四邊形知識(shí)與題型總結(jié)

1、第十九章 四邊形知識(shí)與題型總結(jié)一.本章知識(shí)要求和結(jié)構(gòu)1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的內(nèi)在關(guān)系.（1）演變關(guān)系圖：（2）從屬關(guān)系平行四邊形（依據(jù)演變關(guān)系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關(guān)系圖中，其中每一個(gè)圓代表一種圖形）2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.名稱平行四邊形矩形菱形正方形定義 的四邊形是平行四邊形 的平行四邊形是矩形 的平行四邊形是菱形 的平行四邊形是正方形性質(zhì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性判定邊角對(duì)角線面積周長(zhǎng)3. （1）平行

2、四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積. 如圖1， =BC·AE=CD·BF（2）同底(等底)同高（等高）的平行四邊形面積相等.如圖2， =4.三角形中位線定理定義: 叫做三角形中位線（與中線的區(qū)分）;定理: 作用:可以證明兩條直線平行;線段的相等或倍分.拓展:三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個(gè) 的小三角形，其面積和周長(zhǎng)分別為原三角形面積和周長(zhǎng)的 和 ;（4）直角三角形的性質(zhì) 定理: 直角三角形斜邊上的中線 5.正方形：（1）對(duì)角線：若正方形的邊長(zhǎng)為a，則對(duì)角線的長(zhǎng)為;正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（3）面積：正方形的面積等于邊

3、長(zhǎng)的平方; 等于兩條對(duì)角線的乘積的一半.周長(zhǎng)相等的四邊形中， 正方形的面積最大.6. 梯形的中位線（1）定義:連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線（2）梯形的中位線定理:梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半.（3）梯形的面積S=×（上底+下底）×高=中位線×高7.幾種特殊四邊形的對(duì)角線 矩形對(duì)角線交角為60°(120°)時(shí),可得：等邊三角形和含30°角直角三角形 （圖） 菱形有一個(gè)角為60°時(shí), 可得： 正方形中可得：含30°角的四個(gè)全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形60°60°（圖

4、） （圖） 對(duì)角線互相垂直的梯形, 對(duì)角線互相垂直的等腰梯形平移腰ADCBFE可得：雙垂圖 可得：等腰直角三角形 （圖） （圖）8. 中點(diǎn)四邊形: （頂點(diǎn)為各邊的中點(diǎn)，需討論對(duì)角線&中位線）(1) 順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ (2) 順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn), 構(gòu)成的四邊形是_ (3) 順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ (4) 順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ 順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ 順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ 順次連結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ 順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是_ 二典型

5、題型歸納（一）概念題1中，A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，則的周長(zhǎng)為 2在中，C=60º,DEAB于E,DFBC于F（1）則EDF= ；（2）如圖，若AE=4，CF=7，則周長(zhǎng)= ;(3) 若AE=3，CF=7，請(qǐng)作出對(duì)應(yīng)圖形，并求周長(zhǎng)3(1)在平行四邊形ABCD中，若C=B+D，則A= . (2)已知在,A比B小20º，則C的度數(shù)是 (3)在中，周長(zhǎng)為100cm，AB-BC=20cm，則AB= ,BC= .CB  EAFD（4）在中，周長(zhǎng)為30cm，且AB：BC=3：2，則AB= cm.（5）（2007河北?。┤鐖D，若ABCD與EBCF關(guān)于B

6、C所在直線對(duì)稱， ABE90°，則F  °4（2007福建福州）下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）A矩形的對(duì)角線互相平分且相等B對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C等腰梯形的兩條對(duì)角線相等D等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等5.（2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（）A一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 B有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形6.（2007甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是 ( )A平行四邊形 B菱形 C矩形 D正方形7.（2007四川眉山）下列命題中的假命題是( ) A一

7、組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B一組鄰邊相等的矩形是正方形 C 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形8.（2007四川成都）下列命題中，真命題是（）兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形9.（2007浙江嘉興）如圖，在菱形ABCD中，不一定成立的（） ACBD 等邊ABD CABCAD（二）圖形的性質(zhì)和判定方法10如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點(diǎn)作/，作BM于M，DN于N，直線MB、ND分別交、于Q、P，試判斷四邊形PQMN的形狀1

8、1如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為正方形邊上的點(diǎn)，而且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH為正方形 12如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，AE=AB，AB=2AD，求EBC的度數(shù)（三）轉(zhuǎn)化的思想將梯形問題通過化歸、分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形問題. 如圖所示：13填空（1）等腰梯形上底長(zhǎng)為3cm，腰長(zhǎng)為4cm，其中銳角等于60º，則下底長(zhǎng)是 （2）等腰梯形一個(gè)底角是60º，它的上、下底分別是8和18，則這梯形的腰長(zhǎng)是 ，高是 ，面積是 （3）在直角梯形中，垂直于底的腰長(zhǎng)5cm，上底長(zhǎng)3cm，另一腰與下底的夾角為30º，則另一腰長(zhǎng)

9、為 ，下底長(zhǎng)為 （4）等腰梯形兩對(duì)角線互相垂直，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則高為 ，面積為 （5）已知在梯形ABCD中，AD/BC，若兩底AD、BC的長(zhǎng)分別為2、8，兩條對(duì)角線BD=6，AC=8，則梯形的面積為 （四）推理論證的進(jìn)一步鞏固 14（2007恩施自治州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形.15如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是直線AB、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，CE、BF交于點(diǎn)H求證：四邊形GEHF是平行四邊形.16平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，且AF=CE，,

10、求證：四邊形AECF是平行四邊形.17求證：正方形的兩條對(duì)角線將之分成四個(gè)全等的等腰直角三角形18已知點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，（1）若BE=CF，如圖13(1)求證：AE=BF并且AEBF；（2）若E、F分別是BC、EF的中點(diǎn)，如圖13(2)，求證：GD=AD GEDHCFB黃藍(lán)紫橙紅綠A19（2007浙江金華）國(guó)家級(jí)歷史文化名城金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花如果有，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）A紅花、綠花種植面積一定相等B紫花、橙花種植面積一定相等C紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D藍(lán)花、黃花種植面積

11、一定相等20.（06鹽城）已知的面積為4，對(duì)角線交于O，則SAOB= 21.若A,B,C三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)22.平行四邊形一邊長(zhǎng)為10，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則它的另一條對(duì)角線a的取值范圍是（ ）A.4<a<16 B.4<a<26 C. 12<a<20 D.8<a<3223.平行四邊形中一邊長(zhǎng)為10cm，那么兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可以是（ ）A4cm和6cm B6cm和8cm C8cm和12cm D20cm和30cm24.（07北京市23）如圖，已知(1)請(qǐng)你在邊上分別取兩點(diǎn)（的中點(diǎn)除外），連結(jié)，

12、寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；(2)請(qǐng)你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明25如圖已知，過頂點(diǎn)A作B、C的平分線的垂線，ADBD于D，AECE于E求證：ED/BC26如圖，已知BD、CE是ABC的兩條高，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)求證：（1）EM=DM；（2）MNDE27（1）如圖27(1)，正方形ABCD，E、F分別為BC、CD邊上一點(diǎn)圖27(1)若EAF=45º求證：EF=BE+DF若AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持EAF=45º，問CEF的周長(zhǎng)是否隨AEF位置的變化而變化？ 圖27（2）（2）如圖27(2)，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)

13、為1，BC、CD上各有一點(diǎn)E、F，如果CEF的周長(zhǎng)為2求EAF的度數(shù)圖27（3）（3）如圖27(3)，已知正方形ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，且滿足BAF=FAE 求證：AE=BC+CE（五）知識(shí)的聯(lián)系與綜合28已知的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為 29. 如圖，已知的兩條對(duì)角線AC與BD交于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）第29題圖A、(-3,2) B、(-2,-3) C、(3,-2) D、(2,-3)第30題圖第32題圖30如圖，兩平面鏡的夾角為，入射光線AO平行于入射到，兩次反射后的光線OB平行

14、于，則角等于 31已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為13，周長(zhǎng)為34，則這個(gè)矩形的面積為 32.（05,濰坊）如圖,在直角坐標(biāo)系中,將長(zhǎng)方形OABC沿OB對(duì)折,使點(diǎn)A落在A1處,已知OA=,AB=1,則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（ ） A.（） B.（） C.（） D.（）（六）面積的問題：各種四邊形面積的求法和等積變換33如圖，E為邊CD上一點(diǎn)，的面積為S，則ABE的面積為（ ） A、S B、S C、S D、第33題圖第34題圖34如圖，在ABCD中，ADBD，A=ABC，如果AD=2，那么ABCD的周長(zhǎng)是 ，面積是 35如圖，在矩形ABCD中，過BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN和PQ，那么圖中矩形AMKP的面

15、積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1 S2 (填“>”、“=”或“<”)第36題圖第35題圖 36如圖，在中，點(diǎn)P在BC上，PQBD交CD與Q，則圖中和ABP面積相等的三角形有 個(gè)，它們分別是: 37如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，第37題圖DE交BC于F求證：38如圖，點(diǎn)E、F分別在的邊DC、CB上，第38題圖且AE=AF，DGAF，BHAE，G、H是垂足求證：DG=BH（七）運(yùn)動(dòng)變換的思想在本章中的應(yīng)用第39題圖239（希望杯第9屆初二第二試）已知ABCD的周長(zhǎng)為52，自頂點(diǎn)D作DEAB，DFBC，E、F為垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的值

16、第39題圖1第40題圖2第40題圖140在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PEAC于E，PFBD于F，則PE+PF= 41（1）如圖41(1)(2)，已知ABD,BCE,ACF是等邊三角形，求證：四邊形ADEF是平行四邊形.圖41（1） 圖41（2）圖41（3）(2)如圖41(3)，已知ABC,以AB、AC為邊分別作等邊三角形ABD,ACF，再以AD、AF為鄰邊作平行四邊形ADEF，求證：三角形BCE是等邊三角形.（3）如圖41(4)，已知ABD,BCE是等邊三角形，A,F是CE，EB上一點(diǎn)，且CA=EB，求證：四邊形ADFC是平行四邊形.圖42（4）42、（2007浙

17、江臺(tái)州）把正方形繞著點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點(diǎn)（如圖）試問線段與線段相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想DCABGHFE第42題圖DCABGHFE第42題圖43、（2007江蘇揚(yáng)州）如圖，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，邊與交于點(diǎn)GDOCFEBA第43題圖（1）以圖中已標(biāo)字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對(duì)角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，重疊部分（四邊形）的面積為，求旋轉(zhuǎn)的角度第44題圖44（2007甘肅隴南）四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG（1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，

18、猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想 45（2007淄博）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，ABCDMNE第45題圖垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明46.（05，青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn).求證：ABMDCM; 四邊形MENF是什么圖形？請(qǐng)證明你的結(jié)論；若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說明理由.47（2007四川資陽）如圖47(1)，

19、已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PEBC于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F.第47題圖2第47題圖1(1) 求證：BP=DP；(2) 如圖47(2)，若四邊形PECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請(qǐng)證明之；若不是，請(qǐng)舉出反例；(3) 試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過程中長(zhǎng)度始終相等，并證明之.（八）函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用48、（2007南充改編）等腰梯形ABCD中，AB15，AD20，C30º M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開始在AB、AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)（1）設(shè)ND為x，用x

20、表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍（2）設(shè)t=10-x,用t表示AMN的面積（3）求AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)AMN的形狀DCBMNAPADCBMN49（2006泰州）將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)， C在x軸上，OA=6，OC=10.（1）如圖1，在OA上取一點(diǎn)E，將EOC沿EC折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E、F，將EOF沿EF折疊，使O點(diǎn)落在AB 邊上的D點(diǎn)，過D 作D 'G/AO 交EF于T點(diǎn)，交OC 于G點(diǎn)，求證：TG=A E.（3）在（2）的條件下，設(shè)T（x，y），探求：y與x之間

21、的函數(shù)關(guān)系式.并指出變量x的取值范圍.（4）如圖3，如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲ABC，使OC=10， OC邊上的高等于6，其他條件均不變，探求：這時(shí)T（x，y）的坐標(biāo)y與 x之間是否仍然滿足（3）中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿足，請(qǐng)證明之；若不滿足，寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.50.（08通州22改編）如圖，在中，AB=8 cm，AD=6 cm，第50題圖DAB=60°，點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，且DM=2 cm，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，EM、CD的延長(zhǎng)線交于G，GF交AD于O，設(shè)AE=CF=x，試用含x的代數(shù)式表示CGF的面積；當(dāng)GFAD時(shí)，求AE的值. （九）翻折問題（特殊四

22、邊形的折疊問題）51.沿特殊四邊形的對(duì)角線折疊（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片ABCD，AB=2， ADB=30°，沿對(duì)角線BD折疊（使ABD和EBD落在同一平面內(nèi)），則A、E兩點(diǎn)間的距離為_. 第51題圖 第52題圖52.沿特殊四邊形的對(duì)稱軸折疊如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2，ABBC，矩形ABCD的面積為S，沿矩形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新的矩形，則這個(gè)新矩形對(duì)角線長(zhǎng)為_. 53.使特殊四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)重合折疊（05，山東威海）如圖，梯形紙片ABCD， B=60°，ADBC，AB=AD=2，BC=6，將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為AE，則CE=_.第53題圖

23、第54題圖 第55題圖54.使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊如圖，折疊矩形的一邊CD，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處，已知AB=10cm， BC=8cm，則EC的長(zhǎng)為_. 55.使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊（崇文）如圖，在梯形ABCD中，DCAB，將梯形對(duì)折，使點(diǎn)D、C分別落在AB上的D、C處，折痕為EF，若CD=3cm，EF=4cm，則AD+BC=_cm. 56.使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱軸上而折疊(1)如圖，已知EF為正方形ABCD的對(duì)稱軸，將A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)處，則DKG=_.第56題圖 第57題圖57.使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱軸上而折疊(2)如圖，有

24、一塊面積為1的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ.(1)求MP的長(zhǎng)度; 求證：以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于.58.兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上,則CBD的度數(shù)為（ ）A.大于90° B.等于90° C.小于90° D.不能確定59.三次不同方式的折疊（03，山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下:第一步:先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖; 第二步:再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，得RtABE，如圖; 第三步:沿EB線折疊得折痕EF，如圖. 利用展開圖探究:AEF是什么三角形?證明你的結(jié)論; 對(duì)于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形? 并證明之.（十）動(dòng)手操作實(shí)踐60.（2007湖南懷化）如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開可以拼成不同形狀的四邊形，請(qǐng)畫出所有可能四邊形并寫出的它的名稱61.（05棗莊,9分）如圖1,四邊形ABCD是等腰梯形,ABDC,由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形. （1）求出梯形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù);（2）試探