《2.2導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義》導(dǎo)學(xué)案

1、2.2導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義導(dǎo)學(xué)案課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)和變化率的關(guān)系2會計算函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的實際意義3理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程課程導(dǎo)學(xué)建議重點:導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義 難點:會求曲線上某點處的切線方程 第一層級知識記憶與理解創(chuàng)設(shè)情境如圖，當(dāng)點Pn(Xn, f(Xn)( n=1，2, 3，4)沿著曲線f(X)趨近點P(X0, f(X。)時，割線PPn的變化趨勢是什么？國知識導(dǎo)學(xué)問題1：根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情境，割線PPn的變化趨勢是點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置PT, PT為曲線的切線 問題2：導(dǎo)數(shù)的概念與求法：我們將函數(shù)f(x)在X

2、=X0處的瞬時變化率稱為f(x)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)，即有f(Xo)=，所以求導(dǎo) 數(shù)的步驟為求函數(shù)的增量： y=fxo+ x)-f(xo)；(2) 算比值 :=；(3) 求極限 ：y'=.問題3:函數(shù)y=f(x)在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=f(x)在x=x°處的切線的斜率k=f (x0)=. 相應(yīng)的切線方程是 ： y-f(x0)=f' (x0)(x-x0).問題4:曲線上每一點處的切線斜率反映了什么？直線與曲線有且只有一個公共點時，直線是曲線的切線嗎？它反映的是函數(shù)的 瞬時變化 情況，體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合，以曲代直的思想 . 不一定是， 有些直線與曲線相交， 但只有一個

3、公共點 .相反， 有些切線與曲線的交點 不 止一個 .知識鏈接大約在 1629年，法國數(shù)學(xué)家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法； 1637年左右， 他寫了一篇手稿求最大值與最小值的方法 .在作切線時，他構(gòu)造了差分 f(A+E)-f(A) ，發(fā) 現(xiàn)因子E就是我們現(xiàn)在所說的導(dǎo)數(shù) f (A).基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1. 函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)f(xo)的幾何意義是().A. 在點xo處的函數(shù)值B. 在點(xo，f(xo)處的切線與x軸所夾銳角的正切值C. 曲線y=f (x)在點(xo，f(xo)處切線的斜率D. 點(xo, f(xo)與點(0，0)連線的斜率【答案】 C22. 若曲線y=x

4、+ax+b在點(0， b)處的切線方程是x-y+ 1 = 0，則().A. a= 1， b=1B.a=-1， b= 1C.a= 1 ， b=-1 D.a=-1 ， b=-1 【解析】由題意知 k=1 ，=a= 1,又點(0, b)切線上，.b=1.【答案】 A3. 設(shè)P0為曲線f(x)=x3+x-2上的點，且曲線在P0處的切線平行于直線y= 4x-1，則P°點的坐標(biāo)為.【解析】 f'(x)=2= 3x +1，由于曲線f(x)=x3+x-2在P0處的切線平行于直線y= 4x-1，所以f(x)在P°處的導(dǎo)數(shù)值等于4, 設(shè)P0(X0, y°),有 f(X0)=3

5、+ 仁4，解得 X0=±1，這時 P0點的坐標(biāo)為(1, 0)或(-1, -4).【答案】 (1， 0)或 (-1， -4)4函數(shù)y=3x+2上有一點(xo, yo)，求該點處的導(dǎo)數(shù) f(xo).【解析】 f'(x0)= 3.第二層級 思維探究與創(chuàng)新重點難點探究探究一導(dǎo)數(shù)概念的理解已知f(xo)=2,求.【方法指導(dǎo)】利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù) .【解析】由已知得 :=2，當(dāng)0, 2h0, -4h0,= 2.問題 上面的解答遵循導(dǎo)數(shù)的定義嗎？結(jié)論沒有，在導(dǎo)數(shù)的定義形式中，增量的形式多種多樣，但是無論增量選擇哪種形式，必須保持相應(yīng)的形式.即:f(xo)=(其中a為非零常數(shù)).于是,正確解

6、答為 :=-4=-4=-4f'(x0)=-8.【小結(jié)】對極限的理解和計算,也是對導(dǎo)數(shù)概念的準(zhǔn)確理解.通過此題可以看出學(xué)生是否掌握了導(dǎo)數(shù)的概念 .探究二求切線方程已知曲線y=上兩點P(2, -1), Q(-1,)(1) 求曲線在點P, Q處的切線的斜率；(2) 求曲線在P, Q處的切線方程.【方法指導(dǎo)】首先用點 P(或點Q)在曲線上求得t值，再用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率, 進而求得切線方程 .【解析】將P(2, -1)代入y=，得t=1,y=.(1)曲線在點P處的切線斜率為y'|x=2= 1,曲線在點Q處的切線斜率為y'|x=-i=.曲線在點P處的切線方程為y-(-1)=

7、x-2，即x-y-3=0,曲線在點Q處的切線方程為y-=x- (-1)，即 x-4y+3=0.【小結(jié)】1.因為“在某點處”和“過某點的”切線方程求法不同，所以解答這類問題需判斷 點是否在曲線上 .2求曲線y=f(x)在點(xo, f(xo)處的切線方程.(1) 函數(shù)y=f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)f(xo)即為切線的斜率(2) 根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y-f(x0)=f' (x0)(x-x0) 若曲線y=f (x)在點P(xo, f(xo)處的導(dǎo)數(shù)f(xo)不存在，則切線與x軸垂直；若f(xo)>O,則 切線與x軸正向夾角為銳角；若 f(xo)<o,則切線與x軸正向夾

8、角為鈍角；若 f (xo)= o，則切線 與y軸垂直探究三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用拋物線y=x2在點P處的切線與直線4x-y+2=o平行，求P點的坐標(biāo)及切線方程【方法指導(dǎo)】設(shè)切點坐標(biāo) P(xo, yo) t求導(dǎo)函數(shù)y'=f(x) t由斜率k=4,求xo求P點坐標(biāo)(x o, yo) t求切線方程.【解析】設(shè)P點坐標(biāo)為(xo, yo),y'= (2x+ X = 2x. y'=2xo，又由切線與直線 4x-y+2=o平行，2x°=4, . xo= 2.2t P(2, yo)在拋物線 y=x 上， yo=4,點P的坐標(biāo)為(2 , 4),切線方程為 y-4=4(x-2)，

9、即 4x-y-4=o.【小結(jié)】1 .解決本題應(yīng)用了方程的思想，這其實是已知切點求切線方程的逆應(yīng)用過程2. 根據(jù)斜率求切點坐標(biāo)的方法步驟為：(1) 先設(shè)切點坐標(biāo) (xo, yo)；(2) 求導(dǎo)函數(shù) f'(x)；(3) 求切線的斜率 f'(xo)；(4) 由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于 xo的方程，解方程求xo；(5) 點(xo, yo)在曲線f(x)上，將(xo, yo)代入求yo,得切點坐標(biāo)思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一已知 f(x)=x3-8x，貝U =；=； =【解析】 f'(x)=22=(3x + 3x x+ -8)=3x2-8， f(2) = 4.=f'(2)=4.= =f

10、'(2)=4.=-f' (2)=-2.【答案】44-2應(yīng)用二過曲線y=f(x)=x3上兩點P(1 , 1)和Q(1 + Ax, 1 + Ay)作曲線的割線，求出當(dāng) x=0.1時割線的 斜率，并求曲線在點 P處的切線的斜率【解析】/ A y=(1+Ax)-f(1)=(1 + Ax)3-l = 3 A x£( A»2+( A',2= ( Ax)2+3A x+3.當(dāng)A x=0.1時，割線PQ的斜率為2ki= (0.1) +3X0.1+3=331曲線在點P處的切線的斜率為k2= 3.應(yīng)用三已知曲線 C:y=x 3.(1) 求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點處的切線方程

11、；(2) 上述切線與曲線C是否還有其他公共點？【解析】(1)將x=1代入y=x3得y=1，切點P(1, 1),y'=2= 3x . y'|x=1=3，點P處的切線方程為y=3x-2.2(2)由得(x-1)(x +x-2)=0, Ax=1 或-2.公共點為 (1， 1)或(-2， -8)，還有其他公共點 (-2， -8).第三層級 技能應(yīng)用與拓展基礎(chǔ)智能檢測).1已知函數(shù)y=f(x)的圖像如圖，貝y f(xA)與f(XB)的大小關(guān)系是(rnfa1bi0A. f(XA)>f(XB)B. f(XA)<f (XB)C. f(XA)=f (XB)D. 不能確定【解析】f(XA

12、)與f(XB)分別表示函數(shù)圖像在點 A ,B處的切線斜率，故f(XA)<f(XB).【答案】B2. 已知y，則y'的值是().A. B.C.2 D.【解析】 y二，一 ? y'=.【答案】B23. 已知y=ax+b在點(1 , 3)處的切線斜率為2,則=.【解析】由題意=(a x+2a)= 2a= 2, - a= 1，又 3=ax 1?+b , . b= 2, - = 2.【答案】24. 求y=X2在點A(1 , 1)處的切線方程.【解析】f(1)=( x£)= 2,即切線的斜率k=2 ,所以y=x2在點A(1 , 1)處的切線方程為y-仁2(x-1),即2x-

13、y-1=0.全新視角拓展已知函數(shù)y=f(x)的圖像在點(1,f(1)處的切線方程是x-2y+ 1 = 0 ,則f(1)+2f(1)的值是().A.B.1 C. D.2【解析】點(1 , f(1)在切線x-2y+1 = 0上， f(1)=1,又 f(1)=,/. f(1) + 2f(1)=1 + 2X=2.【答案】D第四層級總結(jié)評價與反思思維導(dǎo)圖構(gòu)建學(xué)習(xí)體驗分享固學(xué)案 基礎(chǔ)達標(biāo)檢測 1函數(shù)f(x)=x2-1在x= 1處的導(dǎo)數(shù)是()A.0B.1C.2D.以上都不對【解析】f(1)=(2+ AxX = 2.【答案】C32設(shè)函數(shù) f(x)=ax +2,且f(-1) =3，則a等于().A.-1 B.

14、C. D.1【解析】f(1)=3a,由題意知3a=3 a= 1.【答案】D23. y=x -2在點(1,-)處的切線方程為 【解析】設(shè)y=f(x)=x2-2,則 f(1) = (1 + Ax)=1,二切線的斜率 k=f(1)=1,二切線的方程為 y-C1 X(x-1)，即 2x-2y-5= 0.【答案】2x-2y-5=04. 菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時通常期望它在達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度h(m)與時間t(s)之間的關(guān)系式為h(t)=-4.9t2+l4.7t+18,利用導(dǎo)數(shù)的定義求h'(2)，并 解釋其實際意義.【解析】煙花在t=2 s時的瞬時速度就是h'

15、(2).而=-4.9-4.9 t.所以 h'(2)= (49-4.9 /-4.9.即在t=2 s時，煙花正以4.9 m/s的瞬時速度下降.基本技能檢測5. 已知y=f(x)的圖像如圖所示，貝U f(XA)與f(XB)的大小關(guān)系是().A. f(XA)>f (xb)B. f(xA)<f (xb)C. f(xA)=f (xb)D. 不能確定【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和正切函數(shù)的單調(diào)性可知選B.【答案】B26. 已知拋物線y=-2x+bx+c在點(2, -1)處與直線y=x-3相切，則b+c的值為().C.2 D.-2【解析】拋物線y=-2x +bx+c在點(2 , -1)處與直線

16、y=x-3相切，二f(2) = 1，又(2, -1)在2y=- 2x +bx+c 上，故 f(2) =-1, 即卩.二 b+c=- 2.【答案】D7. 一物體的運動方程是s=5t+t2,則下述三個命題中正確命題的序號是 物體在時間段內(nèi)的平均速度是； 物體在t=1時的瞬時速度是8； 物體在時間段內(nèi)經(jīng)過的位移是8.【解析】物體在時間段內(nèi)的平均速度是=，所以正確.物體在 t= 1時的瞬時速度是= (8+A)=8，所以正確物體在時間段內(nèi)經(jīng)過的位移是5X1 + X12_(5X0+X02)=，所以錯誤【答案】 8已知一個物體的運動方程是s(t)=vot+at2，其中Vo是初速度，時間單位為的瞬時速度(函數(shù)s(t)的瞬時變化率).【解析】 =v o+at o+a A t.當(dāng)趨近于0時，趨近于Vo+at o,所以當(dāng)to=2 s時，瞬時速度是vo+ 2a. 技能拓展訓(xùn)練9設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處可導(dǎo)，且f(2)=1,則 = 【解析】=+= x(1 + 1)= 1.【答案】 132io.設(shè)函數(shù)f(x)=x +ax -9x-1(a<o)，若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線 求a的值.【解析】/ A y=(xo+Ax)-f(xo)32= (xo+ Ax) +a (xo+ Ax) -9(xo+