圓與相似三角形綜合問題

1、學生： 科目： 數(shù) 學 教師： 譚 前 富 課 題 相似三角形和圓的綜合提高教學內容知識框架相似三角形的性質是幾何證明的重要工具，是證明線段和差問題、相等問題、比例問題、角相等問題的重要方法,尤其在圓中,相似三角形有著極其重要的作用.1、相似三角形的性質 相似三角形的對應邊成比例，對應角相等，對應邊上的中線，角平分線，高線，周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法 （1）三邊對應成比例的兩個三角形相似 （2）兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似 （3）兩組角對應相等的兩個三角形相似. 3、相似三角形中幾個的基本圖形 4、由相似三角形得到的幾個常用定理定理1 平

2、行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角形形似. 如圖，若,則,或.定理2 平行切割定理 如圖，分別是的邊上的點，過點的直線交于,若,則 定理3 （平行線分線段成比例定理）兩條直線被一組平行線截得的對應線段成比例. 如圖，若，則 ,定理4（角平分線性質定理） 如圖，分別是的內角平分線與外角平分線，則.定理5 射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個直角三角形，這兩個三角形與原三角形相似.定理6 相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， 定理7 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在中，直徑， 定理8 切割線

3、定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 定理9 割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 【例題精講】二例題講解1 利用相似證明角相等例1 如圖，中，,是邊的中點，垂足為,交于點. (1) 求證：(2) 若,求的面積.練習 在中，于點，于點，于點，求證：.2 利用相似證明線段相等例2 已知點分別在矩形的邊上，分別交于點，求證：.練習 1、如圖，梯形中，對角線交于點，過點作的平行線分別交于點，求證.2、如圖，中，于，分別是的中點，于，求證:.3 證明比例（

4、等積）線段例3 如圖，為的兩條角平分線，過點作直線分別交于點，若，求證： 例4 如圖，在四邊形中，與相交于點，直線平行于，且與及的延長線分別交于點和，求證：練習1、如圖，在中，是的平分線，的垂直平分線交于點，交的延長線于點.求證:2、是的高線，過作的垂線，垂足為，與及的延長線分別相交于，求證：3、是的角平分線，求證：4 求線段比例5 是正方形，是的中點，聯(lián)接交于，求.練習 1、梯形中，,對角線于點，若，求的值. 2、如圖，在平行四邊形中，過點的直線順次與及的延長線相交于點,若求的長.5 證明線段（線段比）和差例6 如圖，已知分別是和的中點，過的直線依次交于點.求證:.練習 如圖，是內一點，分別

5、與對邊交于點，求證：. 6 證明垂直 例7 如圖，分別是正方形的邊上的點，且，過作的垂線，垂足分別為，求證：. 練習題1、如圖，中，是邊上的高，是邊上一點，過點作的垂線，垂足分別為，求證：2、與均為等邊三角形，和的中點均為，求證：7 證明平行例8 如圖，在矩形中，是邊上的點，滿足，又是上的點，滿足與相交于點，與相交于求證：練習題 如圖，兩個等邊頂點重合，過點作的平行線，分別交于. （1）求證：平分. (2) 求證：.8 利用相似三角形的面積比 例9 在的內部取點，過點作3條分別與的三邊平行的直線，這樣所得的3個三角形的面積分別為4,9,49，求的面積.練習 1、是斜邊上的高，求證： 2、梯形中

6、,點在上，且,若直線平分梯形的面積，（1）求的長，（2）求的值練習題 1、已知平行四邊形中，為的三等分點，分別交于兩點，求的值.2、如圖，在平行四邊形中，為的中點，交于點，求證：3、 如圖，是的中線，是上一點，分別交于點，求證:4、中，是邊的中點，交于點，交于點，求證：5、在四邊形中，分別是的中點，為對角線延長線上任意一點，交于點，交于點，交于點.求證：是線段的中點. 6、銳角三角形中，,分別是上的高，與的延長線交于點，過作的垂線交于，過作的垂線交于，證明：三點共線.7、如圖，在等邊中，邊上取點，使，作，垂足為，聯(lián)接，求證：.圓中的相似三角形1、 AB是O的直徑，點C在O上，BAC60

7、6;，P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，連結OC，過點C作CDOC交PQ于點D(1)求證：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值2、 ABC內接于圓O，BAC的平分線交O于D點，交O的切線BE于F，連結BD，CD 求證：(1)BD平分CBE；(2)AB·BFAF·DC3、 O以等腰三角形ABC一腰AB為直徑，它交另一腰AC于E，交BC于D求證：BC2DE4、 O內兩弦AB，CD的延長線相交于圓外一點E，由E引AD的平行線與直線BC交于F，作切線FG，G為切點，求證：EFFG5. 如圖，O是ABC的外接圓，BAC的平分線與BC邊和外接

8、圓分別相交于D和E.求證：AD·EC = AC·BD證明：6. 如圖，CD切O于P，PEAB于E，ACCD，BDCD.求證： PE：AC = PB：PA； PE 2 = AC·BD7. 已知： ，過點D作直線交AC于E，交BC于F，交AB的延長線于G，經過B、G、F三點作O，過E作O的切線ET，T為切點.求證：ET = ED8如圖，AB是O直徑，EDAB于D，交O于G，EA交O于C，CB交ED于F，求證：DG2DEDF9如圖，弦EF直徑MN于H，弦MC延長線交EF的反向延長線于A，求證：MAMCMBMDABCPEDHFO10、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點

9、D為劣弧AC上一點，弦ED分別交O于點E，交AB于點H，交AC于點F，過點C的切線交ED的延長線于點P（1）若PC=PF，求證：ABED；（2）點D在劣弧AC的什么位置時，才能使AD2=DE·DF，為什么？11.如圖(1)，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑，則有結論：AB· AC=AE· AD成立，請證明.如果把圖(1)中的ABC變?yōu)殁g角，其它條件不變，如圖(2)，則上述結論是否仍然成立？ 圖(1) 圖(2)12.如圖，AD是ABC的角平分線，延長AD交ABC的外接圓O于點E，過點C、D、E三點的O1與AC的延長線交于點F，連結EF、DF.(1)求證：AEFFED；(2)若AD=8，DE=4，求EF的長.13.如圖，PC與O交于B，點A在O上，且PCA=BAP.(1)求證：PA是O的切線.(2)ABP和CAP相似嗎？為什么？(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的長.14（本小題滿分7分）已知：如圖， AD是O的弦，OBAD于點E，交O于點C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3（1）求證：AB是O的切線；（2）點F是ACD上的一點，當AOF=2B時，求AF的長15如圖，ABC內接于O，且BC是O的直徑，ADBC于D，F(xiàn)是弧BC中點，且AF交BC于E，AB6，AC8，求CD，DE，及EF的長。16 已知：如圖，在中