“折紙中的幾何學(xué)”(京教杯入圍)——北京101中學(xué)邱靜

1、北京市中小學(xué)第一屆京教杯”青年教師教學(xué)基本功展示活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)折紙中的幾何學(xué)”北京市第一Q中學(xué)年級(jí)：初三 學(xué)科：數(shù)學(xué) 姓名：邱靜注：本課例是 北京教育學(xué)院教師教育數(shù)理學(xué)院2016年教師培訓(xùn)項(xiàng)目協(xié)同創(chuàng)新”的首批示范課例，指導(dǎo)教師：王建明；也是市級(jí)規(guī)劃課題“基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究”的 示范課例.【整體說明】 ：邱靜老師的 “折紙中的幾何學(xué) ”一節(jié)課，是對(duì)整體把握數(shù)學(xué)課程（ UMC ）的一次非常有意義的嘗試， 是一次實(shí)踐活動(dòng)課的新理解， 是一次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初 中數(shù)學(xué)教學(xué)中的很好落實(shí)。一、本節(jié)課的學(xué)科主要特點(diǎn)1. 本節(jié)課清晰地理解 “折紙幾何學(xué) ”與 “歐式幾何學(xué)” 的異同。折紙幾何繼承了

2、歐式幾何的所有公理， 同時(shí)又利用折紙的具體操作， 擴(kuò)大了歐式幾何的公理體系，特別是折紙幾何學(xué)中可以解決三次多項(xiàng)式方程的根。 本節(jié)課的三等點(diǎn)是折紙幾何 學(xué)與歐式幾何學(xué)尺規(guī)作圖的共同部分。2. 本節(jié)課通過在一個(gè)正方形的紙片折出 “三等分 ”點(diǎn)， 展現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)幾何、 綜合 幾何與幾何代數(shù)化 （方程與函數(shù)用于幾何的研究） 的基本過程， 體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí) 內(nèi)容的縱向發(fā)展與橫向聯(lián)系。二、本節(jié)課的學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)1. 學(xué)生的初次折紙（三等分點(diǎn)）往往都是依據(jù)直觀經(jīng)驗(yàn)，在嘗試中尋找正 方形紙片邊緣的三等分點(diǎn)。這個(gè)學(xué)習(xí)過程與經(jīng)驗(yàn)幾何的發(fā)展歷史是及其相似的。經(jīng)驗(yàn)幾何與經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)也是許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始。2. 初中學(xué)生對(duì)歐式幾何

3、公理化體系與公理化思想，已經(jīng)初步掌握。在學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)中或?qū)嵺`活動(dòng)后， 有些學(xué)生開始做出理性的思考： 如何用歐式幾何的公理體系，論證三分點(diǎn)的存在，如何用尺規(guī)作圖的方法 “折出 ”三等分點(diǎn)。這個(gè)過程 就是歐式幾何公理化思想運(yùn)用的學(xué)習(xí)。3. 當(dāng)正方形紙片邊緣的二分點(diǎn)與三分點(diǎn)都已經(jīng)折出 （或尺規(guī)作圖） 得到后，尋求正方形紙片相鄰邊緣的x分點(diǎn)與y分點(diǎn)，就是幾何代數(shù)化的學(xué)習(xí)。以上的三個(gè)階段， 學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、 提出問題及解決問題的策略在不斷發(fā)展， 學(xué)生的一次 折紙活動(dòng)就如一次幾何學(xué)發(fā)展歷史的濃縮版。三、本節(jié)課的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在本節(jié)課中主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與直觀想象。1.

4、在學(xué)生第一次折出三等分點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，首先是經(jīng)驗(yàn)與直觀想象在發(fā)揮作 用。2. 直觀想象之后的學(xué)習(xí)，學(xué)生依據(jù)歐式幾何公里體系，把折紙抽象為正方 形的一條邊的三等分點(diǎn)，是建立在幾何抽象與幾何論證基礎(chǔ)上的。3. 在把二等分與三等分的情況，做一般化推廣后，數(shù)學(xué)模型就成為了必然的選擇 方程與函數(shù)成為了解決一般問題的基本模型。本節(jié)課的具體模型xy+x+y=1,實(shí)際上是一條雙曲線，對(duì)未來學(xué)生高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)提供直觀基礎(chǔ)。王建明教授授課題目折紙中的幾何學(xué)使用教材人教版九年級(jí)（上）授課年級(jí)初三設(shè)計(jì)思路1 .選擇 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的原因：第一，在200萬年的發(fā)展中，可以說人類是通過動(dòng)手 活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)，再有邏輯推理；對(duì)學(xué)生

5、來說，雖然學(xué)習(xí)的幾乎都是現(xiàn)成的、理 性思維的內(nèi)容，但是還應(yīng)該有動(dòng)手操作活動(dòng)，這不僅符合課標(biāo)要求，而且與人 類學(xué)觀點(diǎn) 爺人的發(fā)展和人類的發(fā)展是自相似的”保持一致.第二，作為北京市課題基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究”的核心成員，進(jìn)行過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思考、嘗試，更將對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探索和實(shí)踐作為自己的專業(yè)特色發(fā)展方向；2 .選擇 折紙活動(dòng)”的原因：第一，折紙門檻低，操作方便，覆蓋面廣，第二，折紙有完整的公理體系保證，第三，期望像著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說的拿一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目， 去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完成的領(lǐng)域.”；3 . 三條線的設(shè)計(jì)”：知識(shí)

6、技能方面：引導(dǎo)學(xué)生折紙得到邊的三等分的三種 方法，并感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 思行結(jié)合”的特點(diǎn)；第二，通過折紙活動(dòng)，初步感受幾 何學(xué)的幾個(gè)發(fā)展階段（經(jīng)驗(yàn)幾何、綜合幾何、解析幾何、變換幾何等），從多角度認(rèn)識(shí)幾何學(xué)的價(jià)值和多樣性；第三，在觀察、思考過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題，解決問題，切實(shí)培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)學(xué)情分析1 .學(xué)生接觸過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（如剪紙折紙，制作模型等），但動(dòng)手機(jī)會(huì)不多，動(dòng)手能力不足，而且抽象思維還需加強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)還不夠深刻；2 .雖然重點(diǎn)學(xué)習(xí) 古典幾何”、幾何變換”，也經(jīng)歷 幾何問題代數(shù)化”的過程，但 沒有較系統(tǒng)地了解幾何學(xué)以及數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段，也沒有細(xì)致體會(huì)過其中的了不起的思想和價(jià)

7、值，對(duì)學(xué)科的崇拜、敬畏之心還須通過親身感受來建立教法分析為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特色，教學(xué)中讓學(xué)生獨(dú)立思考、充分操作；當(dāng)學(xué)生思維有 障礙時(shí)，教師適時(shí)采用 啟發(fā)式”問題教學(xué)法，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題之處，適當(dāng)點(diǎn)撥，并 且進(jìn)行提出問題的角度的指導(dǎo)，使教師一直站在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)上學(xué)法分析1 .學(xué)生利用已有的幾何知識(shí)、 代數(shù)知識(shí)、動(dòng)手活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等作為研究新問題的基礎(chǔ)， 探究正方形的邊的三等分點(diǎn)，由此學(xué)生不僅會(huì)對(duì)三等分的構(gòu)造有了一個(gè)新的認(rèn) 識(shí)，而且期待他們對(duì)折紙問題甚至數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)有整體的認(rèn)識(shí)和把握；2 .課堂上多次創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，最終解決問題；3 .在今后的學(xué)習(xí)中，相信學(xué)生會(huì)更加

8、注重幾何圖形之間的關(guān)系以及與代數(shù)化解決 問題的聯(lián)系，認(rèn)清幾何和代數(shù)的統(tǒng)一性和多樣性，擴(kuò)寬思路，促進(jìn)發(fā)散思維.教學(xué)目標(biāo)1 .探究正方形的邊的三等分點(diǎn)的折紙方法；體會(huì)折紙等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中“思行結(jié)合” 的學(xué)習(xí)方式；2 . 了解幾何學(xué)的幾個(gè)發(fā)展階段及其特點(diǎn)，簡(jiǎn)單了解其中數(shù)學(xué)史的內(nèi)容；3 .培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力；了解提問題的角度等；4 .培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、推理、建模、表達(dá)及獨(dú)立思考、合作交流等能力與精神；教學(xué)重點(diǎn)1 .通過折正方形的邊的三等分點(diǎn)，讓學(xué)生了解幾何學(xué)的幾個(gè)發(fā)展階段及其特點(diǎn)；2 .在折紙過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，并培養(yǎng)他 們的創(chuàng)新意識(shí)和能力；教學(xué)難點(diǎn)1

9、 .止方形的邊的二等分點(diǎn)的推理和構(gòu)造過程；2 .幾何問題代數(shù)化的過程；3 .理解幾何學(xué)幾個(gè)發(fā)展階段之間的關(guān)系，特別是折紙幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)的關(guān)18 / 15系（折紙與尺規(guī)作圖的關(guān)系）主要流程在長達(dá)數(shù)千年的人類歷史長河中，可以說，幾何史就是數(shù)學(xué)史、人類文明史的縮影，無論是思想觀念的更新，亦是科學(xué)理論的創(chuàng)立，幾何學(xué)都扮演了開路先鋒的角色； 那么幾何學(xué) 的發(fā)展主要經(jīng)歷了哪些階段？代表人物和偉大的思想分別是什么？這節(jié)課， 我們就通過折紙 活動(dòng)初步體會(huì)一下： 一. 環(huán)節(jié)一：?jiǎn)栴}引入1 .【問題1：對(duì)于一張正方形紙片，折疊一次，你最常見的操作是什么？（用兩張紙）? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖1、2,對(duì)折，使相鄰頂

10、點(diǎn)重合，得到一個(gè)矩形；對(duì)折，使 得不相鄰頂點(diǎn)重合，得到一個(gè)等腰直角三角形；2 .【問題2：這些操作的數(shù)學(xué)原理是什么呢？? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：正方形具有對(duì)稱性.3 .教師肯定學(xué)生的回答，并提問，【問題3】對(duì)這兩種操作，從局部看，我們分別將邊和直角進(jìn)行了一種分割，分別是什么呢？? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：邊的二等分，直角的二等分 .設(shè)計(jì)意圖:從問題1到問題3,從學(xué)生熟悉的內(nèi)容入手， 一方面復(fù)習(xí)折紙的基本操作，另一方面引導(dǎo)學(xué)生將問題數(shù)學(xué)化；第三方面，為接下來學(xué)生提出問題，解決問題創(chuàng)設(shè)空間.4 .【問題4：我們?nèi)菀追謩e將線段和直角二等分，你還想進(jìn)行哪些操作呢？? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：（1）分別將邊、直角三等分，四等分，五

11、等分，黃金分割 （2）分別將任意線段、任意角二等分，三等分 、' （3）得到更豐富的封閉圖形.：等邊三角形，等腰三角形，平行四邊形，梯形 （4）? 教師總結(jié)：大家的想法非常豐富， 事實(shí)上，在原有結(jié)論和成果的基礎(chǔ)上提出問題的 常見角度：改變數(shù)量、改變位置、改變研究對(duì)象、改變運(yùn)動(dòng)的軌跡、狀態(tài)、速度等? 教師指導(dǎo)：按照 到易到難”的順序，這節(jié)課，我們主要研究邊的三等分點(diǎn)，希望學(xué) 到的技能，體會(huì)到的思想能夠幫助你解決你們提出來的其他問題設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)主要注意兩點(diǎn)：不能為了突出數(shù)學(xué)的邏輯性而忽略學(xué) 生的差異性，也不能為了顯示實(shí)踐性而人為剔除數(shù)學(xué)的思維性.通過提出問題，分析問題，教師給出

12、提問題常見角度的指導(dǎo)，學(xué)生不僅有了研究的興趣，條理和方向，更重要的是在充分發(fā)揮自由想象和挖掘自己潛力的情況下，不知不覺中形成一種獨(dú)立思考的習(xí)慣二.環(huán)節(jié)二：推理操作（一）方法一：不斷嘗試【問題1】請(qǐng)大家回憶，你曾經(jīng)將正方形的邊三等分的方法是什么？（用第三張紙操作）? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：先將紙卷起，形成三層，再不斷調(diào)整，當(dāng)認(rèn)為調(diào)整到位時(shí)，再將紙 折平，得到邊的三等分點(diǎn).? 教師鼓勵(lì)：這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，快速，應(yīng)用性強(qiáng)，缺點(diǎn)是近似，不精確.而且這種折法再現(xiàn)了幾何發(fā)展第一個(gè)階段經(jīng)驗(yàn)幾何階段，人們通過經(jīng)驗(yàn)的積累產(chǎn)生了對(duì)幾何事物的簡(jiǎn)單闡述.設(shè)計(jì)意圖一方面給這種方法一個(gè)明確的定位 一一雖不精確但快速，應(yīng)用廣泛

13、；另一方 面，給出 經(jīng)驗(yàn)幾何”的一個(gè)例子，為介紹幾何學(xué)的發(fā)展歷程做好鋪墊；第三，刺激學(xué)生開動(dòng) 腦筋尋求精確的折法.【問題2】請(qǐng)同學(xué)們想一想，如何運(yùn)用你的數(shù)學(xué)知識(shí)得到三等分點(diǎn)？（二）方法二：綜合推理1 .第一步，將問題數(shù)學(xué)化：? 教師引導(dǎo)學(xué)生將文字語言 三等分點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言，如圖 3:設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生的難點(diǎn)在于 不清楚已知和求證”，因此教師就此追問已知和求作分別 是什么；? 教師總結(jié)：三種語言相輔相成，各有優(yōu)勢(shì)：文字語言是母語，最為親切，便于敘述 和記憶；圖形語言直觀、生動(dòng)，有利于引發(fā)形象記憶；符號(hào)語言的運(yùn)用，使復(fù)雜的 數(shù)學(xué)推理成為可能，理性思維的基本品質(zhì)之一是善于使用符號(hào)語言；AM

14、 1AD 31 3，.平行,MH 1BH 3 '2 .第二步，通過圖形和符號(hào)推理：【問題3】如何利用符號(hào)和圖形進(jìn)行推理呢?（注：若學(xué)生反映不理想，教師可進(jìn)行如下的啟發(fā)，但盡量讓學(xué)生思考和表達(dá).）【問題】分子、分母誰更容易轉(zhuǎn)化？如何轉(zhuǎn)化？AM? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：利用矩形對(duì)邊相等，即 BC=AD, .比例式轉(zhuǎn)化為 BC設(shè)計(jì)意圖:這里省略了整體轉(zhuǎn)化面積等思路，目的是為了給第三種方法留出時(shí)間 【問題】如何得到這個(gè)比例式？（教師可以提示觀察這兩條線段的位置關(guān)系因此構(gòu)造 叉形圖”，證明相似.）? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖4,連接AC, BM,容易證明AAMHscbh,再構(gòu)造AH 1 或者 一, "

15、;CH 3，【問題】哪個(gè)比例式容易構(gòu)造？（教師提示學(xué)生觀察線段所在的長線段的位置）? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：第二個(gè)，前者出現(xiàn)在線段 BM上，后者出現(xiàn)在線段 ACAH 1【問題】如何得到 - -?（教師引導(dǎo)觀察兩條線段的位置一一共線，首尾相接）CH 3AH 1AH 1? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖5,將 %轉(zhuǎn)化為 T ,即構(gòu)造對(duì)角線的四等分點(diǎn)，CH3AC 4通過構(gòu)造兩次線段中點(diǎn)即可 .A MD A MD圖4圖5設(shè)計(jì)意圖:因?yàn)橛幸欢ǖ牟僮麟y度，因此有些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)會(huì)使學(xué)生陷入操作細(xì)節(jié)中，而 不是對(duì)整個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，不利于抓住試實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵點(diǎn).要改變這種局面，可以在學(xué)生實(shí)驗(yàn)之初，教師提出圍繞目標(biāo)的關(guān)鍵問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)

16、實(shí)驗(yàn)的整體思考，突出實(shí)驗(yàn)的整體思維價(jià)值，這樣才能使實(shí)驗(yàn)變得有章可循 學(xué)生在折三等分點(diǎn)時(shí)必須先思考：比例如何得到，如何轉(zhuǎn)化，如何將三等分轉(zhuǎn)化為四等分，如何折四等分 這實(shí)際上是研究三等AGAcAHAG分點(diǎn)的一個(gè) 遞進(jìn)序列”（如圖），以此形成環(huán)環(huán)相扣的操作程序，更是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的 良好機(jī)會(huì)， 整體設(shè)計(jì)”可有效提升實(shí)驗(yàn)的思維水平.AM _ 1 AH _ 1 AH _ 1記- 3 hC-3 AC " 43 .第三步，動(dòng)手操作、總結(jié)提升、數(shù)學(xué)史話：? 教師指導(dǎo)：接下來我們將剛才分析的過程逆向進(jìn)行，就能得到操作過程， 請(qǐng)大家先獨(dú)立完成，再在小組內(nèi)展示交流 .（第四張紙）設(shè)計(jì)意圖無論是現(xiàn)場(chǎng)啟發(fā)還

17、是小組討論，亦或翻轉(zhuǎn)課堂等形式， 學(xué)生首先要獨(dú)立思考，只有獨(dú)立思考才可能產(chǎn)生見解，有見解才可能有交流的愿望， 并可能又激起新的思考； 這不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本身的需要，也是培養(yǎng)有獨(dú)立見解、勇于創(chuàng)新人才的需要教師總結(jié)并板書:對(duì)于邊的三等分，我們經(jīng)歷了從無到有“研究問題”的過程一一從尋常的二等分問題中發(fā)現(xiàn)可繼續(xù)探究的問題，再明確 提出探究邊的三等分問題，之后 分析解決問題，這就是有幾種方法解決問題，最后通過折紙得到邊的三等分點(diǎn)，即 一個(gè)完整的序列和順序；發(fā)現(xiàn)問題 提出問題 > 分析問題 .其中，分析問題過程中.用到的思考方法和知識(shí)基礎(chǔ)都源于公元前3世紀(jì)古希臘的歐幾里得建立的 “公理體系”，從那時(shí)開

18、始，幾何學(xué)進(jìn)入 綜合幾何”時(shí)代； 最后，解決問題過程中，折紙得到邊的三等分點(diǎn),又不同于折千紙鶴等按照步 驟操作，而是有思考有推理的，事實(shí)上，折紙等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通常推理和實(shí)踐相互 交織，是一種“思行結(jié)合”的學(xué)習(xí)方式；【問題4】我們?cè)賮硌芯繂栴}，平面幾何中很重要的部分是幾何變換，從變換的角度，請(qǐng)觀察分別得到邊的二等分、三等分的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？（若學(xué)生反映不好， 可追問 分別通過哪種變換得到的？”）? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：分別是軸對(duì)稱變換、位似變換 .ADAMD教師指導(dǎo)：折紙活動(dòng)蘊(yùn)含幾何變換的內(nèi)容 .事實(shí)上，這種折法透漏出一點(diǎn) 變換幾何 的味道，這是19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家克萊因創(chuàng)建的，它不僅使我們看到幾何

19、學(xué)的 一種新形象，更重要的是幾何學(xué)中對(duì)變換的研究”竟然推動(dòng)了 “代數(shù)學(xué)”的發(fā)展 提問：從剛剛老師介紹的數(shù)學(xué)史的內(nèi)容上，你能發(fā)現(xiàn)什么問題？學(xué)生（預(yù)設(shè)）：從公元前3世紀(jì)一直到19世紀(jì)，2000多年的時(shí)間跨度中，幾何 的發(fā)展又經(jīng)歷了哪些重要階段呢？教師引導(dǎo)：事實(shí)上，在 17世紀(jì)，有一位哲學(xué)家，數(shù)學(xué)家，對(duì)于平面內(nèi)的線、 圖形等，竟然用方程或者函數(shù)表示出來，那他是誰呢？他天才的設(shè)想是什么呢？ 幾何學(xué)帶來怎樣的發(fā)展呢？我們通過下面的折紙活動(dòng)切身感受一下；經(jīng)驗(yàn)幾何古典幾何?變換幾何（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：如 測(cè)量、試驗(yàn)等）古希臘歐幾里得的幾何原本 公兀前3世紀(jì)德國克萊因19世紀(jì)經(jīng)驗(yàn)的積累建立公理體系變換群”的思想設(shè)計(jì)意

20、圖:本節(jié)課讓學(xué)生重點(diǎn)體會(huì)經(jīng)驗(yàn)幾何、綜合幾何、幾何代數(shù)化這三種重要階段,變換幾何只簡(jiǎn)單介紹，目的是試圖較為全面地展示幾何學(xué)的發(fā)展階段而已 （三）方法三：代數(shù)計(jì)算猜測(cè) 求解 證明 聯(lián)系 ' 拓展說明：對(duì)于方法三，不是直接進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，而是讓學(xué)生經(jīng)歷以上五個(gè)步驟，在 幾何問題代數(shù)化的過程中，解決三等分問題，再普遍聯(lián)系一一體會(huì)圖形、方程、函數(shù) 的統(tǒng)一性，最后拓展提升一一感受幾何問題代數(shù)化的強(qiáng)大功能 第一步、猜測(cè)一一在探索操作中發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的結(jié)果：【問題1剛才我們折出了正方形的邊的二等分點(diǎn)與三等分點(diǎn)，現(xiàn)在讓這些三個(gè)分點(diǎn)出現(xiàn)在一個(gè)正方形中，如圖 8,你能提出什么問題？AD圖8學(xué)生（預(yù)設(shè)）：能否利用它

21、們得到的更多的圖形?若學(xué)生反應(yīng)不佳，教師可提示其類比“邊的三等分點(diǎn)”的分析方法一一分析已知和 求作；已知是什么？（如圖 8,正方形、中點(diǎn) 巳 三等分點(diǎn)F, H）；如何利用已知？（兩點(diǎn)就可以連線，就可以當(dāng)作折痕，就可以翻折操作）；求作什么？（得到有價(jià)值的圖形， 即直觀清晰美觀的圖通?？赡軙?huì)有有價(jià)值的結(jié)果）? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖9, 10, 11, 12,分別是折疊一次，兩次，三次的結(jié)果：1）折兩次的學(xué)生甲：兩次折疊會(huì)重合，研究意義不大；2） 折兩次的學(xué)生乙：發(fā)現(xiàn) AB沿AE折疊后與AD沿AF折疊后在正方形內(nèi)部重合;3）折兩次的學(xué)生丙：能折出一個(gè)直角；4）折三次的學(xué)生丁：能折兩個(gè)直角；5）折三次的

22、學(xué)生戊；能折出另一邊的三等分點(diǎn)；6）折三次的學(xué)生己；也能折出另一邊的三等分點(diǎn)；7）教師待乙敘述后鼓勵(lì)并點(diǎn)撥：第一、本節(jié)課只研究學(xué)生乙的發(fā)現(xiàn)，其他結(jié)果請(qǐng)同學(xué)們課卜研究；第二、對(duì)于學(xué)生乙的發(fā)現(xiàn)（兩條線段重合”），既可通過 經(jīng)驗(yàn)幾何”來實(shí)現(xiàn)，又可 通過 綜合幾何”來證明，我們暫且將證明放下，來思考一個(gè)更為深入的問題：第二步、求解一一用 代數(shù)的”方法將求解一般化的結(jié)果：【問題2】你能將問題一般化嗎？（若回答不出，則直接問改為其他分點(diǎn)，若還能重合，兩個(gè)分點(diǎn)要滿足什么關(guān)系？ ”）學(xué)生（預(yù)設(shè)）：將問題一般化為：若 E、F不是二等分點(diǎn)也不是三等分點(diǎn)，它們滿足什么條件時(shí)，折疊之后還能使得AB和AD在正方形內(nèi)部重

23、合？教師帶領(lǐng)學(xué)生分析“分點(diǎn)”的符號(hào)語言以及具體轉(zhuǎn)化方法，即在將邊長設(shè)為1的基一一 、一 1礎(chǔ)上，設(shè)BE 還是學(xué)生（預(yù)設(shè)）n如圖13,BE x更簡(jiǎn)便;設(shè)正方形邊長為 1, BE=x, DF=y,在RtA ECF中，利用勾股定理得:(x y)222(1 x) (1 y),整理得：xy x y 1 ,整理得：y第三步、證明1 x;1 x通過代入一組特殊值，解決三等分問題:【問題3】借助函數(shù)關(guān)系，您能解決剛才那個(gè)學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖14,當(dāng)x1 I一時(shí),2重合”的問題嗎？1y 1 ,即當(dāng)點(diǎn)E是二等分點(diǎn)時(shí),3F是DCADyF1-yG1-x C這是“芳 請(qǐng)同學(xué)在二等分點(diǎn)基礎(chǔ)上得到三等分點(diǎn)， 理”），此外還有

24、第二、第三定理,的一個(gè)三等分點(diǎn).圖13? 教師介紹幾個(gè)重要內(nèi)容：（1）這種折法在折紙領(lǐng)域的地位：實(shí)際上，賀和夫”發(fā)現(xiàn)的折法（芳賀折紙第一定們課下先查閱資料，再動(dòng)手操作；（2）幾何問題代數(shù)化的理解及其意義：這種方法有別于 純幾何推理”，通過建立方程、構(gòu)造函數(shù)、代入數(shù)值計(jì)算得到； 這是 幾何問題代數(shù)化”的典型做法，也是解析幾何 的主要思想一一這種想法這是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在17世紀(jì)創(chuàng)建的，他的偉大之處在于不僅為幾何學(xué)帶來了新的發(fā)展，而且揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性【問題4此后，幾何學(xué)又經(jīng)歷了怎樣的發(fā)展？請(qǐng)大家課下查閱資料，讓大咖們智慧之 光照耀我們學(xué)習(xí)的道路.設(shè)計(jì)意圖教師提示學(xué)生思考幾何學(xué)的發(fā)展階段，盡量展

25、示幾何學(xué)的發(fā)展的連貫性經(jīng)驗(yàn)幾何古典幾何解析幾何變換幾何近現(xiàn)代幾何學(xué)（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：如 測(cè)量、試驗(yàn)等）歐幾里得（古希臘）幾 何原本公元前3世紀(jì)笛卡爾（法）17世紀(jì)克萊因（德） 19世紀(jì)末?經(jīng)驗(yàn)的積累建立公理體系幾何問題代數(shù)化變換群”的思想第四步，聯(lián)系 一一通過比較兩組對(duì)應(yīng)值的關(guān)系，將顯性的圖形對(duì)稱性，以及隱性的方 程、函數(shù)的對(duì)稱性挖掘出來，并相互對(duì)應(yīng)，揭示數(shù)、形的內(nèi)在統(tǒng)一性：【問題5】對(duì)于這個(gè)圖形和函數(shù)關(guān)系? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖15,當(dāng)x是DC的一個(gè)二等分點(diǎn).y ,你還能提出哪些問題？1 X1 ,1，-、一，八 L，時(shí)，y ,即當(dāng)點(diǎn)E是三等分點(diǎn)時(shí)，能得到32【問題6】這是通過函數(shù) 代值”得到的結(jié)果，

26、你能從其他角度解釋這種神奇的關(guān)系嗎?學(xué)生（預(yù)設(shè)）：從圖形的角度看，正方形具有軸對(duì)稱性， AC所在的直線是正方形的 對(duì)稱軸；教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察方程，教師點(diǎn)撥：此外，從兩個(gè)分點(diǎn)x, y滿足的方程xy x y 1也能看出對(duì)稱”，左邊的代數(shù)式是對(duì)稱式”-任意交換兩個(gè)元的 位置，多項(xiàng)式不變，這是數(shù)與形的統(tǒng)一，數(shù)與形的結(jié)合1 x - 一，一【問題7】請(qǐng)同學(xué)們大膽想象，利用方程 xy x y 1得到的函數(shù)y =是否也具 1 x有對(duì)稱性呢？1 x （ 1 x） 22,一、一一 ，一 2? 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：y （） 2 1 ,可發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是雙曲線 y -1 x 1 x x 1x2向左、向下平移1個(gè)單位得到的，所

27、以和 y 一有相同的對(duì)稱軸y x。? 此時(shí)教師展示幾何畫板圖形中的函數(shù)圖像，以及其中一條對(duì)稱軸 y x,如圖16, 利用對(duì)稱性可知，點(diǎn)（x, y）與點(diǎn)（y, x）都在函數(shù)圖像上，從函數(shù)具有對(duì)稱性的角度給出了解釋.設(shè)計(jì)意圖:第一，向笛卡爾致敬： 笛卡爾的偉大之處是將形（包括點(diǎn)、線、面）和 數(shù)”兩個(gè)對(duì)立的 對(duì)象統(tǒng)一起來，建立圖形和方程、函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)材料就是難得的好例子一一讓學(xué)生 體會(huì)數(shù)形結(jié)合： 對(duì)稱性”不僅是 形的”，直觀的，而且是 數(shù)的”，精確的一一既蘊(yùn)含在方程1 x ,xy x y 1的 對(duì)稱式”中，又體現(xiàn)在函數(shù) y 的兩次對(duì)應(yīng)值中；1 x第二，向阿蒂亞致敬： 阿蒂亞在數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性中概

28、括說：在數(shù)學(xué)中，幾何是 視覺 思維”占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是 宥序思維”占主導(dǎo)地位，這種區(qū)分也許可以用另一對(duì)詞刻畫， 即洞察”對(duì) 嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用.我們的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展這兩種思維模式，過分強(qiáng)調(diào)一種而損害另一種是錯(cuò)誤的.幾何并不只是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，而且是一種思維方式，他滲入數(shù)學(xué)的所有分支.第五步，拓展 一一讓學(xué)生體會(huì)幾何問題代數(shù)化的強(qiáng)大功能:【問題8繼續(xù)剛才的研究方法，你還想研究哪些問題?，21，學(xué)生（預(yù)設(shè)）：如圖17,當(dāng)x 時(shí)，y即由三等分能得到五等分點(diǎn);35如圖18, x如圖19, x1,3, 八廣，一、一一時(shí)，y即由四等分能得到五等分點(diǎn);453 13時(shí)，y，即

29、由四等分能得到七等分點(diǎn);4 7A1BA1BB3 x =-4EC 1-x圖17圖18圖19教師提示：通過函數(shù)，我們可以得到更為一般而且更為豐富的結(jié)果，這些都是幾何問題代數(shù)化的強(qiáng)大之處.設(shè)計(jì)意圖:思維訓(xùn)練是本節(jié)課的第三條線，通常來說，發(fā)現(xiàn)問題的價(jià)值高于解決問題：先將具體的二、三等分一般化為x,y等分點(diǎn)，直接上升到用數(shù)學(xué)解決問題，讓學(xué)生從計(jì)算1 x中脫身出來，將精力放在思維層面；再建立函數(shù)y ,清晰明了地表示兩者；最后將1 x二、三等分作為函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值出現(xiàn)， 通過函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系給出更多的分點(diǎn)關(guān)系， 既解決 了操作中的疑惑，又體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的過程和強(qiáng)大， 也是從操作一發(fā)現(xiàn)問題一解決問 題，從

30、特殊一一般一特殊的研究嘗試.三.環(huán)節(jié)三、課堂小結(jié)如何總結(jié)一節(jié)課的收獲呢？1 .知識(shí)技能：折正方形一邊三等分點(diǎn)的幾種方法等；2 .思想方法：函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合等；研究問題方法：由易到難等；3 .學(xué)習(xí)形式：折紙（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)），數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn) 直觀，操作性強(qiáng)，推理和操作 相互交織，思行結(jié)合；4 .問題是數(shù)學(xué)的心臟！一一哈爾斯（美）！對(duì)于問題，研究順序是什么呢？發(fā)現(xiàn)問題一一提出問題一一分析問題一一解決問題；? 其中前兩個(gè)環(huán)節(jié)最為重要，提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更有價(jià)值，因?yàn)榍罢甙嗟南胂罅蛣?chuàng)造力?。◥垡蛩固梗?? 提出問題的常見角度有改變數(shù)量、改變位置、改變對(duì)象、改變運(yùn)動(dòng)軌跡、狀態(tài)、速度

31、等;5.數(shù)學(xué)史話：幾何發(fā)展史：經(jīng)驗(yàn)幾何古典幾何解析幾何變換幾何近現(xiàn)代幾何學(xué)（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：如 測(cè)量、試驗(yàn)等）歐幾里得（古希臘）幾何 原本公元前3世紀(jì)笛卡爾（法）17世紀(jì)克萊因（德） 19世紀(jì)末?經(jīng)驗(yàn)的積累建立公理體系幾何問題代 數(shù)化變換群”的 思想折紙的發(fā)展史：歷史總是驚人的相似！數(shù)學(xué)史也不例外.歷史上很多的數(shù)學(xué)趣題吸引了人們來研究，有的甚至發(fā)展出數(shù)學(xué)新的分支，如：對(duì)尺規(guī)作圖不可能問題”的研究開創(chuàng)了對(duì)圓錐曲線的研究等；類似的，折紙也是有趣有內(nèi)涵的數(shù)學(xué)問題，比如：藤田文章給出折紙七公理，建立一種比歐式幾何學(xué)擴(kuò)大化的折紙幾何學(xué)，研究發(fā)現(xiàn)折紙等同于解三次方程，比能解決二次方程問題的尺規(guī)作圖更加強(qiáng)大，能實(shí)現(xiàn)尺規(guī)作圖無法完成的任務(wù)，如任意角的三等分（如圖21）囹216. 探究？迷惑？比如：繼續(xù)探究正