.5.7 同時擲四顆均勻的骰子同時擲四顆均勻的骰子, ,試計算試計算: : (1) (1) 恰有一顆是恰有一顆是6 6點的概率點的概率; ; (2) (2) 至少有一顆是至少有一顆是6 6點的概率點的概率. . 解解: : 這是一個這是一個4 4重貝努里試驗重貝努里試驗, , 擲每一顆骰子就是一個基本試驗擲每一顆骰子就是一個基本試驗. .每次基本試驗中每次基本試驗中6 6點出現(xiàn)的概率是點出現(xiàn)的概率是1/6,1/6,所以所以(1) (1) 恰有一顆是恰有一顆是6 6點的

22、概率為點的概率為(2) (2) 至少有一顆是至少有一顆是6 6點的概率為點的概率為 311414114)65()61()611 ()61(CC4400404004)65(1)65()61(1)611 ()61(1CC例例1.5.8 1.5.8 八門炮同時獨立地向一目標各射擊一發(fā)八門炮同時獨立地向一目標各射擊一發(fā)炮彈炮彈, ,若有不少于若有不少于2 2發(fā)炮彈命中目標時發(fā)炮彈命中目標時, ,目標就被擊目標就被擊毀毀. .如果每門炮命中目標的概率為如果每門炮命中目標的概率為0.6, 0.6, 求目標被求目標被擊毀的概率擊毀的概率. . 解：解：設(shè)一門炮擊中目標為事件設(shè)一門炮擊中目標為事件A, P(A

23、)=0.6A, P(A)=0.6設(shè)目標被擊毀為事件設(shè)目標被擊毀為事件B B, , 82884 . 06 . 0)(kkkkCBP 10884 . 06 . 01kkkkC9914. 0 則則解解: : 設(shè)取出的設(shè)取出的5 5個數(shù)按由小到大排列為個數(shù)按由小到大排列為54321xxxxx 令令)4(3 x表示所求的事件表示所求的事件)3()4()4(333 xxx: ) 4(3 x1,1,2,3,3;1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;1,1,2,3,4; 所取的所取的5 5個數(shù)字中至少有個數(shù)字中至少有3 3個數(shù)字不大于個數(shù)字不大于4 4例例1.5.9 1.5.9 從從1,2,1,2, ,

24、,1010十個數(shù)字中有放回地任取十個數(shù)字中有放回地任取5 5個個數(shù)字數(shù)字, , 求取出的求取出的5 5個數(shù)字中按由小個數(shù)字中按由小 到大排列到大排列, , 中間中間的那個數(shù)等于的那個數(shù)等于 4 4 的概率的概率. .1,1,4,4,5;1,1,4,4,5;1,1,4,5,8;1,1,4,5,8;令令 A Ak k 表示所取的表示所取的5 5個數(shù)字中恰有個數(shù)字中恰有k k 個不大于個不大于4 4則則kkkkCAP 55106104)(533)4( kkAxmkAAmk , 533)()4(kkAPxP 5355106104kkkkC)3()4()4(333 xPxPxP 53535555107103106104kkkkkk