命題與簡易邏輯

1、簡易邏輯知識梳理命題與邏輯連接詞；1用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假、的述句稱為命題.其中判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題2 邏輯聯結詞“或”“且”“非”與集合中的并集、交集、補集有著密切的關系，解題時注意類比；3 不含邏輯聯結詞的命題稱為 ;有時一個命題的敘述方式比較的簡略，此時應先分清條件和結論，該寫成“若p，則q ”的形式；4 含有邏輯聯結詞的命題稱為 ，復合命題有三種形式_,符號表示 , , 通常復合命題的否定“p或q ”的否定為“ p且q ”、“P且q ”的否定為“ p或q ”、“全為”的否定是“不全為”、“都是”的否定為“不都是”等等5.三種復合命題的真值表

2、：(1) “ p且q”： 一假即假(2) “ p或q”： 一真即真(3) “非p” ：真假相反6短語“對所有的”、“對任意一個”邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“_”表示。7短語“存在一個” 、“_至少有一個” 邏輯中稱為存在量詞，并用符號“_”表示。8.含有全稱量詞的命題稱為全稱命題_;含有存在量詞的命題稱為 _特稱命題_9全稱命題形式：x M , p(x)；特稱命題形式:x M , p(x)。其中M為給定的集合,特別提醒：全稱命題p: x M , p(x)的否定 p: x M ,p(x)；全稱命題的否定為特稱命題特稱命題p: x M , p(x)的否定p：x M ,p(x)；特稱命題的否定為全

3、稱命題其中p(x)是一個關于x的命題。10、四種命題及關系；(1) 如果第一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論 和條件，那么這兩個命題叫互逆命題(2) 如果第一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題叫互否命題.(3) 如果第一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定_和 條件的否定，那么這兩個命題叫互否命題 特別提醒：可以發(fā)現：(1) 原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關系如下圖所示：(2)互為逆否命題的真假性是一致的，互逆命題或互否命題真假性沒有關系般地，把條件 p的否定和結論q的否定，分別記為J p ”和' q ”，則命題的四種形式可

4、寫為:原命題："若p若q ”逆命題：右q右p否命題：“若p是q ”逆否命題:“若q 是p ”11.充要條件；判斷方法：(1)定義法：p是q的充分不必要條件pq -pqp是q的必要不充分條件pqpqp是q的充要條件pq p是q的既不充分也不必要條件pqqppq如果“若p則q ”為真，記為pq,如果"若p則q ”為假，記為pq.若p q,貝U p是q的充分,q是p的必要(2 )集合法：設 P=p, Q= q, 若_ P 3Q,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件 若P=Q _，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件) 若P會 Q且Q皐P ,則p是q的既不充分也不必要

5、條件12.用反證法證明的一般步驟是：(1) 反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；(2) 歸謬：從假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；(3) 結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確特別提醒：1、適宜用反證法證明的數學命題：(1) 結論本身以否定形式岀現的命題.關于唯一性、存在性的的命題.(3) 結論以“至多”，“至少”等形式岀現的命題(4) 結論的反面比原結論更具體或更易于研究的命題.2. 用反證法證明引岀矛盾的四種常見形式：(1) 與定義、公理、定理矛盾 .(2) 與已知條件矛盾.(3) 與假設矛盾.(4) 自相矛盾.(三)例題分析：考點一。邏輯聯結詞與四種命題題型1。

6、判斷簡單命題及真假例1下列語句中哪些是命題？其中哪些是真命題？ 等腰直角三角形難道不是直角三角形嗎？”； “平行于同一平面的兩條直線必平行嗎？”； “一個數不是正數就是負數”； “今天的天氣多好?。?”； “ x y為有理數，則x、y也都是有理數”； “作 ABC s AEG ” .一般地，述句、反問句都是命題，而疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題.例2下列四個命題中，真命題的個數為()A(1 )若兩平面有三個公共點，則這兩個平面重合；(2 )兩條直線可以確定一個平面；(3) 若 M, M ,I,則M I ;(4) 空間中，相交與同一點的三條直線在同一平面。A.1B.2C.3D.4例3你能將把下

7、列命題寫成“若p若q ”的形式，并判斷其真假嗎？(1) 實數的平方是非負數.(2) 等底等高的兩個三角形是全等三角形(3) 能被6整除的數既能被 3整除也能被2整除.(4) 弦的垂直平分線經過圓心，并平分弦所對的弧.題型2(1)邏輯聯結詞“非”的含義例4寫出下列命題p的非(否定)。(1) p： 100既能被4整除又能被5整除(2) p：三條直線兩兩相交(3) p: 元二次方程至多有兩個解(4) p： 2x3(5) “矩形的對角線相等”的否定是 寫出命題的非(否定)，需要對其正面敘述的詞語進行否定，常用正面敘述詞語及它的否定列舉如下:正面詞語且小于(<)都是都不是至少n個至多n個否定詞語或

8、不小于(>)不都是至少有一個是至多n 1個至少n+1個正面詞語任意的所有的有無窮多個存在唯一的對任意P,使恒成立否定詞語某個某些只有有限多個不存在或至少存在兩個至少有一個p,使不成立(2) 命題的否定與命題的否命題的區(qū)別例5寫出命題：“若a b，則a 1 b 1 ”的否定與否命題，并加以區(qū)別。(3) 全稱量詞與存在量詞例6:寫出命題“若x 3，則x 5 ”的否定題型3.指出復合命題的形式及構成它的簡單命題，反之能寫出“p或q” “ p且q” “非p”形式的復合命題,判斷復合命題的真假例7分別指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題：(1) 3是質數或合數.(2) 他是運動員兼教練員.(3

9、) 相似三角形不一定是全等三角形例8分別寫出下列各組命題構成的“p或q” “p且q” “非p”形式的復合命題：(1) p：連續(xù)的三個整數的乘積能被 2整除，q：連續(xù)的三個整數的乘積能被3整除.(2) p:對角線互相垂直的四邊形是菱形，q :對角線互相平分的四邊形是菱形例9寫出由下述各命題構成的“ p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構成的這些復合命題的真假。(1) p： 5是17的約數，q： 5是15的約數.(2) p：方程x2仁0的解是x=1, q：方程x2仁0的解是x= 1,2 2(3) p：不等式x 2x 2 1的解集為R, q：不等式x 2x 2 1的解集為題型4:判

10、斷命題是全稱命題還是特稱命題。判斷全稱命題或特稱命題的真假 例10判斷下列語句是不是命題，如果是，說明是全稱命題還是特稱命題(1) 任何一個實數除以1，仍等于這個數；(2) 三角函數都是周期函數嗎？(3) 有一個實數x，x不能取倒數；有的三角形角和不等于 180例11設A B為兩個集合.下列四個命題:A B 對任意x A,有x B；AB AJB;其中真命題的序號是. A B An B=；A B 存在x A,使得x B.(把符合要求的命題序號都填上)題型5。寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題 例12寫出下述命題逆命題、否命題、逆否命題(1) 若 x2 y20 ,則 x,y全為 0 (2) 若

11、a b是偶數，則a, b都是偶數(3) 若 x 3或 x 7 ,貝y (x 3)(x 7)0題型6。四種命題間的關系，命題真假的判斷2例13若a、b、c R,寫出命題“若 acv 0,貝U ax+bx+c=0有兩個不相等的實數根”的逆命題、否命題、 逆否命題，并判斷這三個命題的真假例14下列四個命題中真命題有哪幾個？“面積相等的三角形全等”的否命題“若An B=B,則A B'的逆否命題"若xy=1，則x、y互為倒數”的逆命題“若me 1，則方程x2 2x+葉0有實根”的逆否命題例15你能判斷下列命題的真假嗎？(1) 已知 a,b,c,d R,若a c,或b d,則a b c

12、d.2(2) 若m 1,則方程x 2x m 0無實數根。題型7。由命題真假確定參數圍例16已知c 0.設命題P:函數y=cx在R上單調遞減.；命題Q不等式x | x 2c| 1的解集為R若P或Q是真命題，“ P且Q'是假命題，數c的取值圍.考點二充要條件及其判定題型1:利用定義作判斷例 1在 ABC 中，“ sin Asin B ”是“ A B ”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D既不充分也不必要條件例2 . (1)已知h>0,設命題甲為：兩個實數a、b滿足a b 2h，命題乙為：兩個實數 a、b滿足a 1| h且b 11 h，那么C.甲是乙的充要條件D

13、甲是乙的既不充分也不必要條件.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么 p是q成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件題型2:從集合思想或利用逆否命題判定例3“ x 12成立”是“ x（x 3）0成立”的（）A .充分不必要條件B. 必要不充分條件C .充分必要條件D.既不充分也不必要條件例4.指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一種作答）(1)對于實數x, y , p: xy 8, q:x2或y 6(2)在 ABC 中，p :sin Asin B ,q:

14、tan Atan B(3)已知 x, y R , p: (x1)2 (y2)2! 0 ,q:(x 1)(y 2) 0(4)p “ x 2k- kZ ” qatanx1 ”411例5若a, b R，則飛 亍成立的一個充分不必要的條件是（）abA. ab 0 B. b aC. ab 0D. ab(ab)0課后作業(yè)練習（1）1.下列語句中命題的個數是（） 地球是太陽系的一顆行星； 0N；這是顆大樹； x a :112老年人組成一個集合；A. 1B. 2 C . 3D.42. 以下命題： 二直線平行的充要條件是它們的斜率相等； 過圓上的點（Xo,y°）與圓x2 y2 r2相切的直線方程是 x

15、°x y°y r2 ； 平面到兩定點的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓； 拋物線上任意一點 M到焦點的距離都等于點 M到其準線的距離。其中正確命題的標號是 。13. 命題“若m > 0,則m2 ”的逆命題是m4. 命題“若a b,則a 1 b 1 ”的否命題是（）C.若 a b,則 a 1 b 1 D.若 a b,則 a 1 b 15.命題：2 2“設a、b、c R，若ac12.寫出命題“乘積為奇數的兩個整數都不是偶數”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假課后作業(yè)練習(2)1函數f(x)=x|x+a|+b是奇函數的充要條件是 () 2A.ab=0B.a+b=0C.a

16、=bD.a +b =0 bc2則a b ”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為(A. 0 B6.命題："若x21，則 1 x 1”的逆否命題是(A若 X 1,或 X 1，則 X21B. 若 1 X 1，則 X21C.若 X 1,或X 1 ,則 X21 D.若X21 ,則X 1,或X 17判斷下列語句是不是命題，如果是，說明是全稱命題還是特稱命題.(1) 中國的所有江河都流入太平洋；(2) 0不能作除數；(3) 有一個實數a , a不能取對數；(4) 每一個向量都有方向嗎？8.設函數f (X)的定義域為 R,有下列三個命題：若存在常數 M使得對任意 x R,有f (x)

17、< M則M是函數f (x)的最大值； 若存在X0 R,使得對任意 X R,且X工X0，有f (x)v f (X0),貝0 f (X0)是函數 f ( X )的最大值；若存在X0R,使得對任意xR,有f(X)< f (X0),貝Uf(X0)是函數f (x)的最大值這些命題中，真命題的個數是B.僅存在一個實數b2,使得91b1,b21b3, 1成等比數列C.存在實數a, b滿足a b2 ,使得3a 3b的最小值是6A.0B.1C.2D.39.下列全稱命題中真命題為()A.一次函數都是單調函數B.x x/x是無理數 ,X23是有理數C.任何一條直線都有斜率D.a ,b/，都有a/b10下

18、列特稱命題中假命題為()A.空間中過直線外一點有且僅有一條直線與該直線垂直D. a ( 4,0, ax2 ax 10 恒成立11.用反證法證明：已知x、y R, x+y>2,求證x、y中至少有一個大于 1.則所作的反設是2 22.“ a=1 ”是函數y=cos ax sin ax的最小正周期為"n”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件3.“a+b> 4 且 ab>4” 是“ a>2 且 b>2” 的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.若a, b是常數，則“ a0且b224a 0”是“對任意x R,有ax bx 10”的()A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件，條件q :f(x)log tanx在(0,)是增函數，則p是q的42A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6. ABC中“ COSA2sin Bsin C，是 ABC為鈍角二角形 的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C .充要條件D.既不充分也不必要37.函數f(x) ax x 1有極值的充要條件是()A. a 0B. a 0 C . a 0 D . a 0&“ a