向量代數(shù)和空間解析幾何

1、第八章 向量代數(shù)和空間解析幾何第八章 內(nèi)容概要與重點(diǎn)難點(diǎn)提示本章由三個(gè)部分組成：（1）向量代數(shù) 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具體向量的線性運(yùn)算法則 數(shù)量積、向量積和混合積的運(yùn)算；（2）空間曲面（球面，旋轉(zhuǎn)面，錐面，柱面和二次曲面）的圖形與方程之間的對(duì)應(yīng)，空間曲線與方程組之間的對(duì)應(yīng)；（3）平面和直線的方程。重點(diǎn) 向量運(yùn)算（線性運(yùn)算、點(diǎn)乘、叉乘） 畫出空間曲面曲線的圖形 求平面和直線的方程本章 無特別難的難點(diǎn)考試內(nèi)容要點(diǎn)講解一、 向量1、定義 既有大小又有方向的量稱為向量（或者矢量），記為或者，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫長度,、?；蛘叻稊?shù)，記為或者；方向

2、向量箭頭的指向或用方向角來刻畫。常用的向量有零向量（模為零，方向任意）、單位向量（模為1）、向徑(其中為空間直角坐標(biāo)系的一點(diǎn))、自由向量（與起訖點(diǎn)無關(guān)）。一般無特別說明我們都學(xué)的向量都是自由向量。向量是不能比較大小的。 抽象的向量用帶箭頭的線段來表示，具體向量表示為，叫做的橫坐標(biāo)或者在軸上的投影，叫做在軸上的分量。；，與同方向的單位向量為。2、向量的運(yùn)算 對(duì)于抽象向量 （1）加減法（平行四邊形法則） 做，以為鄰邊做平行四邊形，則對(duì)角線構(gòu)成的向量。（2）數(shù)乘 規(guī)定（為數(shù)量）是向量：模；方向是當(dāng)時(shí)與同向，當(dāng)時(shí)與反向，當(dāng)時(shí)。（3）數(shù)量積（點(diǎn)積，內(nèi)積） （結(jié)果為數(shù)量），式中為向量與的夾角（）。（4）向

3、量積（叉積，外積） 的結(jié)果是向量：模，為向量與的夾角（）；方向與與都垂直，且、符合右手系。（5）混合積 三個(gè)向量、的運(yùn)算（結(jié)果為數(shù)量，在幾何上該數(shù)的絕對(duì)值等于以、為棱的平行六面體體積）。 對(duì)于具體向量 設(shè)，則（1）加減法 ； （2）數(shù)乘 ；（3）數(shù)量積 ；（4）向量積 ；（5）混合積 ，（這里設(shè)）。3、常用的結(jié)論 （1）投影定理 ； 。（2）非零向量。非零向量(或與共線)唯一的使得 。非零向量、共面不全為零的數(shù)使得。（3）非零向量、構(gòu)成三角形，則；反之不一定成立。 （4）以為鄰邊的平行四邊形面積。4、運(yùn)算性質(zhì)（1）加減與數(shù)乘 ；。（2）數(shù)量積 ； ；。（3）向量積 ； ； ；。注 對(duì)點(diǎn)積和叉積

4、都沒有消去律，如由，且不能推出。（4）混合積 ，； ； 。例題1 求同時(shí)垂直于向量與軸的單位向量。解：法1 設(shè)所求向量為，則，。所以。法2 取 ，故 。例題2 設(shè)，與共面，且，求。解：法1 令，由與共面，得，解得 （1）又 ，由（1）（2）（3）得到，所以 。法2 因?yàn)榕c共面，且，知在的角平分線上，所以也在的角平分線上，設(shè)，由，即，得到，所以 。例題3 （1）設(shè)，則。（2）設(shè)（）（），（）（），則。解：（1）因?yàn)?，所以原式。（2）由已知，。兩式相減，得 ，代入方程組第一式，有 ，把它代入，即，求出，所以。二、 空間曲面、曲線的方程定義 設(shè)有曲面和三元方程，它們滿足：，則滿足方程；，則不滿足方

5、程，那么稱曲面為三元方程所表示的曲面，或說三元方程為曲面所對(duì)應(yīng)的方程。1、常見的曲面及其對(duì)應(yīng)的方程（1）球面 方程表示球心為、半徑為的球面。它的一般式方程為（其中）。（2）平面 一般式方程為三元一次方程（不全為零）。（3）旋轉(zhuǎn)曲面 將上平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面的方程為；繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面的方程為（其它情形以此類推）。 （4）圓錐面 方程（）表示頂點(diǎn)為原點(diǎn)、中心軸為軸、半頂角的圓錐面。（5）柱面 方程表示母線平行于軸（因?yàn)槿弊兞浚?、?zhǔn)線為上平面曲線的柱面。（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）橢球面方程 。旋轉(zhuǎn)拋物面；橢圓拋物面；雙曲拋物面。（）。單葉雙曲； 面雙葉雙曲面。橢

6、圓柱面；拋物柱面（）；雙曲柱面。2、空間曲線及所對(duì)應(yīng)的方程（組）（1）一般式 方程組在空間表示的圖形為曲線（被動(dòng)的看成兩個(gè)曲面的交線），叫做曲線的一般式方程。（2）參數(shù)式 方程組，在空間表示的圖形為曲線（把曲線看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡）,叫做曲線的參數(shù)式方程。3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 （1）若，從方程組中消去，得到（它表示母線平行于軸、準(zhǔn)線為曲線的投影柱面）。聯(lián)立得C:就是曲線在面上的投影。（2），則就是曲線在面上的投影。 注 （1）一般地，在空間坐標(biāo)系一個(gè)三元方程所表示的圖形為曲面，兩個(gè)三元方程（組）所表示的圖形為曲線；（2）將方程（或方程組）與它所表示的圖形(曲面或者曲線)對(duì)應(yīng)起來并能畫出來在多

7、元函數(shù)的積分學(xué)中尤為重要。例題4 下列方程（組）各表示什么圖形？（1）； （2）；（3）； （4）。答：（1）它表示球心在、半徑為1的下半球面。（2）它表示頂點(diǎn)為、開口向后的旋轉(zhuǎn)拋物面。（3）它表示母線平行于軸、準(zhǔn)線為上半圓 的半柱面。（4）它表示兩個(gè)平面和的交線（其實(shí)也是所交的直線，可見曲線的一般式方程并不是唯一的）。三、平面、直線及其方程（一）、平面的方程1、平面方程的基本形式 （1）點(diǎn)法式 經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為。(2)一般式 在只知道曲面是平面的情況下，其方程為 （不全為零）。（3）三點(diǎn)式 經(jīng)過不共面的三點(diǎn)的平面的方程為 或者為 。(4)截距式 在三個(gè)軸上截距依次為（都不為零）的

8、平面方程為。（此時(shí)平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體體積為）。（5）參數(shù)式 經(jīng)過點(diǎn)且與兩個(gè)不共線的向量都平行的平面方程為 。、 平面之間的關(guān)系設(shè)，為兩個(gè)已知的平面，則它們的夾角（指非鈍角）滿足。討論：（1）；（2）（重合）；（3）。注:至于三個(gè)平面的位置關(guān)系比較復(fù)雜，這需要用到線性代數(shù)中的矩陣的秩的概念，也是?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，希望大家注意。 （二）、直線的方程1、直線方程的基本形式 （1）一般式（交面式） （把直線看成兩個(gè)平面的交線）。（2）對(duì)稱式（點(diǎn)向式）經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為 。（3）參數(shù)式 經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線的參數(shù)方程為。（4）兩點(diǎn)式 經(jīng)過兩點(diǎn)的直線方程為。、 直線之間的關(guān)系設(shè)兩直線

9、方程為，則它們的夾角（指非鈍角）滿足。討論：（1）。（2）。（3）且。（4）異面。3、直線與平面的關(guān)系設(shè)，則它們的夾角（指非鈍角）滿足 。討論：（1）；（2）；（3）且且 或者（）。(三)直線、平面中的常見問題1、點(diǎn)到平面、點(diǎn)到直線的距離例題5 求點(diǎn)到平面的距離。解：由點(diǎn)到平面的距離公式，得 （點(diǎn)為平面外一點(diǎn)）。例題6求點(diǎn)到直線的距離。解 法1 由點(diǎn)到直線的距離公式，得 （直線過且）。法2 先求出過點(diǎn)、以的平面方程為 ， 即 。再求出該平面和已知直線的交點(diǎn)，為此聯(lián)立 ，解得。最后得到。二、點(diǎn)關(guān)于平面、直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)例題7 求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。解：同上題一樣，求出過點(diǎn)做出的與已知直線垂直的

10、平面，再求出該平面和直線的交點(diǎn)，最后設(shè)所求的點(diǎn)為，用中點(diǎn)公式， 得 ， ， ，解出，故所求的點(diǎn)為。三、平面束設(shè)有直線，則過得平面束方程為（其中）其特點(diǎn)：隨不同，它表示不同位置的平面。但無論為何值，這些平面都經(jīng)過（但不包含平面）。例題8 設(shè)平面過兩個(gè)平面和的交線，且與平面垂直，求平面的方程。解 法1 （點(diǎn)法式）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)榻挥谝粭l直線，所以它們的法向量共面，令，又因?yàn)椋?，即，取，得。再在交線上任取一點(diǎn)（也在平面上），由點(diǎn)法式得 或 。法2（混合積）平面的交線的方向向量。是平面上不共線的向量，取，則平面的任意點(diǎn)滿足的方程為，即，解得 。法3 （平面束）過得平面束為，或者 。令，解出代

11、入上式整理得到平面的方程為。四、公垂線的方程和公垂線段的長例題9 問直線與相交嗎？若相交，求出交點(diǎn)；若異面，求出公垂線段的長和公垂線的方程。解：兩條直線的方向向量為（顯然不平行），分別在兩條直線上的點(diǎn)構(gòu)成的向量為，因?yàn)?，故兩條直線異面。下面來求公垂線段的長法1 過作平面，則平面的法向量可取為又由于過，所以平面的方程為即。點(diǎn)到平面的距離即為所求的公垂線段的長，故。法2 即為在公垂線的方向向量上投影的絕對(duì)值。 。再求公垂線的方程 過，以=即為法向量作平面，或；過，以即為法向量作平面，或 。所以公垂線的方程為。五 空間曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為求繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程，只需要從方程組中解出，所得曲面方程為：。例題10 (13，數(shù)一，6分)設(shè)過，將繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面，求的方程并問曲面的名稱。解：由兩點(diǎn)式得的方程為，化為，則它繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的方程為 或。曲面可看成將面上的雙曲線繞繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)雙曲面。習(xí)題一1、設(shè)都是單位向量，夾角為，求向量的夾角。2、證明到三點(diǎn)所確定