導(dǎo)數(shù)解答題之極值點偏移問題教師版

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題之極值點偏移問題、（ 203 湖南文 21） 已知函數(shù)（） 求得單調(diào)區(qū)間 ;（ ）證明：當(dāng)時，、2、（2010 天津理 1）已知函數(shù)、（ ） 求函數(shù)得單調(diào)區(qū)間與極值； （）已知函數(shù)得圖象與函數(shù)得圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時， （ ） 如果且證明【解析】 （）解： '令 '（x ） =0，解得 x=1當(dāng) x 變化時 ,f '（x ）,f （x） 得變化情況如下表X（）1（）f '（）0f(x)極大值所以 f（）在 （ ）內(nèi)就是增函數(shù)，在（ ） 內(nèi)就是減函數(shù)。 函數(shù) （x）在 x=1 處取得極大值（ 1）且 f （）=（ ）證明：由題意可知 g（） f

2、（2 x）, 得（ x）= （ x） 令（）=（ x）- （ x），即于就是當(dāng)x1時,2-,從而'（ ） ,從而函數(shù)（ x）在 1,+ ）就是增函數(shù) . 又 F（1）=F （ x）F（1 ）=,即 f（） g（）、） 證明：（ 1）若 （x1 1）（x2 1） 0,由（ ）及 f（x 1） f（x 2）,則 x1 x2 1.與x1 x2矛盾。（）若（x1 1）（x2 1） 0,由（ ）及 f（x 1） f（x 2）,得x1 x2.與x1 x2矛盾。 根據(jù)（） （2 ）得由（ ）可知, 則=,所以，從而、因為，所以，又由（）可知函數(shù) f（x） 在區(qū)間 （-, ） 內(nèi)事增函數(shù)，所以，即 2

3、、3、已知函數(shù) .（1）討論得單調(diào)性；（2）若函數(shù)得兩個零點為 ,證明 :試題分析 :（1） 首先求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù) ,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性與最值，進而得出所求得結(jié)果 ;（）首先由函數(shù)得兩個零點為并結(jié)合（1）可得 0xax2,然后構(gòu)造函數(shù) g（ x） =f （ x）f （2ax），并利用其導(dǎo)函數(shù)求出其函數(shù)得單調(diào)性，進而得出所證得結(jié)果、 試題解析：（ ）f （x） =錯誤!錯誤!=錯誤 !,（x ）,所以當(dāng) a0時，f （x）0，f （x）在（0， +）上單調(diào)遞增；當(dāng)0時,f（x）在（ 0，a）上單調(diào)遞減，在（ a, ）上單調(diào)遞增 . ?（ ）若函數(shù) = （x）得兩個零點為 x1，x2（x

4、12）,由（）可得x12令 g（ x）=f （x） （2-x），（0xa）則 g （x）= （x）f （2ax）（xa）錯誤 !錯誤! ， 所以 g （x）在（ 0，）上單調(diào)遞減， g （ x） g （a）=0，即 （x）f（2a）.令x=x1a,則 f（x1）f （ a 1），所以 f （x2）= （x1） （2 x1）,由（ ）可得 f（x）在（， +）上單調(diào)遞增，所以 22ax1，故 1x22a? ? ?4、（ 2 16福州五校下學(xué)期第一次聯(lián)考 ） 已知函數(shù) ） ，其圖象與軸交于不同得兩點 , 且（1）求實數(shù)得取值范圍 ; （2） 證明 :5已知函數(shù) ） 在其定義域內(nèi)有兩個不同得極值點。

5、（ ） 求得取值范圍；2分 3 4 分5分 6 分（）設(shè)兩個極值點分別為 ,證明 :。 解：（ ）依題 ,函數(shù)得定義域為， 所以方程在有兩個不同根、 即, 方程在有兩個不同根分 令，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個不同零點 , 而（） 若，可見在上恒成立，所以在單調(diào)增 , 此時不可能有兩個不同零點、 分 若，在時，在時， , 所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減， 從而 又 因為在時 , ，在在時 , ，于就是只須 : ，即，所以、 綜上所述， （）由 （ ）可知分別就是方程得兩個根， 即,，設(shè)，作差得 ,，即、分原不等式等價于分令，則 , 9 分設(shè) ，函數(shù)在 上單調(diào) 遞增， 10分即不等式 成立, 11分故所證不

6、 等式成 立。 12分 6已知函數(shù)， .(1) 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)得取值范圍;(2) 若直線就是函數(shù)圖象得切線 , 求得最小值 ;(3) 當(dāng)時，若與得圖象有兩個交點，求證：?！敬鸢浮?(1) ; ()；( 3)證明見解析 .【解析】試題分析： (1 )借助函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值就是非負數(shù)建立不等式求解；( 2)將參數(shù)用切點得橫坐標(biāo)表示 , 再借助導(dǎo)數(shù)求最小值 ;(3) 先分析轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù) , 運用導(dǎo)數(shù)得有關(guān)知識進行推 證、試題解析：( 1) ，、在上單調(diào)遞增， , 恒成立即, 恒成立令，時，、(2) 設(shè)切點為，則 ,又，,令,則 當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時 , ，所以在上單調(diào)遞減、

7、當(dāng)時,取得最小值，為 , 即得最小值為、(3) 證明：由題意得得 : 得 : ，即代入得 : ， 即，不妨令，記 ,令，則 ,在上單調(diào)遞增，則，, 故，又, 即，令, 則時 , 在上單調(diào)遞增， 又考點 :導(dǎo)數(shù)及在研究函數(shù)得單調(diào)性最值中得應(yīng)用 、（ 2017屆武昌區(qū)元月調(diào)考理科數(shù)學(xué) ） 已知函數(shù)（1）討論得單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時， ;（3）設(shè)就是得兩個零點，證明：、已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同得極值點。（1）求得取值范圍；（2）記兩個極值點分別為，且 .已知 ,若不等式恒成立，求得范圍。試題解析： （1） 依題，函數(shù)得定義域為， 所以方程在有兩個不同根 , 即，方程在有兩個不同根。 轉(zhuǎn)化

8、為，函數(shù)與函數(shù)得圖像在上有兩個不同交點。又, 即時，時， ,所以在上單調(diào)增 , 在上單調(diào)減 . 從而 ,又有且只有一個零點就是 1，且在時， , 在時, ，所以得草圖如下 ,可見,要想函數(shù)與函數(shù)得圖像在上有兩個不同交點, 只須（2） 因為等價于。由 （1 ）可知分別就是方程得兩個根，即， 所以原式等價于 , 因為 ,所以原式等價于又由作差得， , 即。所以原式等價于 ,因為,原式恒成立 , 即恒成立。令，則不等式在上恒成立。令，又,當(dāng)時 , 可見時，所以在上單調(diào)增，又，在恒成立，符合題意當(dāng)時，可見時，時 ,所以在時單調(diào)增，在時單調(diào)減，又，所以在上不能恒小于，不符合題意，舍去。綜上所述 ,若不等

9、式恒成立 , 只須，又，所以已知函數(shù) , 就是函數(shù)得兩個零點，且 ,（ ）討論函數(shù)得單調(diào)性 ;（2）求得取值范圍 ;（） 設(shè)就是函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，求證試題分析 :（1）討論單調(diào)性，先導(dǎo)數(shù)，然后解得方程在上得解 , 通過得正負確定得單調(diào)區(qū)間 ;（2） 由（ 1）知就是得極大值點 ,因此只要 ,就能保證有兩個零點 ,注意到 ,因此可由求得得取值范 圍, 再求得范圍； （）首先由， 用表示出 , 再求得并整理得 ,此時會發(fā)現(xiàn)只要證 , 此式證明可 用換元法 , 設(shè)，再利用函數(shù)得性質(zhì)證明 .試題解析：（ 1）令，則，當(dāng)時， , 單調(diào)遞增；當(dāng)時， , 單調(diào)遞減（2） 由于函數(shù)存在兩個零點 ,由（ 1）可知,

10、 且由于在為增函數(shù) , 且 ,所以得取值范圍就是方法二： 函數(shù)有兩個零點， 即方程有兩個實數(shù)根， 即有兩個實數(shù)根， 設(shè)，則, 設(shè), 且單調(diào)遞增 時 , 單調(diào)遞減 時, 單調(diào)遞增（3 ）由于就是函數(shù)得兩個零點，且所以,兩式相減得： ,x1 x22x1 x22x1 x2 ax1 x2x2ln 2x1x2 x12 x2 x1x1 x2x2 x1ln x2x1要證明 ,只需證 ,即只需證 設(shè), 構(gòu)造函數(shù) 在單調(diào)遞增， 考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)得單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)得綜合應(yīng)用。10、（ 014 襄陽市三月考試）已知函數(shù) .（ ）當(dāng)時，求函數(shù)在得最大值；（）令 ,若在區(qū)間（，）上不就是單調(diào)函數(shù) , 求得取值范圍；（3）當(dāng)

11、時，函數(shù)得圖象與 x 軸交于兩點， ，且 ,又就是得導(dǎo)函數(shù)。 若正常數(shù)滿足條件， 證明：。 解：當(dāng) a = 2時,?函數(shù) y = f （ x）在， 1就是增函數(shù)，在， 就是減函數(shù) 3?分 所以 =-14?分（2）解 :,?g （ x）因為在區(qū)間 （0， 由得 :2 2axa 0， 又當(dāng) a = 8 時，有重根 綜上,a 得取值范圍就是。5分3）上不就是單調(diào)函數(shù) ,在（ 0， 3）上有實數(shù)解，且無重根 有， xx =- ； ?分（0，3） = 0 時，有重根x 07? 分6分 = 時 ,（x） = f （x）mx 得圖象與 （） - mx = 0有兩個實根 x 、 兩式相減得：（）解：當(dāng)hx 軸

12、交于兩點 A（x1 ， x2, ）,B（ x2， 0）是h ( x1x2)2x1 x22( x1x2)2(ln x1 ln x2)x1 x2(x1x2)10 分要證：，只需證 :?只需證：（0 < t < 1），（ *）化為 令，則 ?，即*)11 分 ?令 （t）在（ 0,1）上單調(diào)遞增，即 ?1分13 分 u (t) (1) = 014 分11。已知函數(shù)。（）討論函數(shù)得單調(diào)區(qū)間；（ ） 求出與得導(dǎo)數(shù)，運即（ ）當(dāng)時,設(shè)得兩個極值點，恰為得零點 , 求得最小值 試題分析：（）求解 , 分三種情況分類討論求解函數(shù)得單調(diào)區(qū)間； 用韋達定理與函數(shù)得零點得定義 , 化簡整理， 構(gòu)造新函數(shù)

13、 , 運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)得得單調(diào)性， 可求解最小值 .試題解析 :（） , 當(dāng)時,由解得，即當(dāng)時 , ，單調(diào)遞增； 由解得，即當(dāng)時 , ，單調(diào)遞減。 當(dāng)時 , 即在（ 0， ） 上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，故 , 即在（ 0， +）上單調(diào)遞增。 當(dāng)時，得單調(diào)遞增區(qū)間為 （0,）, 單調(diào)遞減區(qū)間為（ , ） ; 當(dāng)時 ,得單調(diào)遞增區(qū)間為 （ ,+ ）.（ ），則， 得兩根 , 即為方程得兩根 .， ， , 。又 , 為得零點 , , ，兩式相減得 ，得 b=，而, y令（ ）,由得,因為，兩邊同時除以 , 得，, 故 , 解得或 2, 0<t 。設(shè) G（t ）=， = ，則 yG（ t） 在上就是減

14、函數(shù)， G（ t） min= （） , 即得最小值為?？键c :函數(shù)得導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中得綜合應(yīng)用；函數(shù)得零點得應(yīng)用12、 已知函數(shù)（1）若，恒有成立，求實數(shù)得取值范圍 ;（2） 若，求在區(qū)間上得最小值；（3）若函數(shù)有兩個極值點 , 求證: 、（）由 x 0，恒有成立 , 即對任意 x>成立， 1分 記H（x） , H / （ ）= ， 2分 當(dāng)H（x）單增;當(dāng)H（x）單減； （x ）最大值為， 所以分（2 ）函數(shù)有兩個相異得極值點 , 即有兩個不同得實數(shù)根。當(dāng)時 , 單調(diào)遞增 , 不可能有兩個不同得實根； 6 分當(dāng)時 , 設(shè),當(dāng)時 , ，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，單調(diào)遞減； , ， 8分 不妨設(shè)，先證

15、，即證 , 即證， 令,即證，設(shè) , 9分 則，函數(shù)在單調(diào)遞減，又，1分考點:導(dǎo)數(shù)得幾何意義 ,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)得單調(diào)性、最值 , 導(dǎo)數(shù)得綜合應(yīng)用 1、已知函數(shù)（1）記,求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點；（2）用表示中得最小值，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于得方程（其中為常數(shù)）在區(qū)間有兩個不相等得實根記在內(nèi)得零點為，試證明：2E (匕分)(1) 證明：F(x) = xlnx-xe'x, Ff(x) = Inx +1 + (x-l)e_J r顯然xe 1,+qo)時，F(xiàn)rx) > 0 T故F(x)在Uoo)上單誠境姒1 2而F(l) = -<0,F(2) = ln4- - >0,所以由零點

16、存在定理知，ee必存在唯一 E(l,2)£(h+»),使得 F(Xo) = Or即函數(shù)尸(耳在區(qū)何(1,+8 )內(nèi)有且僅有個零點.(2) 由(1)問可®g(x0) = /(x0)且 XG(1,XO) Btf(x)<g(x)t X(XOf-KXJ)時 g(x)</(x)txln x,l < x < x0mxe其中滿足 lnx0 = 即In觀=八f事實上升e (1,2) >而xe (l,xq)時卅(x) = lnx+l> 0, x e(x05+<jo)ffJAr(x) = (l-x)e * <0(因此方G)在(1,石億(

17、旺,杠o)l,若方程加工)在區(qū)間(1,燉)有兩個不相等的實根禹丹佃 < 珀,則必有卅e (1,如),屯e(H帖燉)所證o X, + x2 > 2x9 ox2 > 2x0 -X)>xor 因為方(工)在(x0,+ao)單調(diào)遞減，所以只需證A(x,) < A(2xQ -Xj),而/»(x2) = ft(jj),所以只需證心 <方(2%-珀即證明可<(2x0 -旺"72環(huán)-帕構(gòu)造質(zhì)數(shù)9Kx)»xlnx-(2xfl -x)elx°x) = xlnx + (x-2xfl)eJ fx e (l,x0),SSI?(jc0) =

18、 x0Inx0 -xoe =0, f(x) = 1 + Inx + (x-2x0 + l)ei_2xg (1,x0)下證明時，(px) > 0 tS成立：垮杳兩數(shù)財(x) = (x + W”(刃=0 + 2)比 所以唄對在(y>,-2) J,(2、mo) T所以一定有 m(x-2jt0) = (x - 2x0 +2 v(-2) = ye因此，X(I?x0)B, <pf(x) = 1 + Inx + u(jf - 2xD) 1 + lnx- > 0 e即用)在ftxjT，所以Xj (l,x0)時，帆xJ“(xJ = O即成立，了!L、已知函數(shù)，且（）求曲線在點處得切線方程；（2）設(shè)有兩個零點 ,且成等差數(shù)列 ,記就是得導(dǎo)函數(shù)，求證：15.（2 1屆武漢二月調(diào)考文科 21）已知函數(shù)恰有兩個極值點 （）求實數(shù)得取值范圍；（ ）求證 :16、已知函數(shù) .（）討論函數(shù)得極值點得個數(shù) ;（ ）若有兩個極值點 ,證明： .解：（）由得， 1 分（ ）時， ，所以取得極小值，就是得一個極小值點。 2 分 （）時