近世代數(shù)子群的乘積是子群的判定條件

1、近世代數(shù)課程論文 近世代數(shù)課程論文 子群的乘積是子群的判定條件 姓名 李洋洋 學號 P091712744 班級 2009數(shù)學與應用數(shù)學 指導教師 蘇金林 日期 2010年10月30日 前言群論有著悠久的歷史，現(xiàn)在已發(fā)展成為一門范圍廣泛和內(nèi)容十分豐富的數(shù)學分支，在近世代數(shù)乃至整個數(shù)學中都占有重要地位。 在十九世紀初，數(shù)學中一個長達三世紀之久而未能解決的難題，即五次和五次以上代數(shù)方程的根式解問題，被挪威青年數(shù)學家阿貝爾（Abel,1802-1829）和法國青年數(shù)學家伽羅瓦（Galois,1811-1832）所徹底解決。它對今后數(shù)學的發(fā)展，特別是代數(shù)學的發(fā)展起著巨大的關(guān)鍵性的作用。因此可以說,阿貝爾

2、和伽羅瓦是群論和近世代數(shù)的真正創(chuàng)始人。然而群的范圍之廣泛，給我們的研究又帶來諸多不便，為了解決這一問題，人們引入了子群的概念，至此，群論的全部內(nèi)容都在不同程度上和子群有著聯(lián)系。特別地，有時我們將根據(jù)子群的各種特征來對子群進行分類，即根據(jù)子群的性質(zhì)來研究的群的相關(guān)性質(zhì)，這是研究群的重要方法之一。本文將著重研究子群的相關(guān)性質(zhì)，特別是對群的子群的乘積是不是子群的問題進行討論。本文分為三個部分:第一部分，包括準備知識在內(nèi)的群、群的階，群的子群等基本概念，它是研究子群的乘積是不是子群的基礎(chǔ)；第二部分，包括對群的子群的乘積是不是子群的問題的討論，你將看到，在一般情況下，群的子群的乘積不再是子群，而在一定條

3、件群的子群的乘積可以是子群；第三部分，包括對幾種重要子群的介紹，他們是研究群論的基礎(chǔ)和方向。本人才疏學淺，文中難免會有諸多紕漏甚至是錯誤之處，盡請批評指正。第一篇 群 群的階 子群（一） 群 群是一種叫簡單并且最重要的代數(shù)系統(tǒng)它只帶有一個代數(shù)運算。我們知道，所謂一個集合G的代數(shù)運算就是一個GG 的映射。定義1 令G是一個非空集合，它帶有一個代數(shù)運算（ °），對于G中任意的兩個元素a、b，都有G中唯一的元素ab與之相對應，叫做a與b的積。我們稱G做成一個群，如果G滿足下面的條件：（1） 對G中任意的元素a,b,c都有 （a°b）°c=a°（b°c

4、） （結(jié)合律成立）；（2） G中有元素e，叫做G的左單位元，它對G中的任意元素a都有 e°a= a；（3） 對G中任意元素a，在G中都有元素a-1,叫做 a 的左逆元，使 a-1°a=e。 如果對于群G中的任意兩個元素a、b均有 a°b = b°a,即G的代數(shù)運算滿足交換律，則稱G為交換群或Abel群，否則稱G為非交換群或非Abel群。例1 全體不為零的有理數(shù)所作成的集合Q*，對于數(shù)的乘法作成一個群。同樣地，全體不為零的實數(shù)所做成的集合R*以及全體不為零的復數(shù)所做成的集合C*對于數(shù)的乘法均作成一個群。例2 設(shè)n是一個正整數(shù)。令 Un=xC|xn=1,即全

5、體n次單位根所組成的集合。容易驗證，Un對于數(shù)的乘法作成一個群，我們把這個群叫做n次單位根群。 根據(jù)群的定義，我們還可以定義群的右單位元和右逆。我們將看到，群的左單位元合群的右單位元相等，左逆與右逆相等。定理1 群G的左單位元也是右單位元；左逆也是右逆，即 a-1a= aa-1 =e ； ea=ae=e。證明：（1）因為a-1 G，故a-1 在G中也有左逆元a,由此可得 aa-1 = e（aa-1）=(a a-1)( aa-1) = a(a-1a) a-1= a(e a-1) =a a-1=e從而a-1a= aa-1 =e以后稱a-1為a的逆元。 （2）因為ae=a（a-1a）= （aa-1）

6、a=ea=a，故有 ea=ae=e以后稱e為群G的單位元。定理2 群G的單位元和每一個元素的逆元均唯一。證明：設(shè)e 、e都是群G的單位元，那么有 e=ee=e. 設(shè)e是單位元，aG，a和a”都是a的逆元，那么有aa=e,a”a=e，所以有a=ea=(a”a)a=a”(aa)=a”e=a”.原命題得證。推論 群中消去律成立，即ab=ac 則 b=c;ba=ca 則 b=c.證明顯然，從略。（二） 群的階定義1 設(shè)G為群，aG，使an=e的最小正整數(shù)n，稱為元素a的階，即為|a|=n。若這樣的n不存在，則稱元素a的階為無限（或為零），如：在正有理數(shù)群Q+中除單位元的階是1外，其余元素的階均為無限。

7、以下是有關(guān)群的階的相關(guān)性質(zhì)（1）有限群中每個元素的階均有限。（2）設(shè)群G中元素a的階為n，則am=e<=>n|m，（3）設(shè)群G中a的階是n，則 |an|=n/(k，n)，其中k為任意的整數(shù)，（4）設(shè)群G中|a|=st，則|as|=t，其中s，t為正整數(shù)，（5）設(shè)群G中|ak|=n<=>(k，n)=1.（6）|a|、|b|與|ab|各種關(guān)系及例子，特別是： （|a|*|b|）=1，ab=ba=>|ab|=|a|b|。（7）若G是交換群，又G中元素有最大階m，則G中每個元素的階全是m的因子。（8）由元素a的階可以決定ak的階。 當|a|=，則當k為非零整數(shù)時，|ak|

8、=（a0=e階為1）。 當|a|=n，則|ak|=n/(k,n)。（三）子群 定義1 設(shè)G是一個群，H是G的一個非空子集，若H也是一個群（與G相同的運算），則稱H是G的一個子群，記為HG。子群包含平凡子群（子群e和G）和非平凡子群（除了平凡子群外）。定理1 設(shè)H是群G的子群，則子群H的單位元和逆元均是群G中的單位元和逆元。證明：設(shè)e是子群H的單位元，e是群G的單位元，則有ee=e=ee,群中消去律成立，所以e=e.同樣地，若a是a在H中的逆，而a-1是a在G中的逆，則有 aa= a-1a=e 于是a= a-1。定理2 設(shè)HG，H，則HG的充要條件是：a，bH=>abH。（或HH=H，H-

9、1=H）aH=>a-1H。（或HH-1=H）。定理3 設(shè)HG，H，則HG的充要條件是： a，bH=>ab-1H。定理4 設(shè)HG，H，則HG的充要條件是： HH=H且H-1=H。第二篇 子群的乘積是子群的判定條件定義1 （子群乘積的定義） 設(shè)A，B是群G的任意二非空子集，規(guī)定 AB=ab|aA，bB。下面我們將討論在一定條件下，子群的乘積是子群：、定理1 設(shè)H，K是群G的兩個子群，則 HKG <=>HK=KH。（1） 證明：設(shè)HKG，則： （HK）-1=HK, 但由于H-1=H，K-1=K, （HK）-1= K-1 H-1=KH,從而 HK=KH,（2） 設(shè)HK=KH,則

10、有 （HK）（HK）-1=HKK-1H-1=HKKH =HKH=HHK=HK.我們將兩個子群的情況推廣到n個子群的情況：定理3 設(shè)H1,H2,H3Hn是G的子群，證明：H1H2H3HnG的充分必要條件是 H1H2H3Hn=HnHn-1H2H1.證明:(1)必要性：設(shè)H1H2H3HnG，由于(H1H2H3Hn)-1=H1H2H3Hn，但是由于H1-1=H1, H2-1=H2Hn-1=Hn，和(H1H2H3Hn)-1=Hn-1Hn-1-1H2-1H1-1= HnHn-1H2H1，所以，H1H2H3Hn= HnHn-1H2H1.(2) 由H1H2H3Hn= HnHn-1H2H1.則有，(H1H2H3

11、Hn)( H1H2H3Hn)-1=H1H2H2-1H3H3-1H4H4-1HnHn-1-1H1=H1H2H3HnHnH3H2H1=H1H2H3Hn，從而可知，H1H2H3HnG，故原命題成立。 我們看到了一般群的子群的乘積是子群的條件，而對于一些特殊的群（比如阿貝爾群）來說，還有以下性質(zhì)：定理3 交換群的任意二子群的乘積為子群。證明：設(shè)G為阿貝爾群，H和K為它的兩個非空子群,，設(shè)任意的ab，cdHKG，其中a，cH；b，dK，a，b，c，dG所以有 （ab）（cd）=（ac）（bd）HK;另外，任意的abHKG，其中aHG；bKG;ab(ab)-1=abb-1a-1=e所以(ab)-1為ab在群G里的逆，至此，我們證明了HK為群G的子群。 同樣地，我們將兩個子群的情況推廣到n個子群的情形，定理4 在任意的阿貝爾群G中，任意n個子群的乘積仍為子群。 此定理證明同交換群兩個子群的乘積為子群的證法相同，留給讀者自己思考。至此我們看到了，群的子群的乘積是子群的判定條件。第三篇 幾種重要群的介紹1. 循環(huán)群循環(huán)群是一種很重要的群，也是一種已經(jīng)被完全解決了的一類，也就是說，這種群的表達方式和運算規(guī)則，以及在同構(gòu)意義下這種群有多少個和它們子群的情況等等，都已經(jīng)研究的很清楚了。2.變換群 變換群和任何群都有著緊