圓與相似三角形綜合問(wèn)題

1、學(xué)生： 科目： 數(shù) 學(xué) 教師： 譚 前 富 課 題 相似三角形和圓的綜合提高教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架相似三角形的性質(zhì)是幾何證明的重要工具，是證明線段和差問(wèn)題、相等問(wèn)題、比例問(wèn)題、角相等問(wèn)題的重要方法,尤其在圓中,相似三角形有著極其重要的作用.1、相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線，角平分線，高線，周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法 （1）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似 （3）兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似. 3、相似三角形中幾個(gè)的基本圖形 4、由相似三角形得到的幾個(gè)常用定理定理1 平

2、行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角形形似. 如圖，若,則,或.定理2 平行切割定理 如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于,若,則 定理3 （平行線分線段成比例定理）兩條直線被一組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 如圖，若，則 ,定理4（角平分線性質(zhì)定理） 如圖，分別是的內(nèi)角平分線與外角平分線，則.定理5 射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)三角形與原三角形相似.定理6 相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， 定理7 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑， 定理8 切割線

3、定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 定理9 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 【例題精講】二例題講解1 利用相似證明角相等例1 如圖，中，,是邊的中點(diǎn)，垂足為,交于點(diǎn). (1) 求證：(2) 若,求的面積.練習(xí) 在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：.2 利用相似證明線段相等例2 已知點(diǎn)分別在矩形的邊上，分別交于點(diǎn)，求證：.練習(xí) 1、如圖，梯形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線分別交于點(diǎn)，求證.2、如圖，中，于，分別是的中點(diǎn)，于，求證:.3 證明比例（

4、等積）線段例3 如圖，為的兩條角平分線，過(guò)點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，若，求證： 例4 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平行于，且與及的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)和，求證：練習(xí)1、如圖，在中，是的平分線，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證:2、是的高線，過(guò)作的垂線，垂足為，與及的延長(zhǎng)線分別相交于，求證：3、是的角平分線，求證：4 求線段比例5 是正方形，是的中點(diǎn)，聯(lián)接交于，求.練習(xí) 1、梯形中，,對(duì)角線于點(diǎn)，若，求的值. 2、如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)的直線順次與及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),若求的長(zhǎng).5 證明線段（線段比）和差例6 如圖，已知分別是和的中點(diǎn)，過(guò)的直線依次交于點(diǎn).求證:.練習(xí) 如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，分別

5、與對(duì)邊交于點(diǎn)，求證：. 6 證明垂直 例7 如圖，分別是正方形的邊上的點(diǎn)，且，過(guò)作的垂線，垂足分別為，求證：. 練習(xí)題1、如圖，中，是邊上的高，是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，求證：2、與均為等邊三角形，和的中點(diǎn)均為，求證：7 證明平行例8 如圖，在矩形中，是邊上的點(diǎn)，滿足，又是上的點(diǎn)，滿足與相交于點(diǎn)，與相交于求證：練習(xí)題 如圖，兩個(gè)等邊頂點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作的平行線，分別交于. （1）求證：平分. (2) 求證：.8 利用相似三角形的面積比 例9 在的內(nèi)部取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作3條分別與的三邊平行的直線，這樣所得的3個(gè)三角形的面積分別為4,9,49，求的面積.練習(xí) 1、是斜邊上的高，求證： 2、梯形中

6、,點(diǎn)在上，且,若直線平分梯形的面積，（1）求的長(zhǎng)，（2）求的值練習(xí)題 1、已知平行四邊形中，為的三等分點(diǎn)，分別交于兩點(diǎn)，求的值.2、如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：3、 如圖，是的中線，是上一點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，求證:4、中，是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：5、在四邊形中，分別是的中點(diǎn)，為對(duì)角線延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).求證：是線段的中點(diǎn). 6、銳角三角形中，,分別是上的高，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線交于，過(guò)作的垂線交于，證明：三點(diǎn)共線.7、如圖，在等邊中，邊上取點(diǎn)，使，作，垂足為，聯(lián)接，求證：.圓中的相似三角形1、 AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，BAC60

7、6;，P是OB上一點(diǎn)，過(guò)P作AB的垂線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，連結(jié)OC，過(guò)點(diǎn)C作CDOC交PQ于點(diǎn)D(1)求證：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值2、 ABC內(nèi)接于圓O，BAC的平分線交O于D點(diǎn)，交O的切線BE于F，連結(jié)BD，CD 求證：(1)BD平分CBE；(2)AB·BFAF·DC3、 O以等腰三角形ABC一腰AB為直徑，它交另一腰AC于E，交BC于D求證：BC2DE4、 O內(nèi)兩弦AB，CD的延長(zhǎng)線相交于圓外一點(diǎn)E，由E引AD的平行線與直線BC交于F，作切線FG，G為切點(diǎn)，求證：EFFG5. 如圖，O是ABC的外接圓，BAC的平分線與BC邊和外接

8、圓分別相交于D和E.求證：AD·EC = AC·BD證明：6. 如圖，CD切O于P，PEAB于E，ACCD，BDCD.求證： PE：AC = PB：PA； PE 2 = AC·BD7. 已知： ，過(guò)點(diǎn)D作直線交AC于E，交BC于F，交AB的延長(zhǎng)線于G，經(jīng)過(guò)B、G、F三點(diǎn)作O，過(guò)E作O的切線ET，T為切點(diǎn).求證：ET = ED8如圖，AB是O直徑，EDAB于D，交O于G，EA交O于C，CB交ED于F，求證：DG2DEDF9如圖，弦EF直徑MN于H，弦MC延長(zhǎng)線交EF的反向延長(zhǎng)線于A，求證：MAMCMBMDABCPEDHFO10、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點(diǎn)

9、D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦ED分別交O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（1）若PC=PF，求證：ABED；（2）點(diǎn)D在劣弧AC的什么位置時(shí)，才能使AD2=DE·DF，為什么？11.如圖(1)，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑，則有結(jié)論：AB· AC=AE· AD成立，請(qǐng)證明.如果把圖(1)中的ABC變?yōu)殁g角，其它條件不變，如圖(2)，則上述結(jié)論是否仍然成立？ 圖(1) 圖(2)12.如圖，AD是ABC的角平分線，延長(zhǎng)AD交ABC的外接圓O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)的O1與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF.(1)求證：AEFFED；(2)若AD=8，DE=4，求EF的長(zhǎng).13.如圖，PC與O交于B，點(diǎn)A在O上，且PCA=BAP.(1)求證：PA是O的切線.(2)ABP和CAP相似嗎？為什么？(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的長(zhǎng).14（本小題滿分7分）已知：如圖， AD是O的弦，OBAD于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3（1）求證：AB是O的切線；（2）點(diǎn)F是ACD上的一點(diǎn)，當(dāng)AOF=2B時(shí)，求AF的長(zhǎng)15如圖，ABC內(nèi)接于O，且BC是O的直徑，ADBC于D，F(xiàn)是弧BC中點(diǎn)，且AF交BC于E，AB6，AC8，求CD，DE，及EF的長(zhǎng)。16 已知：如圖，在中