浙江省甌海區(qū)三溪中學(xué)高一數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積-ppt課件

1、2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，那么，那么AOB= （0 180）叫做向量）叫做向量a與與b的夾角。的夾角。OBA當(dāng)0時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)180時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)90時(shí)，稱a與b垂直， 記為ab.OAab 我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s如圖）如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計(jì)算可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積的概念

2、。數(shù)量積的概念。 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a與與b，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的數(shù)量積或內(nèi)積），記作的數(shù)量積或內(nèi)積），記作ab ab=|a| |b| cos規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos叫做向量a在b方向上向量b在a方向上的投影。留意：向量留意：向量的數(shù)量積是的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。一個(gè)數(shù)量。 向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？ab=|a| |b| cos當(dāng)當(dāng)0 90時(shí)時(shí)ab為正；為

3、正；當(dāng)當(dāng)90 180時(shí)時(shí)ab為負(fù)。為負(fù)。當(dāng)當(dāng) =90時(shí)時(shí)ab為零。為零。設(shè)設(shè)ba、是非零向量，是非零向量，be是與方向相同的方向相同的單位向量，單位向量，ea與是的夾角，那么的夾角，那么cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向時(shí)，與當(dāng)|;|bababa反向時(shí)，與當(dāng)特別地特別地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| | | | | c co os sa ab ba ab b 例例1 1 知知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a與與b b的夾角的夾角=120=120，求，求abab。OAB|b|cos a

4、bB1ba等于等于a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度|a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。練習(xí)：練習(xí)：1 1若若a =0a =0，則對(duì)任一向量，則對(duì)任一向量b b ，有，有a b=0a b=02若若a 0，則對(duì)任一非零向量，則對(duì)任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 0a 0，a b =0a b =0，則，則b=0b=04 4若若a b=0a b=0，則，則a ba b中至少有一個(gè)為中至少有一個(gè)為0 05 5若若a0a0，a b= b ca b= b c，則，則a=ca=c6對(duì)任意向量對(duì)任意向量 a 有有22|aa 二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量

5、積的運(yùn)算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三個(gè)向量，是任意三個(gè)向量，R 那么 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 證明運(yùn)算律證明運(yùn)算律(3)注：注： ？)()(cbacba例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例

6、例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知當(dāng)且僅當(dāng) 為何值時(shí)，向量與互相垂直？例例42 2 ) ) ( (3 3 ) )a ab ba ab b 求求（。|6,|4,|6,|4,abababab已已知知與與6 60 0 , ,o o 的夾角為的夾角為2.4.2 2.4.2 平面向量平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、復(fù)習(xí)引入.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或

7、 我們學(xué)過兩向量的和與差可以轉(zhuǎn)我們學(xué)過兩向量的和與差可以轉(zhuǎn)化為它們相應(yīng)的坐標(biāo)來運(yùn)算化為它們相應(yīng)的坐標(biāo)來運(yùn)算, ,那么怎那么怎樣用樣用呢？的坐標(biāo)表示和baba二、新課學(xué)習(xí)二、新課學(xué)習(xí)1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示如圖，如圖， 是是x軸上的單位向量，軸上的單位向量， 是是y軸軸上的單位向量，上的單位向量，由于由于 所以所以 ijcosbabax ijy o B(x2,y2) abA(x1,y1) iijjijji . . . 1 1 0 下面研究怎樣用下面研究怎樣用.baba的坐標(biāo)表示和設(shè)兩個(gè)非零向量設(shè)兩個(gè)非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),那那么么ab1122

8、112222121221121212,() ()ax iy jbx iy ja bx iy jx iy jx x ix y i jx y i jy y jx xy y 故兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)故兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即坐標(biāo)的乘積的和。即ijx o B(x2,y2) A(x1,y1) aby .2121yyxxba 根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)量的數(shù)量積的運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算。算。；或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),() 1 (yyxxAByxByxAyx

9、ayxayxa（則、（設(shè)）兩點(diǎn)間的距離公式（；或則設(shè)向量的模2、向量的模和兩點(diǎn)間的距離公式0baba（1垂直垂直0),(),21212211yyxxbayxbyxa則（設(shè)3、兩向量垂直和平行的坐標(biāo)表示0/),(),12212211yxyxbayxbyxa則（設(shè)（2平行平行4、兩向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算、兩向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算bababacos1800則），（的夾角為與設(shè)0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中則，夾角為與且（設(shè)三、基本技能的形成與鞏固三、基本技能的形成與鞏固.),1 , 1 (),32 ,

10、 1( (1) 1的夾角與，求已知例babababa.),4 , 2(),3 , 2( (2) ）（）則（已知bababa 例例2 2 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，試判斷，試判斷ABCABC的形狀，并給出證明的形狀，并給出證明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y 練習(xí)練習(xí)2：以原點(diǎn)和：以原點(diǎn)和A5，2為兩為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B=90，求點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)的坐標(biāo).yBAOx），或（），的坐標(biāo)為（答案：23272723B四、逆向及綜合運(yùn)用四、逆向及綜合運(yùn)用 例例3 3 （1 1知知 = =（4

11、4，3 3），向量），向量 是垂是垂直于直于 的單位向量，求的單位向量，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐標(biāo)，求，且）已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夾角為與，且）已知（kbakba. 532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（提高練習(xí)提高練習(xí)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，且，、已知CABBCOBACOBOA/)5 , 0() 1 , 3(1)329, 3(C 2、已知、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，則四邊形，則四邊形ABCD的形狀是的形狀是 .矩形矩形 3、知、知 = (1，2)， = (-3，2)，若若k +2 與與 2