第6章板殼彎曲問(wèn)題的有限單元法√

1、第6章 薄板彎曲問(wèn)題的有限單元法 l薄板彎曲問(wèn)題的基本方程l薄板彎曲問(wèn)題的非協(xié)調(diào)矩形單元l非協(xié)調(diào)三角形板單元l薄板彎曲問(wèn)題的協(xié)調(diào)元6.1 薄板彎曲問(wèn)題的基本方程1 彈性薄板的基本假設(shè)（克?；舴蚣僭O(shè)）無(wú)擠壓 薄板彎曲時(shí)，平行于中面的各層面之間無(wú)擠壓。這意味著薄板彎曲后厚度保持不變，因此可取 。顯然撓度w只是x,y的函數(shù)：0/zwz(1) ),(yxww 0, 0zvywxwzuyzzx直法線 變形前垂直于中面的直線段，變形后仍為直線，且仍然垂直于彎曲后的中面。這意味著yz和zx平面內(nèi)的剪應(yīng)變?yōu)榱銀wzvxwzu,0)(, 0)(00zzvu從而得：無(wú)側(cè)移 薄板中面內(nèi)各點(diǎn)都沒(méi)有平行于中面的側(cè)向位移

2、，即結(jié)合幾何方程可知，中面內(nèi)形變分量均為零,即. 0)(, 0)(, 0)(000zxyzyzx從上述的附加假設(shè)出發(fā)，可以將位移u、v用w表示。推導(dǎo)得(2) ,zywvzxwu這就是薄板彎曲問(wèn)題的克?；舴?Kirchhoff)假設(shè)，使用克希霍夫假設(shè)計(jì)算的板稱為克?；舴虬?。將用 w 表示的位移 u ,v 代入幾何方程這里，記 為(3) 2T22222zyxwywxwzxyyx(4) 222222Tyxwywxw稱為薄板的廣義應(yīng)變分量。薄板中的應(yīng)力210001011002DzDExyyxxyyx(5) 12d03/2/2-DDhzzMMMMhhxyyx123Mhz622/MhhzD0是平面應(yīng)力問(wèn)題

3、的物理矩陣薄板內(nèi)力D是板的彎曲剛度矩陣顯然最大應(yīng)力發(fā)生在薄板的上下表面2 彈性薄板的幾點(diǎn)簡(jiǎn)化l應(yīng)力分量的減少l應(yīng)變分量的減少l位移之間有了附加關(guān)系l應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的簡(jiǎn)化0z0 0yzzx，zzywvzzxwuyxwwxy , ),(xyyxxyyxE21000101121 薄板彎曲問(wèn)題節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)的選擇采用克希霍夫假設(shè)后， 薄板的變形狀態(tài)完全由一個(gè)變量，即中面撓度 w(x, y) 來(lái)確定。然而，在有限元法中只取撓度本身作為節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)是不夠的。按克?；舴蚶碚?，薄板內(nèi)部非中面上各點(diǎn)的位移 (u,v,w) 是用相應(yīng)的中面點(diǎn)的撓度w(x, y)和該點(diǎn)處中面法線轉(zhuǎn)角x和y來(lái)表示的(2式)。因而，為了保證

4、板內(nèi)位移 (u,v,w) 在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)單值連續(xù)，除要求w在全域內(nèi)單值連續(xù)外，還必須要求x和y在全域內(nèi)也是單值連續(xù)的。這里xwywyx, 6.2 矩形薄板單元 將只要求函數(shù)本身連續(xù)的問(wèn)題稱為C0問(wèn)題，如彈性力學(xué)平面問(wèn)題；將不但函數(shù)本身，還要求其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的問(wèn)題稱為C1問(wèn)題，如薄板彎曲問(wèn)題。iiiyixiiixwywww)/()/(如果將位移模式仍然取為多項(xiàng)式，要求在全域內(nèi)位移及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這等價(jià)于在單元邊界上要保證位移及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，因此在單元結(jié)點(diǎn)上必須保證位移及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即應(yīng)選取三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)如果取四節(jié)點(diǎn)單元，則取位移函數(shù)為31231131029283726524321xyyxy

5、xyyxxyxyxyxw兩個(gè)四次項(xiàng)的選取，保證了在單元邊界上，即x=const，y=const時(shí)，位移是三次多項(xiàng)式。3423213123113102928372652432134232131231131029283726524321),(),(yByByBBdyydydyyddydydydydwxAxAxAAxccxcxccxxcxcxcxcxw位移連續(xù)性問(wèn)題。 在 ij 邊上，y=const，共有四個(gè)參數(shù)，可由ij邊兩端節(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)唯一確定，因此在相鄰單元的公共邊界上，位移w及其切向?qū)?shù) 是連續(xù)的。342321xAxAxAAwjjiixwwxww)( )( ，）（即xwsw/仍有四個(gè)參數(shù)，

6、但是節(jié)點(diǎn)參數(shù)只有兩個(gè) ，無(wú)法唯一確定法向?qū)?shù)。也就是說(shuō)，在兩個(gè)相鄰單元的公共邊界上，位移模式w的法向?qū)?shù) 并不相同。再來(lái)看法向?qū)?shù)。法向?qū)?shù) 為342321yBxBxBByw）（即ywnw/jiywyw）（）（/,/nw /由以上討論和進(jìn)一步的研究可以得出結(jié)論，僅規(guī)定位移 w及其一階導(dǎo)數(shù) 作為節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)時(shí)，取位移模式為簡(jiǎn)單多項(xiàng)式，要保證單元邊界上位移 w的法向?qū)?shù)連續(xù)是不可能的，常稱這樣的單元為不完全協(xié)調(diào)元。不完全協(xié)調(diào)元的位移模式只滿足了“收斂準(zhǔn)則”的完備條件，而未滿足協(xié)調(diào)條件。有關(guān)其收斂性的問(wèn)題需要再討論。但是計(jì)算實(shí)踐表明，這里所給出的不完全協(xié)調(diào)四節(jié)點(diǎn)矩形單元的計(jì)算結(jié)果是收斂的ywxw/，

7、2 位移模式將矩形薄板沿坐標(biāo)方向劃分為若干矩形單元，每個(gè)單元設(shè)有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量，即撓度 w，繞y軸轉(zhuǎn)角x, 繞 x 軸轉(zhuǎn)角y。即(6) )4 , 3 , 2 , 1()/()/(ixwywwwiiiyixiii單元的節(jié)點(diǎn)位移為節(jié)點(diǎn)荷載為單元的節(jié)點(diǎn)荷載為TTTTTe 4321)4 , 3 , 2 , 1(iMMVFyixiiiTTTTTeFFFFF 4321取位移函數(shù)為(7) 31231131029283726524321xyyxyxyyxxyxyxyxw2123112109286533122112982754233223232xyxyxyxyyywyyxyxyxxxxw在位移

8、函數(shù)中，前三項(xiàng)包含了單元的剛體位移狀態(tài)，二次項(xiàng)代表了單元的均勻應(yīng)變狀態(tài)?？梢宰C明，此位移模式能夠保證相鄰單元的公共邊界上撓度 w 和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。分別求出上式中對(duì) x,y 的導(dǎo)數(shù)將單元四個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入前三式后，可得12個(gè)關(guān)于i 的方程組，求解后代回(7)式，令(8) 44332211eNNNNNwyixiiiNNNNbyyaxx/ )( ,/ )(00ii,) 4 , 3 , 2 , 1() 9 ( 8/ )1)(1 ()1 (8/ )1 ()1)(1 (8/ )2)(1)(1 (2222 iabNNNNiiiiiiiiiiiixixiii其中稱N為形函數(shù)矩陣，第i個(gè)子矩陣為 為節(jié)點(diǎn)的坐

9、標(biāo)值，則將形函數(shù)(9)代入(3)式，得出(10)22222222222222eeTTBNabwbwawyxwywxw這里的B稱為應(yīng)變矩陣pmjiBBBBB 第i個(gè)子矩陣Bi為),( 22222222pmjiiNabwbwawBiTi3 勢(shì)能泛函與有限元模式板的勢(shì)能泛函可寫(xiě)成(11) d)(dddd211T esnneeeeesnwMwVyxwpyxD將(10)式代入(11)式得(12)d)(dddd)(211TT esenneeeeeesNymxlMNVyxNpyxBDB按最小勢(shì)能原理(13) 0ee將(12)式代入(13)式得(14) d)(dddd 1TTTTesnneeeesNymxlM

10、NVyxNpyxBDB記esnneeeesNymxlMNVyxNpRyxBDBK1d)(dddd TTTT得出eeeeeRK(15) RK4 不完全諧調(diào)元的分片檢驗(yàn)前面說(shuō)明，薄板不完全協(xié)調(diào)矩形單元的位移插值函數(shù)不能滿足“收斂準(zhǔn)則”所要求的協(xié)調(diào)條件，但是計(jì)算結(jié)果表明是收斂的。如何判斷此種不完全協(xié)調(diào)元計(jì)算結(jié)果的收斂性呢?埃恩斯提出“分片檢驗(yàn)”的概念，并指出：位移插值函數(shù)能否通過(guò)“分片檢驗(yàn)”，是判斷不完全協(xié)調(diào)計(jì)算結(jié)果是否收斂的充分必要條件。 “分片檢驗(yàn)”的具體做法如下，任意取一個(gè)至少有一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的，由若干個(gè)單元組成的拼片，并且：在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上既不允許有載荷，也不允許有約束。當(dāng)把任何一種與常應(yīng)變狀態(tài)對(duì)

11、應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移或節(jié)點(diǎn)力加到該單元拼片的邊界節(jié)點(diǎn)上時(shí)，用某種位移插值函數(shù)計(jì)算得到單元拼片內(nèi)部的位移符合常應(yīng)變狀態(tài)的條件，則說(shuō)該位移插位函數(shù)能夠通過(guò)“分片檢驗(yàn)”。經(jīng)檢驗(yàn)表明，前面介紹的不完全協(xié)調(diào)矩形元能夠通過(guò) “ 分片檢驗(yàn) ”，因而計(jì)算結(jié)果是收斂的。 6.3 三角形板單元三結(jié)點(diǎn)板單元，每個(gè)結(jié)點(diǎn)三個(gè)位移參數(shù)iyixiw,1,2,3)(i )(21ycxbaALiiii每個(gè)單元共有9個(gè)參數(shù)。如果位移函數(shù)取為多項(xiàng)式，則一個(gè)完備的三次多項(xiàng)式包含10項(xiàng)31029283726524321xxyyxxyxyxyx用面積坐標(biāo)法求插值函數(shù)。面積坐標(biāo)的性質(zhì)1321LLL3131iiiiiiyLyxLx1 三結(jié)點(diǎn)板單元的

12、位移模式面積坐標(biāo)的一、二、三次式分別為321213232221123322221333231133221232221321, ,LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL(a)表示剛體位移；(b)在1-3邊，位移及轉(zhuǎn)角皆為零；在結(jié)點(diǎn)2，轉(zhuǎn)角不為零；(c)在結(jié)點(diǎn)處位移及轉(zhuǎn)角皆為零；但可與其他三次式共同使用，使單元更普適；(d)面積坐標(biāo)的4次方。取三角形板的位移插值函數(shù)為)()()()()()(321213932123283212217321123632132253212214332211LLCLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLLLLw這個(gè)函數(shù)不是

13、 x,y 的完全 3 次多項(xiàng)式 ，一般情況下不能保證 w 滿足常應(yīng)變要求（當(dāng)結(jié)點(diǎn)參數(shù)賦以和常曲率或常扭率相對(duì)應(yīng)的數(shù)值時(shí)，w 不能保證給出和此變形狀態(tài)對(duì)應(yīng)的撓度值）。但當(dāng)調(diào)整系數(shù)C取為0.5時(shí)，w 可滿足常應(yīng)變要求。)2/()2/()2/()2/()2/()2/(321213932123283212217321123632132253212214332211LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLw按前述方法求出 ，位移函數(shù)表為T321321dddNNNN ewi1111yxNNNN)1,2,3( ,)2/()2/()2/()2/(32122133212132321221332121322312213212211111LLLLLcLLLLLcLLLLLbLLLLLbLLLLLLLLLNNNyx2 三角形板單元的收斂性單元的完備性前已說(shuō)明。對(duì)于協(xié)調(diào)性，同矩形板單元。非協(xié)調(diào)元盡管給出收斂解答，但這種收斂不一定是單調(diào)的；收斂性是以分片檢驗(yàn)為條件的，應(yīng)用范圍受到限