2020年上海市青浦區(qū)高三數(shù)學(xué)二模試卷(含答案)

1、青浦區(qū)2019學(xué)年高三年級第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷(時間120分鐘，滿分150分)Q2020.05一、填空題(本大題滿分 54分)本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應(yīng)在答題 紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分1 .已知全集U R ,集合A (,2),則集合QjA .2 .已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z 2 i的共軻復(fù)數(shù)z .一一1. 13 .已知函數(shù)f x 1 ,則方程f x 2的解x . x4 .若(ax 1)5的展開式中x3的系數(shù)是80,則實數(shù)a的值是.225 .雙曲線ay- 1的一個焦點到一條漸近線的距離是 .446.用一平面去截球

2、所得截面的面積為3冗cm2,已知球心到該截面的距離為 1cm,則該球的表面積是 cm2 .-1,117,已知x, y 0且x 2y 1 ,則一 一的最小值為 x yr r r8.已知平面向量 a,b滿足aur r r - r r(1, 1), |b| 1, |a 2b | J2,則 a與 b 的夾角為9.設(shè)a1,3,5 , b2,4,6 ,則函數(shù) f (x)1 口 一一 log b 一是減函數(shù)的概率為 ；x高三數(shù)學(xué)第14頁共11頁10 .已知函數(shù)f (x)Ux a ,若存在實數(shù)x0滿足f f (x。)x°,則實數(shù)a的取值范圍是11 .已知正三角形 ABC的三個頂點均在拋物線 x2 y

3、上，其中一條邊所在直線的斜率為4,則4 ABC的三個頂點的橫坐標(biāo)之和為 .12 .定義函數(shù)f (x) x x ，其中x表示不小于x的最小整數(shù)，如1.42,2.32,當(dāng)x (0, n n N 時，函數(shù)f (x)的值域為An,記集合An中元素的個數(shù)為an ,則an 二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有 4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13 .已知 a,b R,則 “b 0” 是 “a2 b 0” 的 ().(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件14 .我國古代數(shù)學(xué)著作九

4、章算術(shù)中記載問題：“今有垣厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第一天打洞一尺， 小鼠第一天打洞半尺， 大鼠之后每天打洞長度比前一天多數(shù)為 ().(A) 3(B) 4(C) 5(D) 622一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？”兩鼠相逢需要的最少天15 .記橢圓y 1圍成的區(qū)域(含邊界)為 n(n 1,2,L ),當(dāng)點(x, y)分別在4 4n 11, 2,L上時，x y的最大值分別是 M1 , M2 , L ,則lim Mn ().n(A) 2 非(B) 4(C) 3(D

5、) 27216 .已知函數(shù)f (x) sinx 2sinx,關(guān)于x的方程f2(x) Vaf (x) 1 0有以下結(jié)論：當(dāng)a 0時，方程f2(x) Vaf(x) 1 0在0,2幾內(nèi)最多有3個不等實根；64一 2.當(dāng)0 a 時，方程f (x) Va f (x) 1 0在0,2冗內(nèi)有兩個不等實根； 9若方程f2(x) Vaf(x) 1 0在0,6內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15 7t.若方程f2(x) Jgf(x) 1 0在0,6內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36 7t.其中所有正確結(jié)論的序號是 ().三.解答題(本大題滿分 區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟(A)(B)(C)(D)76分)本大題共有 5題

6、，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定2小題?茜分8分.A17 .(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第如圖，在正四棱柱 ABCD ARCiDi中，B1AB 60 .(1)求直線AC與平面ABCD所成的角的大??；(2)求異面直線BQ與ACi所成角的大小.18 .(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題?黃分6分，第2小題滿分8分.已知函數(shù) f(x) 2sin(x 當(dāng) sinxcosx V3sin2x 3(1)若函數(shù)y f(x)的圖像關(guān)于直線 x a(a 0)對稱，求a的最小值；(2)若存在x 0,0,使mf(x0)2 0成立，求實數(shù)m的取值范圍.19 .(本題滿分14分

7、)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題?黃分8分.上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利.已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t (單位：分鐘)滿足 2 t 20, t N* .經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載 客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)10 t 20時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為 1200人，當(dāng) 2 t 10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與 (10 t)的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為 2分鐘時 載客量為560人，記地鐵載客量為 p(t).(1)求P(t)的表達(dá)式，并求在該時段內(nèi)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量；(2)若該時段這條線路每分鐘的凈收益為Q 6ps-3

8、360 360 (元)，問當(dāng)發(fā)車時間間隔為t多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？20 .(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題?茜分6分，第3小題滿 分6分.22已知橢圓C:x2%1(a b 0)的左、右焦點分別是 Fl, F2,其長軸長是短軸長的 2 a b倍，過 b且垂直于x軸的直線被橢圓 C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有、11且只有一個公共點，設(shè)直線PF1, PF2的斜率分別為K ,卜2,若k 0 ,證明: 丁一為定值， kk1 kk2并求出這個定值；(3)點P是橢

9、圓C上除長軸端點外的任一點，設(shè) F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長軸于點M m,0，求m的取值范圍.21.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題?茜分6分，第3小題滿 分8分.對于無窮數(shù)列 an、 bn , n N*,若 bk max a1,a2,L ,ak min a),a2,L ,ak ,k N*，則稱數(shù)列 bn是數(shù)列 an的“收縮數(shù)列” .其中max &,a2,L a、min a，a2,L , ak分別表示a1,a2,L ,ak中的最大項和最小項.已知數(shù)列an的前n項和為Sn ,數(shù)列bn是數(shù)列an的“收縮數(shù)列” .(1)若an 3n 1,求數(shù)列bn的前n

10、項和；(2)證明：數(shù)列bn的“收縮數(shù)列”仍是bn ;，、什n n 1 n n 1(3)右S1 S2 L Sn a1 bn n 1,2,3,L ，求所有滿足該條件的22數(shù)列an .青浦區(qū)2019學(xué)年第二學(xué)期高三年級第二次質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2020.05說明:1 .本解答列出試題一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo) 準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分.2 .評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底， 不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱.當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后續(xù)部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難 度時，可視影響程度決定后面部分的給分，但是原則上不應(yīng)

11、超出后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果 有較嚴(yán)重的概念性錯誤，就不給分.3 .第17題至第21題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題分?jǐn)?shù).4 .給分或扣分均以1分為單位.一.填空題（本大題滿分 54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應(yīng)在答題 紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.2,；2. 2 i;3.4.2;5.7.2;3 2、2;6.8.16幾；39.310. a3 21012.n(n 1)2二.選擇題（本大題滿分 20分）本大題共有 4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題 紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得 5分，否則一律得零分.13. A

12、； 14. B ；15 D ； 16. C .三.解答題（本大題滿分 74分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定 區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.解：（1）因為在正四棱柱 ABCD AB1clD1中，A1A 平面ABCD , A是垂足，所以 ACA是AiC與平面ABCD所成的角，設(shè)AB1,又正四棱柱ABCD A1B1clD1中,B1AB 60ABi2, BB 73 AA，AC /7 V2，tanaa.36 .、6ACA ACA arctan AC 、, 222AC與平面ABCD所成的角的大小為arctan 2

13、（2）解一：如圖所示：連接 AC ,Q ACiA ACBiCA是異面直線BiC與AiCi所成角,Q ABiBCcosBiCA_ _ 2_ 2_ 2B1c2 AC2 AB；2BiC AC,2BiCA arccos 4所以異面直線 B1c與人孰所成角的大小的大小為arccos 4i8.（本題滿分i4分）第（i）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.解：（i） Q f x 2sinx sin x cosx 、3sin2x3sin x 3cosx sin xcosx 3sin2 x2sin x .3cosx cosx.3 sin2 x2sin xcosx 3 cos2 x.2sin xsin 2x 3

14、cos2x 2sin_ 冗2x 一 ，3Q2a 3k兀 2kzk7t 九，),k Z2 12又Qa 0的最小值為兀12（2）因為存在X00,12,使冷l/（毛）-2=0成立，所以fx0,即mfx02f X0sin 2x0QX0O'S2x0sin 2x01 又 sin 2x0一30,1,19.(本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分,2）小題8分.解:（1）由題意知p t1200 k 10 t1200,10,10t10N , （ k為常數(shù)）， P212002k 10 2120010, -P120010 1064k261200101200,102t ,2t 20t 1010t220

15、0t1200,10200,2t 2010故當(dāng)發(fā)車時間間隔為(2)10 61040,6分鐘時，地鐵的載客量1040人.3360360 ,可得_2_6 10t200t 2003360t3840360,10 t t360,2 t20當(dāng)2 t 10 時，Q 840 60 t36840t1060840 60384036,2360,10 t102012當(dāng)且僅當(dāng)t6等號成立;, 7200 3360當(dāng)10 t 20時，Q 360 384 360 24 ,當(dāng)t 10時等號成立，t由可知，當(dāng)發(fā)車時間間隔為t 6分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.20.（本題滿分16分）本題共3小題，第（1）

16、小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分.解：（1）由于c2a2 b2,將xc代入橢圓方程2yr1,得 yb2b2由題意知2b21 ,即 a 2b2.b2所以橢圓C的方程為(2)設(shè) P(x0, yo )( y02x40),y21.則直線l的方程為yy0k(x Xo).2 x 聯(lián)立得7y整理得（1由題意得2y°k(x x°), 2、 22、，24k )x 8(ky° k x°)x 4(y0220,即(4 x2)k2 2x0y0k 12kxoyok22x2 1) 02y。又過42y02. 221,所以 16yOk8x°y0k xO0,旦4yO又

17、知k11k2x0,.3x032xo所以yO1 1因此kk2k k11.yO1k2yO4%x02x0V。8, 為定值，這個定值為 kk28.(3)設(shè) P(xo,yo)(yo 0),又 F1(lPF1 : y0x (x03) y 3y0fo 0 , lF2(J3,0),所以直線PF1 :y°x (% :3)y 、3丫0PF2的方程分別為0.由題意知|myo ,3y0|my0'3y0|y； (%，3)2(x0.；3)22由于點P在橢圓上，所以瓦4所以因為|m 、.3|23xo.3x 2x022、,3m . 3.3 mxo 2，可得 33V3，2 xo22 3 xo所以3 m-xo4

18、因此3 m221.（本題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題4分,第（2）小題6分，第（3）小題8分.解:(1)由 an 3n1可得an為遞增數(shù)列，所以bnmax a1, a2, L , anmin a1, a2 ,L ,anan a13n 1 23n 3,n(0 3n 3) 3n n 1bn 的前n項和為(2)因為 max a1,a2,L ,an max a1,a2,L ,an 1 n1,2,3, Lmin所以max a1 ,a2,L ,an 1 min a1,a2,L , an 1 maxa1，a2,L ,anmin a1,a2, L , an所以bn 1bn n 1,2,3, La1，a2,L ,anmin a，a2,L , an 1 n 1,2,3, Lbi,b2,L ,bn所以bn的收縮數(shù)列”仍是bn(3)S2Sn1-bn n1,2,3,L 可得又因為 bi a1 a 0 ,所以 max bibL ,bnmin1時,2時,2a1a2a2 a1,所以a2a1 ；當(dāng) n 3 時，3a1 2a2 a36a13b3,即3b32 a2a1a3a1（*）,若aia3a2,則4a24 ,所以由（*）可得a3a2,與a3a2矛盾；若 a3a1a2,則 b3a2a3,所以由（*）可得 a3a23&