圓錐曲線的結(jié)論

1、收集整理：宋氏資料2016-1-1有關(guān)解析幾何的經(jīng)典神級(jí)結(jié)論一、橢 圓1. 點(diǎn)處的切線平分在點(diǎn)處的外角. （橢圓的光學(xué)性質(zhì)）2. 平分在點(diǎn)處的外角，則焦點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn). （中位線）3. 以焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離. （第二定義）4. 以焦點(diǎn)半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切. （第二定義）5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.（求導(dǎo)或用聯(lián)立方程組法）6. 若在橢圓外 ，則過作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦的直線方程是7. 橢圓 ()的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.（余弦定理+面積公式+半角公式）8.

2、 橢圓（）的焦半徑公式：，( , ，).（第二定義）9. 設(shè)過橢圓焦點(diǎn)作直線與橢圓相交兩點(diǎn)，為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)和分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)的橢圓準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，則.證明：，易得：10. 過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則.（其實(shí)就在準(zhǔn)線上，下面證明他在準(zhǔn)線上）證明：首先證明準(zhǔn)線，和公共點(diǎn)，設(shè)，不妨設(shè)，由，得交點(diǎn)，由，得，令，則，再根據(jù)上一條性質(zhì)可得結(jié)論。11. 是橢圓的不平行于對稱軸的弦， 為的中點(diǎn)，則，即。（點(diǎn)差法）12. 若在橢圓內(nèi)，則被所平分的中點(diǎn)弦的方程是.（點(diǎn)差法）13. 若在橢圓內(nèi)，則過的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.（點(diǎn)差法）二、雙曲線1. 點(diǎn)處的切

3、線平分在點(diǎn)處的內(nèi)角. （同上）2. 平分在點(diǎn)處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn). （同上）3. 以焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交. （同上）4. 以焦點(diǎn)半徑為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：在右支；外切：在左支） （同上）5. 若在雙曲線（）上，則過的雙曲線的切線方程是：.（同上）6. 若在雙曲線（）外 ，則過作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦的直線方程是.（同上）7. 雙曲線（）的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)：，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.（同上）8. 雙曲線（）的焦半徑公式： , 當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,（同上）9.

4、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)作直線與雙曲線相交、兩點(diǎn)，為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)和分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)的雙曲線準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，則.（同上）10. 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)、，且為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則.（同上）11. 是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。（同上）12. 若在雙曲線（）內(nèi)，則被所平分的中點(diǎn)弦的方程是：.（同上）13. 若在雙曲線（）內(nèi)，則過的弦中點(diǎn)的軌跡方程是：.（同上）橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓1. 橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與軸平行的直線交橢圓于時(shí)，與交點(diǎn)的軌跡方程是.證明：，交點(diǎn)，由，得，又，則2. 過橢圓上

5、任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則直線有定向且（常數(shù)）.證明：3. 若為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，、是焦點(diǎn), , ，則.證法1（代數(shù)）證法二（幾何）4. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、, （異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在中，記, ,，則有.（上條已證）5. 若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左準(zhǔn)線為，則當(dāng)時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)，使得是到對應(yīng)準(zhǔn)線距離與的比例中項(xiàng).6. 為橢圓上任一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8. 已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值

6、是.證明9. 過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交該橢圓右支于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于，則.證明10. 已知橢圓，是橢圓上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn), 則.11. 設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn), 、是焦點(diǎn)，記，則(1) . (2) .12. 設(shè)是橢圓的長軸兩端點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，分別是橢圓的半焦距離心率，則有：(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線經(jīng)過線段的中點(diǎn).證明14. 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)

7、作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.證16. 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) (離心率).（注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）（角分線定理+合比公式）17. 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比.（角分線定理）18. 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng). （角分線定理）雙曲線1. 雙曲線（）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與軸平行的直線交雙曲線于時(shí)，與交點(diǎn)的軌跡方程是.2. 過雙曲線（）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，則直線有定向且（常數(shù)）.3.

8、若為雙曲線（）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn), 、是焦點(diǎn), , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、, （異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在中，記, ,，則有：.5. 若雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，左準(zhǔn)線為，則當(dāng)時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)，使得是到對應(yīng)準(zhǔn)線距離與的比例中項(xiàng).6. 為雙曲線（）上任一點(diǎn), 、是焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7. 雙曲線（）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是：.8. 已知雙曲線（ba 0），為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（）的右焦點(diǎn)作直線交該雙曲線的右支于兩點(diǎn)，

9、弦的垂直平分線交軸于，則.10. 已知雙曲線（）,是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn), 則或.11. 設(shè)點(diǎn)是雙曲線（）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn), 、是焦點(diǎn)，記，則：(1).(2) .12. 設(shè)是雙曲線（）的長軸兩端點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，分別是雙曲線的半焦距離心率，則有：(1).(2) .(3) .13. 已知雙曲線（）的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線經(jīng)過線段的中點(diǎn).14. 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)

10、線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).（同上）(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).（同上）16. 雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) (離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的

11、比例中項(xiàng).19. 已知橢圓上一點(diǎn)，以直線與橢圓交于兩點(diǎn)，恒有，則直線橫過證明19. 已知橢圓，不再橢圓上的一點(diǎn)，過做傾斜角互補(bǔ)的兩直線，與橢圓交于四點(diǎn)，則四點(diǎn)共圓證明其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成 (不同時(shí)為0)的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為 (它不適用于斜率為0的直線)，與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線，間的距離為。5、若直線與直線平行，則（斜率）且（在軸上截距） （充要條件）6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是，且，且。7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：，；，（）；8、為直徑端點(diǎn)的圓方程；切線長：過圓（）外一點(diǎn)引圓的切線的長為：（）9、弦長問題：圓的弦長的計(jì)算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；過兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)總結(jié)30條1. 以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7.;8. 三點(diǎn)共線；9. 三點(diǎn)共線；10. ；11.（定值）；12. ；13. 垂直平分；14. 垂直平分；15. ；16. ；