高數(shù)1-6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 第一章 第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在在閉區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上在該區(qū)間上即即: :設(shè)設(shè), ,)(baCxf則則, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa一定有最大一定有最大值和最小值值和最小值.注注: : 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立 . ., ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn) ,例如例如, ,

2、) 1 , 0(, xxy無(wú)最大值和最小值 xoy1121, 31,110, 1)(xxxxxxfxoy1122也無(wú)最大值和最小值 又如又如, , ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 二、介值定理二、介值定理定理定理2.2. ( 零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy.0)(f0)()(bfaf定理定理3.3.(介值定理)設(shè) , ,)(baCxf且,)

3、(Aaf,)(BABbf則對(duì)A 與B 之間的任一數(shù) C , ),(baAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有一點(diǎn)( ) , , ( ), ( ),f xC a bf aA f bB AB( , ),a b 證證: : 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: :().fC在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .,CACB例例1. 1. 證明方程證明方程01423xx證證: : 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理

4、故據(jù)零點(diǎn)定理, ,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423在區(qū)間在區(qū)間)1 , 0(內(nèi)至少有內(nèi)至少有一個(gè)根一個(gè)根 .例例1. 證明方程01423 xx一個(gè)根 .說(shuō)明說(shuō)明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有則則0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例2. 設(shè))(xf在,ba對(duì)任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使. )()()(21x

5、fxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時(shí), 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:在在上達(dá)到最大值與最小值上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),使使必存在必存在上有界上有界;在在在在則則設(shè)設(shè))(. 1xf,ba)(. 2xf,ba)(. 3xf,ba0)()(bfaf. 0)(=xf, ),(ba, ),(ba小結(jié)小結(jié)( ) , ,f xC a b則證明至少存在使提示提示: 令則易證1. 設(shè)作業(yè)作業(yè)P73 題 2 ; 3; 4一點(diǎn), 2,0)(aCxf, )2()0(aff, ,0a. )()(aff, )()()(xfaxfx, ,0)(aCx 0)()0(a備用題備用題 13xex至少有一個(gè)不超過(guò) 4 的 證證：證明令且0根據(jù)零