變量代換求解常微分方程

1、題目： 變量代換求解常微分方程院 （系）： 理學(xué)院 專 業(yè)： 信息與計算科學(xué) 學(xué) 生： 郝騰宇 摘 要本問總結(jié)了變量代換在常微分方程中的應(yīng)用，借助恰當?shù)淖兞看鷵Q簡化為可解類型，求出其通解或特解，同時舉出實例加以證明。變量代換法不僅是一種重要的解題技巧,也是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法。常微分方程通解的求法具有多樣性,不同類型的微分方程有不同的解 。其中變量代換法是求解常微分方程行之有效的方法,我們?nèi)绻芡ㄟ^適當?shù)淖兞看鷵Q法將復(fù)雜的微分方程化為可解類型,這樣能使求解問題大為簡化,進而求出通解。本文就變量代換法在常微分方程課程中的應(yīng)用展開探討,給出各種類型常微分方程恰當?shù)淖兞看鷵Q求其通解或者特解。關(guān)鍵詞

2、：常微分方程、變量代換法、通解、特解目 錄一、 變量代換法求解一階微分方程3二、 變量代換法求解二階微分方程6三、 變量代換法求解三階微分方程7四、 變量代換法求解n階微分方程7五、 變量代換法求解Euler階微分方程9六、 變量代換法在研究解或軌線性態(tài)中的應(yīng)用.10七、 函數(shù)變換法求解常微分方程11八、 三角變換法求解常微分方程13九、 拉普拉斯變換求解常微分方程 141變量代換法求解一階微分方程1）對于齊次微分方程 ，這里 是的連續(xù)函數(shù)，做變量代換，使方程化為變量分離方程，可求解。2)對于準齊次微分方程，這里，均為常數(shù)。當（常數(shù)）時，方程直接化為，有通解：當時，做變量代換，將方程化為變量分

3、離方程由上式可求解。當時，做變換，其中為直線和直線在平面的交點，將方程轉(zhuǎn)化為齊次方程由上式可求解。3）對于更一般的類型，這里，均為常數(shù)當（常數(shù)）時，方程直接轉(zhuǎn)化為，有通解；當時，做變量代換，將方程化為變量分離方程由上式可求解。當時，作變換，其中（）為直線和直線在平面的交點，將方程化為齊次方程由上式即可求解。4）對于方程，這里a，b，c均為常數(shù)，作變量代換，將方程化為變量分離方程由上式可求解。5）對于方程，這里m，n，均為常數(shù)，作變量變換，將方程化為變量分離方程由上式即可求解。6）對于方程，這里為常數(shù)，作變量變換，是方程化為變量分離方程由上式即可求解。7）對于方程，其中M,N為關(guān)于x，y的其次函

4、數(shù)，做變量變換，化為變量分離方程由上式即可求解。8）對于Bernoulli方程，這里P(x)，Q(x)為連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)。當時用乘以原方程兩邊得作變量代換使方程化為線性微分方程，可求解。9）對于Riccati方程，當R(x)恒為零時，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的變換求解；當R(x)不為零時，若y（x）為Riccati方程的一特解，作變量代換，使方程化為一個關(guān)于z的Bernoulli方程由上式即可求解。10）對于一階非齊次線性微分方程，若Q(x)=0，則方程變?yōu)橐浑A齊次線性微分方程，有通解；若對原方程作變量變換，求得待定函數(shù)，代會變換，即得方程的通解。2 變量代換

5、法求解二階微分方程 1)對于二階變系數(shù)齊次微分方程 （1）設(shè)是方程（1）的一特解，變量變換，將方程化為一階線性微分方程，可求解。2)對于二階變系數(shù)線性非齊次微分方程 （2）當方程（2）滿足（ 為常數(shù)）時，作自變量代換（ 為常數(shù)） （3）則方程（3）可化為 （4）方程（4）兩邊乘除以，得 （5）由于所以，又 為常數(shù)，由此可知，方程（2）可化為二階常系數(shù)線性微分方程 。3 變量代換發(fā)求解三階微分方程1） 考慮三階變系數(shù)齊次微分方程 （6）當 和時，可作變換 ，則方程（6）可化為 （7）將和代入（7）得到常系數(shù)齊次微分方程 2） 考慮三階變系數(shù)線性非齊次微分方程 （8）其中 ， 都是 的已知連續(xù)函數(shù)

6、，且二次可微，為常數(shù)。作自變量變換，則方程可化為 （9）方程（9）兩邊同時除以得到三階常系數(shù)線性微分方程4 變量代換發(fā)求解n階微分方程1） 考慮n階非齊次線性微分方程 （10）設(shè)方程（10）對應(yīng)的n階齊次微分方程 （11）通解為 （12）作變量變換，令 （13）為（10）的通解。求出特定函數(shù) ，代入（13），即得（10）的通解。2）考慮常系數(shù)非齊次線性微分方程 （14）這里 是常數(shù)， 。作變量變換，令，則方程可化為 （15）其中都是常數(shù)。對于方程(15)可采用比較系數(shù)法求得一特解故(14)有特解, 其中k 為特征方程F()=0 的根的重數(shù)。3)對于n 階微分方程 (t,x,)=0 , 當方程不

7、顯含未知函數(shù)x , 或更一般地, 設(shè)方程不含x, , 即方程: (1 k n) (16)作變量變換, 令y = , 可將方程降為關(guān)于y 的 n-k 階方程4)對于 n 階微分方程 ,當方程不顯含自變量t , 即方程 (17)作變量變換, 令x=y , 采用數(shù)學(xué)歸納法不難證明, 可用y , , 表示出(k n), 將這些表達式代入方程(17), 可使方程化為關(guān)于x , y 的n -1 階方程5 變量代換法求解 Euler 方程形如 (18)的Euler 方程, 這里,為常數(shù)。對于Euler 方程, 我們可以采用變量代換法從兩個不同角度來考慮得以求解。角度一:引進自變量的變換 , 則, 通過直接計

8、算及數(shù)學(xué)歸納法不難證明:對于一切自然數(shù)k 均有關(guān)系式 其中都是常數(shù)。于是有 (19)將(19)代入方程(18), 就得到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程 (20)其中都是常數(shù)。此方程可采用特征根法求得通解, 再代回原來的變量就可得歐拉方程(18)的通解。角度二:由于n 階常系數(shù)齊次線性微分方程(20)有形如的解, 結(jié)合角度一中的推演過程, 從而方程(18)有形如的解, 因此可直接求歐拉方程形如的解, 作變量變換 , 代入方程(20), 并約去因子, 即可得到確定k 的代數(shù)方程, 也是方(20)的特征方程 (21)因此, 方程(21)的m 重實根, 對應(yīng)于方程(18)的m 個解而方程(21)的m 重

9、復(fù)根 ，對應(yīng)于方程(18)的2m 個實值解:6 變量代換法在研究解或軌線性態(tài)中的應(yīng)用1)考慮非線性常微分方程組解的性態(tài), 我們通常將其與具有某些特殊性質(zhì)的特解聯(lián)系在一起考慮。為研究方程組的特解y =(t)鄰近的解的性態(tài), 作變量變換 使方程組化為， 從而使問題轉(zhuǎn)化為討論方程組零解鄰近的解的性態(tài)。2)考慮全相平面上的軌線性態(tài)時, 常用極坐標變換引入周期解與極限環(huán)來刻劃全相平面上的軌線性態(tài), 如研究平面一階非線性駐定方程組的全相平面的軌線狀態(tài)，做極坐標變換從而使方程組化為經(jīng)分析可知是穩(wěn)定的極限環(huán)。7 函數(shù)變換法求解常微分方程1）考慮函數(shù)變換法求解伯努利方程設(shè) （23）這里是常數(shù)。，是的連續(xù)函數(shù)。假

10、設(shè)方程（23）有形如的解，則有 （24）將上式代入方程（23），整理可得 （25）若令，則 （26）用變量分離法可以求得若選取，則。將代入（26），求得于是，方程（23）的解為特別的，當時，得一階線性非齊次方程的解為這與常數(shù)變易法求得的通解相一致。2）考慮函數(shù)變換法求解Riccati方程的特解。設(shè) （27）其中、是其中某個區(qū)間內(nèi)的一階可微函數(shù)，且。設(shè)方程（27）有形如 （28）的解，則方程（27）可化為 （29）令求得及令，則上式化為此方程可通過公式法或者觀察法求解，則Riccati方程的特解可表示出來。8 三角變換法求解常微分方程在求積分時，當被積函數(shù)有形如，等形式時，可通過三角變換法求解。在常微分方程中，遇到此類形式的問題時，我們也可以考慮三角變換法。1）對于Chebyshev方程： （30）做三角變換，并求得，代入原方程，整理得，由上式可解得所以Chebyshev方程的解為2)對于三階變系數(shù)微分方程 （31）當原方程滿足 （32）可作三角變換并求得代入原方程整理得 由（32）可得 從而（31）可簡化三階常系數(shù)線性微分方程 9 Laplace變換法求解常微分方程Laplace變換法主要是借助于拉普拉斯變換將常系數(shù)微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)S的代數(shù)方程（組），通過一些代數(shù)運算，一般在利用拉普拉斯變換表，即可找出微分