高數(shù)-7_8常系數(shù)非齊次線性微分方程ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的構(gòu)造定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊方式 ,*y給出特解的待定方式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 為實(shí)數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為,

2、 )(e*xQyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項(xiàng)式 .)(xfyqypy (1) 假設(shè) 不是特征方程的根, , 02qp即那么取),(xQm從而得到特解方式為. )(e*xQymxQ (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 假設(shè) 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項(xiàng)式, 故特解方式為xmxQxye)(*(3) 假設(shè) 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次

3、多項(xiàng)式,故特解方式為xmxQxye)(*2小結(jié)小結(jié) 對(duì)方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此結(jié)論可推行到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1332 xyyy求方程的一個(gè)特解.解解: 此題此題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0. )(e*xQymx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. xxy

4、yy2e65 求方程的通解. 解解: 此題此題特征方程為,0652 rr其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2xmxQxye)(*目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解求出如下兩個(gè)方程的特解xmxPyqypy)i(e)

5、( yqypy分析思緒:第一步將第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)分析原方程特解的特點(diǎn)xmxP)i(e)(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一步第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(則令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解求如下兩方程

6、的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多項(xiàng)式為mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式兩邊取共軛 :xmxPyqypy)i(111e)(1y這說(shuō)明為方程 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 設(shè)那么 有特解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cos

7、xxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項(xiàng)式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析分析的特點(diǎn)yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 .11yyy本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,11yy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxPxxPnlxsin)(cos)(e對(duì)非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRxymmxksincose*那么可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推行到高階方程的情形.目錄 上

8、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. xxyy2cos 求方程的一個(gè)特解 .解解: 此題此題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad0 cb目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3co

9、s21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmxPyqypye)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*那么設(shè)特解為sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*那么設(shè)特解為sin)(co

10、s)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推行到高階方程的情形.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 求微分方程求微分方程xyyye44 的通解 (其中為實(shí)數(shù) ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根:221 rr對(duì)應(yīng)齊次方程通解:xxCCY221e)(2時(shí),exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xxCCy221e)(xe2)2(12時(shí),e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xxCCy221e)(xxe221思索與練習(xí)思索與練習(xí)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 知二階常微分方程知二階常微分方程xcybyaye 有特解2(1e ),exxyx求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等