固體物理的思考題

1、1. 解理面是面指數(shù)低的晶面還是面指數(shù)高的晶面，為什么？答：解理面是指面與面之間的相互作用力比較弱，容易解離的面，若面間距比較大，則容易形成解理，晶面指數(shù)越大，面間距越小，晶面指數(shù)越小，面間距越大，所以是面指數(shù)低的晶面容易解離。2. 高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對(duì)于同級(jí)衍射，那一晶面族衍射光弱？為什么？答：由布拉格衍射公式2dsin=n，其中𝜽為入射x射線的掠射角，高指數(shù)的晶面族晶面間距d比較小，對(duì)于同級(jí)衍射，d越大，則越小，光的透射能力就越弱，此時(shí)形成的衍射光就比較弱。也可以從另一方面考慮，晶面指數(shù)越大，晶面間距越小，原子密度也越小，此時(shí)對(duì)入射光的反射作用就比較弱，所

2、以高指數(shù)晶面組的衍射光弱。3. 對(duì)于x射線衍射，可否將入射光改為可見光？答：不可以，主要由于原子的間距在Å的數(shù)量級(jí)，根據(jù)布拉格衍射公式，可知入射光波的波長(zhǎng)也應(yīng)在Å的數(shù)量級(jí)，然而可見光的波長(zhǎng)一般為幾百nm所以不可以改為可見光入射，常用的入射光一般為Cu的K線1.54Å。4. 在一般的單式格子中是否存在強(qiáng)烈的紅外吸收，為什么？答：在離子晶體中的長(zhǎng)光學(xué)支格波有特別重要的作用，因?yàn)椴煌x子間的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生電偶極矩，從而可以和電磁波相互作用，長(zhǎng)光學(xué)波與紅外光波的共振，引起對(duì)入射波的強(qiáng)烈吸收，但是對(duì)于單式格子（簡(jiǎn)單晶格）而言，由于是只包含單個(gè)原子，并不存在光學(xué)支格波，所以不會(huì)

3、引起對(duì)紅外光波的強(qiáng)烈吸收。5. 色散曲線中，能否判斷哪知格波的模式密度比較大，是光學(xué)支格波還是聲學(xué)支格波？答：在色散曲線中，光學(xué)支格波的色散曲線比較平緩，而聲學(xué)支的色散曲線比較陡峭，模式密度表示在頻率附近單位頻率間隔內(nèi)的格波數(shù)，由于光學(xué)支格波色散曲線變化平緩，對(duì)應(yīng)小的 區(qū)間就具有了較大的波矢q的變化，所以光學(xué)支格波的模式密度比較大。6. 拉曼散射中光子會(huì)不會(huì)產(chǎn)生倒逆散射？答：拉曼散射是長(zhǎng)光學(xué)波聲子與光子（紅外光）的相互作用，長(zhǎng)光學(xué)波聲子的波矢很小，響應(yīng)的動(dòng)量小，產(chǎn)生倒逆散射的條件要求波長(zhǎng)小，波矢大，散射角大，拉曼散射不滿足條件所以不會(huì)產(chǎn)生倒逆散射。7. 長(zhǎng)聲學(xué)支格波能否產(chǎn)生離子晶體的宏觀極化？

4、答：光學(xué)支格波描述了原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在離子晶體中，它使正負(fù)離子之間產(chǎn)生了相對(duì)位移，所以使晶體呈現(xiàn)宏觀極化，但是長(zhǎng)聲學(xué)支格波描述了原子的同向運(yùn)動(dòng)，原子之間的位移相同，沒有相對(duì)位移，所以長(zhǎng)聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化。8. 在絕對(duì)零度時(shí)還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎？答：格波能量En=12+n，當(dāng)T0K時(shí)，n0，此時(shí)格波能量為零點(diǎn)能12，此時(shí)格波的能量只剩下零點(diǎn)能，格波之間的能量交換是以為單位進(jìn)行交換的，即是聲子的產(chǎn)生的湮滅，但是此時(shí)聲子數(shù)為零，所以格波間沒有了能量交換。9. 晶體中的聲子數(shù)目是否守恒？答：平均聲子數(shù)目n=1expKBT-1，利用德拜模型，總的聲子數(shù)目N=0Dn

5、gd，此時(shí)容易推得聲子數(shù)n與T3成正比。第三章 晶格振動(dòng)這一章主要介紹了晶體內(nèi)原子的運(yùn)動(dòng)形式以及能量的傳輸特性，并且引入了格波和聲子的概念。一不考慮格波之間的相互作用1.以一位雙原子鏈為例介紹晶體內(nèi)原子的運(yùn)動(dòng)形式（在牛頓經(jīng)典力學(xué)的框架內(nèi)考慮F=ma）：采用的模型：一維雙原子鏈的振動(dòng)模型；近似條件：近鄰近似（只考慮近鄰原子之間的相互作用）以及簡(jiǎn)諧近似（只考慮是勢(shì)能函數(shù)的二級(jí)偏倒）在求解過程中假設(shè)波長(zhǎng)a，此時(shí)將一個(gè)非連續(xù)的方程轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)方程，并且經(jīng)過推導(dǎo)得到了波動(dòng)方程d2u(x,t)dt2=02d2u(x,t)dx2 利用波動(dòng)方程求得方程的解，即：ux,t=Aei(qx-wt)，但是此時(shí)是根據(jù)a得

6、到的解，假若與a比較接近時(shí)，則晶體不可以看成是連續(xù)的得到了試探解ux,t=Aei(qna-wt)，但是在周期性晶體結(jié)構(gòu)中波長(zhǎng)為不連續(xù)的分立的，從而引入了玻恩卡曼邊界條件，進(jìn)而得到q=2mNa,m=0,±1,±210. 格波的性質(zhì)a. 波速，群速度以及相速度之間的關(guān)系；b. 色散關(guān)系 q之間的關(guān)系 聲學(xué)支格波和光學(xué)支格波 聲學(xué)支格波與光學(xué)支格波最顯著的區(qū)別在對(duì)于光學(xué)支格波而言q=0,0 而聲學(xué)支格波q=0,=0。最重要的區(qū)別在于描述了晶體內(nèi)格波的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。c. 格波數(shù) 此時(shí)以三維晶體為例來說明，假設(shè)初級(jí)元胞中包含了s個(gè)原子，此時(shí)一個(gè)q對(duì)應(yīng)3s個(gè)頻率，對(duì)應(yīng)3s支格波，其中包

7、含3支聲學(xué)支格波，3(s-1)支光學(xué)支格波，由于在第一布里淵區(qū)中包含有N（初級(jí)元胞樹目）個(gè)波矢q，則總的格波數(shù)為3NS。d. 格波態(tài)密度的概念 在附近，單位頻率間隔內(nèi)的格波數(shù)目 g=i=13sV23dswqi(q) 求解格波態(tài)密度是很困難的，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是色散關(guān)系不確定，二是曲面不一定是規(guī)范的圖形，有可能是不規(guī)則的。11. 對(duì)晶格振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似的量子修正a. 晶體中簡(jiǎn)諧振動(dòng)的3NS個(gè)格波的總能量，通過引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)消去交叉項(xiàng)后很容易的證明了晶格振動(dòng)能量可以看成3NS個(gè)諧振子的能量，從而進(jìn)行量子力學(xué)修正，諧振子的能量利用量子力學(xué)的結(jié)果表示：En=(12+n) 相鄰狀態(tài)的能量差為，它為諧振

8、子哦能量量子，稱為聲子。聲子同樣遵循能量守恒與準(zhǔn)動(dòng)量守恒。 此時(shí)三維晶體的3NS個(gè)格波與3NS個(gè)量子諧振子一一對(duì)應(yīng)，所以上式描述了頻率為的格波的能量?？傮w而言，對(duì)于晶格振動(dòng)的考慮是基于牛頓力學(xué)+量子力學(xué)修正的綜合，簡(jiǎn)稱為半經(jīng)典理論，其中量子力學(xué)的修正就體現(xiàn)在諧振子的能量采用的是量子諧振子能量。12. 考慮晶體的熱容定容熱容：?jiǎn)挝毁|(zhì)量的物體在定容過程中，能量升高1，系統(tǒng)內(nèi)能的增量。Cv=limT0(UT)=(UT)vCV=0mKB(KBT)2eKBT(KBT-1)2 gd g=i=13sV23dswqi(q)此時(shí)的主要困難就是g求解十分復(fù)雜。所以引入了兩個(gè)模型愛因斯坦模型以及德拜模型a. 愛因斯

9、坦模型的基本思想晶體內(nèi)所有原子都以相同的頻率獨(dú)立振動(dòng)，則晶體內(nèi)所有格波的頻率均相同。同時(shí)引入了愛因斯坦溫度E。b. 德拜模型的基本思想把晶體視為各向同性的連續(xù)彈性媒質(zhì)，此時(shí)的色散關(guān)系為線性的，=pq，根據(jù)態(tài)密度函數(shù)g=i=13sV23dswqi(q) 得g=3V22p32，代入熱容公式求得CV。c. 兩種模型之間的對(duì)比1 高溫情況下兩者均與杜隆-柏替定律相一致，熱容為一個(gè)常數(shù)；2 低溫情況下對(duì)平均聲子數(shù)進(jìn)行討論的過程中，定性的認(rèn)為，當(dāng)iKBT的那些格波在溫度T時(shí)才會(huì)被激發(fā)，并且只有這些格波才會(huì)對(duì)熱容有貢獻(xiàn)，而iKBT的格波將會(huì)被凍結(jié)，對(duì)熱容無貢獻(xiàn)。在愛因斯坦模型中假設(shè)所有的格波均以相同的頻率獨(dú)

10、立的振動(dòng)，也就是說在任何溫度下所有的格波均會(huì)被激發(fā)，所以這也是愛因斯坦模型在低溫下定量上與試驗(yàn)不相符的原因。 固體中的原子之間存在很強(qiáng)的相互作用，一個(gè)原子不可能孤立的振動(dòng)而不帶動(dòng)近鄰原子。因此愛因斯坦模型中把固體中各原子的振動(dòng)視作相互波的頻率分布，把晶體當(dāng)作彈性媒質(zhì)來處理，在低溫情況下，溫度越低，被激發(fā)的格頻率也越低，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)越長(zhǎng)，把晶體視作連續(xù)媒質(zhì)的近似程度越好。所以溫度越低，德拜模型近似程度越好。二非簡(jiǎn)諧近似利用簡(jiǎn)諧近似以及量子理論修正成功的描述的晶體內(nèi)原子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（格波）以及相應(yīng)的色散關(guān)系，引入了聲子，并且成功解釋了宏觀熱容（愛因斯坦模型以及德拜模型），但是這一近似卻不能解釋熱膨脹與

11、熱傳導(dǎo)等宏觀現(xiàn)象。但是會(huì)發(fā)現(xiàn)，假若晶體內(nèi)部的格波之間為相互獨(dú)立的不發(fā)生任何的相互作用或者能量交換，這與宏觀材料的熱膨脹現(xiàn)象以及熱傳導(dǎo)現(xiàn)象相矛盾，所以將理論進(jìn)行進(jìn)一步的修正，引入了勢(shì)能的高次項(xiàng)。a. 晶體體膨脹系數(shù)等壓條件下，當(dāng)溫度升高一度時(shí)提及的相對(duì)增量，即v=1V0(dVdT)p。通過求解得到v=KVCVb. 熱傳導(dǎo)熱能流密度：?jiǎn)挝粫r(shí)間垂直通過單位面積的熱能 x=-Tx ， 為熱導(dǎo)率，衡量晶體導(dǎo)熱性能的物理量，負(fù)號(hào)表示熱能是逆著溫度梯度的方向傳播。經(jīng)過一系列的推倒之后，=13CVl 固體能帶理論1 基本思想固體能帶理論主要討論晶體中電子的狀態(tài)與能譜，基本思想就是首先采用絕熱近似以及單電子近似

12、，將多體問題首先簡(jiǎn)化為多電子問題，進(jìn)而再簡(jiǎn)化為單電子問題。具體方法就是就接薛定諤方程，求解本征能量E(K)K之間的關(guān)系，其中求解薛定諤方程首先需要確定的是：周期勢(shì)場(chǎng)是什么形式以及采用何種本征波函數(shù)。2 Bloch定理Bloch發(fā)現(xiàn)在周期勢(shì)場(chǎng)（不管周期勢(shì)場(chǎng)是何種形式）中運(yùn)動(dòng)的電電子波函數(shù)，不再是簡(jiǎn)單的平面波而是按照周期勢(shì)場(chǎng)進(jìn)行調(diào)幅的平面波。具體形式K,r=UK,reiKr，其中UK,r具有正晶格的周期性UK,r=UK,r+Rn，晶體中的電子波稱為布洛赫波，晶體中的電子稱為布洛赫電子。晶體中的電子滿足布洛赫定理具有以下的性質(zhì)：a. 電子出現(xiàn)的機(jī)率具有正晶格周期性 K,r2=K,r+Rn2b. 布洛

13、赫定理可以表示為K,r+Rn=eiKRnK,rc. 波函數(shù)本身并沒有正晶格周期性K,rK,r+Rn 所以說波函數(shù)本身并沒有實(shí)際的物理意義。d. K態(tài)與K+Gh態(tài)相同，利用公式表示即是K,r=K+Gh,r，EK=E(K+Gh)e. EK=E-K，在倒空間選用合適的坐標(biāo)系，能量具有K=0的中心反演對(duì)稱性。f. 電子的能量E(K)具有正晶格相同的對(duì)稱性。3 需要根據(jù)實(shí)際的物理特性選用合適的周期勢(shì)場(chǎng)函數(shù)以及波函數(shù)主要介紹的幾種模型：近自由電子模型、緊束縛模型（原子軌道的線性組合模型）以及克隆尼克-潘納模型a. 近自由電子模型的發(fā)展特魯?shù)履Ｐ停ㄗ杂呻娮託饽Ｐ停簝r(jià)電子構(gòu)成自由電子氣，無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)與原子

14、實(shí)碰撞，滿足經(jīng)典的波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布，并且采用的是牛頓方程；兩次碰撞之間，電子不受力的作用，電子能量只有動(dòng)能，同時(shí)假設(shè)受到邊界條件的限制，由周期邊界條件K不連續(xù)。成功解釋了金屬的導(dǎo)電、導(dǎo)熱線性，但是忽略了原子實(shí)周期勢(shì)場(chǎng)和電子間的相互作用，不能正確解釋金屬的比熱。索末菲模型（自由電子費(fèi)米氣模型），在特魯多模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行量子修正，假設(shè)周期勢(shì)場(chǎng)很弱并且是一個(gè)常數(shù)（假設(shè)為0），滿足周期性邊界條件，滿足費(fèi)米-狄拉克分布，而不是經(jīng)典的玻氏分布，滿足泡利不相容原理，采用了薛定諤方程進(jìn)行求解。近自由電子模型：是在索末菲模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，此時(shí)將周期勢(shì)場(chǎng)看作微擾，并且具有倒格子周期性，零級(jí)能量和波函數(shù)與自由電

15、子的能量和波函數(shù)完全相同，最后求解得到的波函數(shù)是自由電子平面波與相差倒格矢的散射波的疊加，此時(shí)的電子波函數(shù)是布洛赫電子波函數(shù)，具有布洛赫電子波函數(shù)的一切性質(zhì)。禁帶出現(xiàn)的解釋：理論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)波矢位于布里淵區(qū)邊界時(shí)，由于周期勢(shì)場(chǎng)的作用，K'和K態(tài)的能量發(fā)生變化，具有2Vn的能量跳躍，出現(xiàn)了寬度為2Vn禁帶。因此說禁帶是周期勢(shì)場(chǎng)作用的結(jié)果，兩個(gè)允許帶被禁帶隔開，禁帶對(duì)應(yīng)的能量狀態(tài)是晶體中電子不能占據(jù)的；物理解釋：求解布里淵區(qū)邊界上的電子波函數(shù)，電子波函數(shù)模值的平方代表了電子出現(xiàn)的機(jī)率，+0xa=2L-12Acos(xa)-0xa=2L-12Asin(xa)+=|+（0） |2=4L-

16、1A2cos2(xa)-=|-（0） |2=4L-1A2sin2(xa)上面兩式給出了電子云的駐波分布，-(a,x)對(duì)應(yīng)的電子分布為大部分負(fù)電荷遠(yuǎn)離帶正電荷的原子實(shí)，+(a,x)對(duì)應(yīng)的電子分布為大部分負(fù)電荷靠近帶正電的原子實(shí)，所以-(a,x)的勢(shì)能比+(a,x)的勢(shì)能高，這是布里淵區(qū)邊界上能量產(chǎn)生不連續(xù)跳躍的原因。在一維情況下布里淵區(qū)邊界處能量的跳躍一定伴隨著禁帶的產(chǎn)生，但是對(duì)于二維三維晶體而言則不一定，雖然在布里淵區(qū)邊界產(chǎn)生能量的跳躍，但是由于能量交疊，所以不一定產(chǎn)生禁帶。b. 緊束縛模型（原子軌道的線性組合模型）適用于絕緣體電子被緊緊的束縛在原子核周圍，當(dāng)其形成晶體時(shí)，各原子核對(duì)電子的束縛

17、能力仍然很強(qiáng)，此時(shí)晶體中的電子狀態(tài)和孤立原子中的電子狀態(tài)很相似，計(jì)算晶體能帶時(shí)，仍然利用微擾理論求解薛定諤方程，波函數(shù)的零級(jí)近似采用孤立原子的波函數(shù)，勢(shì)能函數(shù)為Vr-V(r-Rn)作為微擾，式中Vr為晶體中的所有原子在r處的勢(shì)能函數(shù)，V(r-Rn)為Rn處的孤立原子在r處產(chǎn)生的勢(shì)能函數(shù)。 將孤立原子的電子波函數(shù)和能量看作零級(jí)近似，對(duì)于由N個(gè)初基原胞組成的晶體（假設(shè)為簡(jiǎn)單晶體），對(duì)于每個(gè)原子都具有-22m2+Vatr-RnatK,r-Rn=EatatK,r-Rn的形式，且每個(gè)原子中電子的能量均相同，也就是N重簡(jiǎn)并的，利用簡(jiǎn)并微擾理論的處理方法，微擾后的狀態(tài)時(shí)N個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)的線性組合，即用孤立原子軌道

18、的線性組合來構(gòu)成晶體中電子運(yùn)動(dòng)的軌道，這種方法稱為原子軌道的線性組合法。禁帶形成的原因：孤立原子中的每個(gè)能級(jí)在形成晶體后均會(huì)分裂為一個(gè)能帶，也就是說原子中的一個(gè)電子能級(jí)對(duì)應(yīng)著一個(gè)能帶稱為子能帶，如果兩個(gè)以上的子能帶相互交疊則形成一個(gè)混合能帶，如果子能帶之間沒有交疊則就有帶隙存在。因此從緊束縛近似的模型來看，能隙不過是孤立原子能級(jí)之間的不連續(xù)能量區(qū)域在能級(jí)分裂成能帶之后所余下的部分?？偠灾^的計(jì)算固體能帶的所有近似模型，并不具有普適性，都具有一定的局限性，所以要根據(jù)實(shí)際的需求選用合適的模型才會(huì)得到比較理想的結(jié)果。一般情況下利用軟件計(jì)算的禁帶寬度都比實(shí)際值低，所以通常根據(jù)實(shí)際測(cè)量值，在實(shí)踐結(jié)

19、果上附加一常數(shù)值U“+U”算法來進(jìn)行下面的計(jì)算。4 電子輸運(yùn)電子的本征態(tài)和本征值是描述了電子的運(yùn)動(dòng)問題的基礎(chǔ)，但是大多數(shù)晶體都處于外場(chǎng)下作用。由于電子在外場(chǎng)中吸收了能量可以激發(fā)聲子，也就是晶格振動(dòng)，把能量傳給晶體，所以電子與聲子之間的相互作用是重要的微觀過程。由于一般情況下外場(chǎng)要比周期勢(shì)場(chǎng)弱的多，所以此時(shí)可以以周期勢(shì)場(chǎng)中電子的本征態(tài)為基礎(chǔ)進(jìn)行討論。主要有兩種：準(zhǔn)經(jīng)典方法，一種是量子力學(xué)方法，量子力學(xué)方法考慮了粒子之間的相互作用更加精確，但是很復(fù)雜。準(zhǔn)經(jīng)典方法又分為兩個(gè)：一是把電子在布洛赫態(tài)中的平均速度作為它們的速度，把電子視為具有一定速度、有效質(zhì)量的準(zhǔn)粒子處理，故稱為電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)；另一種方法就是求解波爾茲曼方程得到在外場(chǎng)作用下載流子的分布函數(shù)，從而求解所需的輸運(yùn)參數(shù)，該方法也是比較復(fù)雜，但是精度也比較高。此時(shí)主要討論了電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)。固體物理學(xué)復(fù)習(xí) 研究對(duì)象：晶體、非晶以及準(zhǔn)晶等固相物質(zhì)，在本書中主要介紹原子排列具有周期性結(jié)構(gòu)的晶體。 研究任務(wù)：研究固體物質(zhì)的物理性質(zhì)、微觀結(jié)構(gòu)、構(gòu)成物質(zhì)的粒子的運(yùn)動(dòng)形態(tài)及其相互關(guān)系的科學(xué) 。 理論基礎(chǔ)：量子力學(xué)，熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理等 主要方法：經(jīng)典理論與量子理論相結(jié)合 主要主題：一是晶格理論，二是固體電子理論 晶格理論包括