八下勾股定理典型例題歸類總結(jié)材料

1、勾股定理典型例題歸類總結(jié)題型一：直接考查勾股定理例 1 在 ABC 中， C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的長已知 AB 17， AC15，求 BC 的長跟蹤練習(xí)：1. 在 ABC 中，C 90 .（ 1 ）若 a=5,b=12, 則 c= ;（2）若 a:b=3:4,c=15, 則 a= ,b= .（3 ）若/A=30 °,BC=2,貝U AB= , AC= .2. 在 Rt KBC 中，/ C=90 ° , A，/B，/C 分別對(duì)的邊為 a, b , c,貝下列結(jié)論正確的是 ()C、D、3. 一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為 ( )A

2、、2、 4、6 B、4、6、8 C、6、8、 10D、3、4、54. 等腰直角三角形的直角邊為 2，則斜邊的長為()A 、B 、C、 1 D 、25. 已知等邊三角形的邊長為 2cm ，則等邊三角形的面積為（ ）B、A、C、 1 D 、6. 已知直角三角形的兩邊為 2 和 3，則第三邊的長為 ，則7. 女口圖，/ACB= /ABD=90 ° AC=2 , BC=1 ,BD=8.已知ABC 中，AB=AC=10,BD是AC邊上的高線，CD=2，那么BD等于（9.已知 Rt ABC 的周長為其中斜邊，求這個(gè)三角形的面積。10.如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來

3、說，勾股定理可以推廣（1）如圖，以Rt KBC的三邊長為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積Si、S2、S3之間有何關(guān)系？并說明理由。（2 ）如圖，以Rt AABC的三邊長為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積Si、S2、S3之間有何關(guān)系？（3）如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180。，請?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說明理由。（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”）題型二：利用勾股定理測量長度例1.如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?跟蹤練習(xí)：1. 如圖（8），水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆

4、葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.2. 一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A、 12 米 B、 13 米C、14 米D、15 米3.如圖，有兩顆樹，一顆咼10米，另一顆高4米，兩樹相距8米一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（)B、10 米 C、12 米 D、14 米題型三：勾股定理和逆定理并用一一例3.如圖3，正方形 ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn), 角三角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定

5、理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：1. 如圖，正方形 ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且 DF=3CF，求證：/ AEF=90題型四：利用勾股定理求線段長度一一例1.如圖4，已知長方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm, 在邊CD上取一點(diǎn) E,將AADE折疊使點(diǎn) D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長.跟蹤練習(xí):1.如圖，將一個(gè)有 45 度角的三角板頂點(diǎn) C 放在一張寬為 3cm 的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn) 一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30 °角，求三角板的最大邊 ABB 在紙帶的另的長.交 BC 于 F，（1 ）2. 如圖，在 ABC 中，AB=BC，

6、/ABC=90 °,D 為 AC 的中點(diǎn)，DE 丄 DF，交 AB 于 E, 求證： BE=CF; （2）若 AE=3 ， CF=1 ，求 EF 的長 .3. 如圖，CA=CB,CD=CE, /ACB= /ECD=90 °,D 為 AB 邊上的一點(diǎn)若 AD=1 , BD=3，求 CD 的長.題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例1.有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高 1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1 , ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格

7、點(diǎn)上，試判斷厶ABC的形的值狀，并說明理由( 1 )求證：/ ABD=90 ° (2 )求2. 下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是()A 、 9 ， 12 ，15B 、 7,24,25C 、D、:ZA: ZB: Z3. 在ABC中，下列說法/ B= ZC- ZA :C=3： 4 ： 5 ； a:b:c=5:4:3；=1:2:3其中能判斷 ABC為直角三角形的條件有（）A、2 個(gè)B、3 個(gè)C、4 個(gè)D、5 個(gè)4. 在ABC中，/A、/B、/C的對(duì)邊分別是 a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角？1） a=26 ， b=10 ， c=24;（ 2 ）

8、 a=5 ， b=7 ， c=9;（ 3） a=2 ，A、 2 個(gè) B、 3 個(gè) C、 4 個(gè) D、 5 個(gè)則此時(shí)三角5. 已知ABC 的三邊長為 a、b、c,且滿足形一定是（ ）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D 、銳角三角形6.在ABC中，若a= n21 , b=2n2,c= n21，UAABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7.如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC是（）A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形c ，下列說法中，錯(cuò)誤的是（8. 已知在 ABC中，/A、/B、/C的對(duì)邊分別是 a、bA 、女口果/ C- / B=

9、 / A,那么/ C=90B、如果/ C=90那么,那么/A=90D、如果/A=30C、如果(a+b ) (a-b )=那么 AC=2BC9. 已知ABC的三邊分別為 a, b , c，且a+b=3 , ab=1 ,求的值，試判斷厶ABC的形狀，并說明理由10. 觀 察 下 列 各 式，根據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個(gè)式子為， 2mn ，11. 已知，m > n , m、n為正整數(shù)，以為邊的三角形是 _三角形 .12. 一個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1 , n-1 , 8，其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形?題型六：旋轉(zhuǎn)問題:ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=2,PB=2 一 3 ,PC=4

10、,求AABC 的邊長.跟蹤練習(xí)1. 如圖， ABC 為等腰直角三角形，/BAC=90 ° , E、F是BC上的點(diǎn)，且/ EAF=45 °，試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由.題型七：關(guān)于翻折問題例題7.如圖，矩形紙片 ABCD的邊AB=10cm , BC=6cm , E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊, 點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.跟蹤練習(xí)1. 如圖，AD是AABC的中線，/ ADC=45 。，把ZADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，BC=4, 求BC '的長.（ 一） 折疊直角三角形1.如圖，在AABC中，ZA =

11、90 ° 點(diǎn) D為AB上一點(diǎn)，沿CD折疊AABC ,點(diǎn)A恰好落在 BC邊上的A處,AB=4 ， AC=3 ，求 BD 的長。2. 如圖，RtABC中，/ B=90 °,AB=3 , AC=5 .將AABC折疊使C與A重合，折痕為 DE，求BE的長（二）折疊長方形D 恰好落在1.如圖，長方形 ABCD中，AB=4 , BC=5 , F為CD上一點(diǎn)，將長方形沿折痕 AF折疊，點(diǎn) BC 上的點(diǎn) E 處，求 CF 的長。2. 如圖，長方形 ABCD中，AD=8cm , AB=4cm ，沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C'重合.（1 ） 求 DE 的長;（2）求折痕 EF

12、 的長.3. （2013 ?常德）如圖，將長方形紙片 ABCD折疊，使邊CD落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落 在對(duì)角線D '處.若AB=3 , AD=4，則ED的長為（）1 )求證：4. 如圖，長方形 ABCD中，AB=6 , AD=8，沿BD折疊使 A到A '如A '交BC于F點(diǎn).FB=FE(2 )求證：CA ' BD(3 )求DBF的面積7.如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將 ADE沿AE對(duì)折至 AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AG、CF. (1 )求證：AG /CF; (2)求 的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：

13、例1、如圖，公路 MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn) A處有一所中學(xué)，AP=160 米，點(diǎn)A到公路MN 的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？例2. 一輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車要通過一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利 通過嗎?跟蹤練習(xí)：1. 某市氣象臺(tái)測得一熱帶風(fēng)暴中心從 A 城正西方向 300km 處， 以每小時(shí) 26km 的速度向北偏東 60 °方 向移動(dòng)， 距風(fēng)暴中心 200

14、km 的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。 試問 A 城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響， 請求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒有受影響，請說明理由。2. 一輛裝滿貨物的卡車 ,其外形高 2.5 米,寬 1.6 米,要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ?3. 有一個(gè)邊長為 50dm 的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整數(shù)）4. 如圖，鐵路上 A , B兩點(diǎn)相距 25km , C, D為兩村莊，DA丄AB 于A , CB丄AB 于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路 AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得C, D兩村到E站的距離相等，則E站

15、應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)于最短性問題例1、如右圖1 - 19，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的 正上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線， 而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓 美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（n取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）例2.跟蹤練習(xí)：1. 如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)

16、，最少要花幾秒鐘？/-A2. 如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別等于5cm , 3cm和1cm , A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā)，沿 著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？B3. 一個(gè)長方體盒子的長、寬、高分別為8cm，6cm，12cm, 只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)?B點(diǎn),你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少?4. 如圖將一根13.5厘米長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中,題型十：勾股定理與特殊角（一） 直接運(yùn)用30 ° 或45

17、°的直角三角形1. 如圖，在 ABC中，/ C = 90 ° ,zB = 30 °,AD是ABC的角平分線，若 AC= 2.3，求AD的長。2. 如圖，在 ABC 中，/ ACB = 90 °,AD 是 AABC 的角平分線，CD 丄 AB 于 D，/A= 30 °, CD=2，求AB 的長。3. 如圖，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，/B= 60 °,/C= 45 ° ,AC=2，求 BD 的長。（二） 作垂線構(gòu)造 30 °或45 °的直角三角形（1） 將 105 °轉(zhuǎn)化為45

18、76;和60°1. 如圖，在 ABC 中，/ B= 45。，厶=105 °,AC=2，求 BC 的長。2. 如圖，在四邊形 ABCD 中，/ A= ZC= 45 °，/ADB= /ABC=105 。，若 AD=2,求 AB 的長；若AB+CD= 2,3+2，求 AB 的長。(2 )將75 °轉(zhuǎn)化為30 ° 和453. 如圖，在 ABC 中，/ B= 45。，啟AC=75 ° , AB= . 6 ，求 BC 的長。題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如圖，在 ABC 中，/ C= 90 °,AD 平分/

19、 CAB 交 CB 于 D , CD=3,BD=5 ，求 AD 的長。2. 如圖，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，且/CAD=2 /BAD,若 BD=3 , CD=8，求 AB 的長。（二）巧用“連環(huán)勾”列方程1. 如圖，在 ABC 中，AB=5 , BC=7 , AC= 4.2,求 S ABC2. 如圖，在 ABC 中，/ ACB= 90 ° , CD 丄 AB 于 D , AC=3 , BC=4，求 AD 的長。3.如圖， ABC 中，/ACB=90 °, CD 丄 AB 于 D , AD=1 , BD=4,求 AC 的長4.如圖， ABC 中，/ACB=90

20、° , CD 丄 AB 于 D , CD=3 , BD=4 ,求 AD 的長題型十二：勾股定理與分類討論（一） 銳角與鈍角不明時(shí)需分類討論1.在ABC 中，AB=AC=5，求BC的長2.在AABC 中，AB=15 , AC=13 , AD 為AABC 的高，且 AD=12 ，求AABC 的面積。（二）腰和底不明時(shí)需分類討論3. 如圖1 , ABC中，/ ACB=90 °,AC=6 , BC=8，點(diǎn)D為射線 AC上一點(diǎn)，且 ABD是等腰三角形, 求ABD的周長.（三）直角邊和斜邊不明時(shí)需分類討論1.已知直角三角形兩邊分別為 2和3，則第三邊的長為 2.在ABC中，/ ACB=

21、90 °,AC=4 , BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形 ABD，求CD的長3. 如圖，D(2,1),以0D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)寫出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).題型十三：口 * >. - 以淞或 人問題的證明1.如圖 1 , ABC 中，CA=CB，/ACB=90 ° ,D 為 AB 的中點(diǎn)，M、N 分別為 AC、BC 上一點(diǎn)，且 DMBD丄 DN. (1 )求證：CM+CN=(2)如圖2，若M、N分別在AC、CB的延長線上，探究 CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。2.已知/ BCD= a ,/ BAD= 3 , CB=CD.(1 )女口圖 1 ,若 a = 3 =9