【中考幾何模型壓軸題】專題15《角含半角模型》

1、中考幾何壓軸題（幾何模型30講）最新講專題15角含半角模型破題策略1 .等腰直角三角形角含半角如圖，在 ABC中，AB= AC Z BAG= 90 ,點(diǎn) D, E在 86±且/ DAE= 45(1) ABAEE ADEo CDA(2) bD+cE= D=.證明（1）易得/ ADC= / B+ / BA氏 / EAB所以 BA9 ADEE3 CDA.（2）方法一（旋轉(zhuǎn)法）：如圖 1,將 AB堂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 ACF連結(jié)EF.AB則 / EAF= Z EAD= 45 , AF= AD所以 ADZ FAE ( SAS ).所以DE= EF.而 CF= BD / FCE=

2、 / FC4 /ACE= 90 ,所以 bD+ cE= cF+cE=eP=dE.方法二(翻折法)：如圖 2,作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F,連結(jié)AF, DF, EF.因?yàn)? BAID- / EAC= / DAR / EAF 又因?yàn)? BAD= / DAF則 / FAE= / CAE AF= AB= AC 所以 FA中 CAE(SAS .所以EF= EC.而 D曰 BD /DFE= /AFA Z AFE= 90 ,所以 BD+ EC= FC2+ eF= dE.【拓展】如圖，在 ABC中，AB= AC / BA住90° ,點(diǎn)D 在BC上，點(diǎn)E 在BC的 延長(zhǎng)線上，且/ DAE= 45°

3、; ,則 bD+cE=dE.BD C EBDC EF可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來證明，如圖:可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法將ABDECBQ DE EC轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，如圖：AB.fCBDCAEF將等腰直角三角形變成任意的等腰三角形：如圖，在ABC中，AB= AC點(diǎn)D, E在BC上，且/ DAE= 1 / BAC則以BD DE EC為三邊長(zhǎng)的三角形有一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180。2-Z BAC.2.正方形角含半角如圖1,在正方形 ABCDK點(diǎn)E, F分別在邊BC CD±, / EAF= 45。，連結(jié)EF,則:圖1圖2圖3(1) EF= BE+ DF;(2)如圖2,過點(diǎn)A作AGL EF于點(diǎn)G,則AG

4、= AD(3)如圖3,連結(jié)BD交AE于點(diǎn)H,連結(jié)FH 則FHL AE(1)如圖4,將 AB或點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 ADI證明.則/IAF=/EAF= 45 , AI = AE所以 AEQ AIF (SAS , 所以 EF= IF = DI+ DF= B曰 DF.(2)因?yàn)?AEW AIF, AGL ER ADI IF, 所以AG= AD.(3)由/ HAF= /HDF= 45° 可得 A, D, F, H 四點(diǎn)共圓，從而/ AHF= 180 -Z ADF= 90 , 即 FHL AE【拓展】如圖，在正方形 ABCDK點(diǎn)E, F分別在邊CB DC的延長(zhǎng)線上, 45

5、6; ,連結(jié) EF，貝U EF= DF- BEEAF=可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖:如圖，在一組鄰邊相等、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形ABCD中，AB=AQ / BAD7 0=180點(diǎn) E, F 分別在 BG 0D上，/ EAF=- / BAD 連結(jié) EF,貝U EF=BE+DF.2可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖:例題講解例1如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形 AB0M邊B0 0D上，/ EAE 45° .(1) 試判斷BE ER FD之間的數(shù)量關(guān)系.(2) 如圖 2,在四邊形 AB0M, / BAF 90° , AB= AD / B+ / D= 180° ,點(diǎn) E、 F分別在B

6、0 0D上，則當(dāng)/ EAF與/BAD滿足 關(guān)系時(shí)，仍有EF= B曰FD(3)如圖3.在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形AB0D已知AB= AD=805/ B= 60 , / AD住120 , / BAD= 150 ,道路 BQ 0D上分別有景點(diǎn)E, F,且AE± AD DF= 40 (73-1) m.現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直的道路，求這條道路EF的長(zhǎng).(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：72 = 1.41 , 73 = 1.73 )(2) / BAD= 2/EAF 理由如下：如圖4,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G,使得DG= BE連結(jié)AG.易證 AB降 ADG(SAS .所以AE= AG即 EF= B

7、E+ DF= DGF DF= GF 從而證得 AEFAGFC SSS） ,-1-所以/ EAF= / GAF= / EAG=2A上BeC圖41 ,/ BAD2G F H，»、D fB匚E圖5(3)如圖5,將 AB或點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1 50 °至/ ADG連結(jié)AF.由題意可得/ BAE= 60°所以八8£和 ADG勻?yàn)榈妊苯侨切?過點(diǎn)A作AHLDGT點(diǎn)H.則DH= -AD= 40m, AH= 3 AD= 40 . 3 m. 22而 DF= 40 （有1） m.所以/ EAF= / GAF= 45 .可得 EAg GAF （SA9 .所以 EF = GF=

8、 80m+40 （石l ）109. 2m.例2如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為a, BM DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足/ MAN =45 .連結(jié) MC NC MN(1)與ABMf似的三角形是(2)求/ MCN勺度數(shù)；(用含有a的代數(shù)式表示)；(3)請(qǐng)你猜想線段 BM DN M也間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1) NDA a2.ABNDBCMH/ DCNN(2)由(1)可得ADBM DC所以.BC DN易證/ CBM： / ND住 45 , 所以 BCM DNC 則/ BCIW / DNC所以 ZMCN =360° 一/ BCD-/= 270 (/ DNC/ DCN= 270

9、° ( 180° -Z DNC = 135° .，一、_2_22(3) BM 2 DN2 MN2,證明如下：如圖，將 ADN點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° ,得到 ABE連結(jié)EM.易得 AE= AN /MAE= Z MANh 45 , / EBM= 90 ,所以 A M降 AMN (SAS .則 ME= MN在 RtABME, BM2 BE2 EM2所以 BM 2 DN2 EM 2.倒 3 如圖，在四邊形 ABCD中，AD/ BC / BCD= 90 , AB= BO AD, Z DAC= 45 , E 為CD上一點(diǎn)，且/ BAE= 45° .若CD=

10、4,求 ABE勺面積.解：如圖1.過點(diǎn)A作CB的垂線，交 CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.由/ DAC45得 AD= CD.所以四邊形ADC叨正方形.從而 AF= FC=4.令 BC=3則 AB= 4+ 簿 BF= 4m在 RtAFB中，有 16+ (4 吊 2一(4+m 2所以 AB= 5, BF= 3.如圖2.將 AD或點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至 AFG.易證 AG詳 AEB令 DE= n,貝U CE= 4 -n, BE= BG= 3+n在 RtABCE,有 1+ (4n) 2= (3+n) 2,解得 n=-.7一 25所以BG= 25.7150從而 S ABE Sabg AFgBG 50.進(jìn)階

11、訓(xùn)練BD= CD /MDN=1. 如圖，等邊 ABC勺邊長(zhǎng)為1, D是AB。卜一點(diǎn)且/ BDC= 120° , 60° ,求 AMN勺周長(zhǎng). AMN勺周長(zhǎng)是2【提示】如圖，延長(zhǎng) AC至點(diǎn)E,使得CE=BM連結(jié)DE.先證 BMD CED再證 MD陣 EDMP 可.2.如圖，在正方形 ABCD3,連結(jié)BDD E、F是邊BC CD上的點(diǎn)，CEF的周長(zhǎng)是正方形 ABCD 周長(zhǎng)的一半，AE AF分別與BD交于M N,試判斷線段 BM D用口 MN：間的數(shù)量關(guān)系，并證 明.B EC解：bM+ dN=mN.【提示】由 CEF周長(zhǎng)是正方形 ABCD10長(zhǎng)的一半，想到“正方形角含半角”，從而旋轉(zhuǎn)構(gòu)1，一 一,一造輔助線解決問題（如圖 1）,證 AEB AGF得/ MAN= - / BAD= 4,然后，再由“等2腰直角三角形含半角”（如圖 2）即可證得.G k1A : DA 廣一BECBE圖13.如圖，在 ABC中，/ ACB= 90° ,點(diǎn) D在邊AB上，邊AC上，連結(jié) BF交DE于點(diǎn)G 若/ DBF 45° , DG=HGSdC 圖2DEL BC于點(diǎn)E,且DE= BC點(diǎn)F在27 , BE=