平方差公式與完全平方公式知識點總結(jié)

1、乘法公式的復習一、平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2歸納小結(jié)公式的變式，準確靈活運用公式：位置變化，xyyx2x2y2符號變化，xyxy2 2 2x y x y指數(shù)變化，2x2y22x2y24x4y4系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2換式變化，xyzmxyzm2xyzm222x2y2zmzm22x2y22 z2zm zm m22x2y22 z2zm m2增項變化，xyzxyzx2 y2 zxyxy2 z2 2 2 x xy xy y z2 2 2x 2xy y z 連用公式變化，22x y x y x y2 2 2 2 x y x y44x4 y4xyzxyzxyzxyz2x2y 2

2、z4xy4xz完全平方公式活用:把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式： 逆用公式變化，xyzxyz2221. ab 22aba2b22222. ab2aba2b23. a b a b 2 a2 b2224. a b a b 4ab靈活運用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計算問題， 培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例 1已知ab 2， ab1，求a2b2的值。例 2已知ab 8 ， ab2，求 (ab)2 的值。解： (ab)2a2 2abb2(ab)2 a2 2ab b2(ab)2(a b) 24ab(ab)2 4ab=(a b)

3、22a b 8， ab 2 (a b) 2 82 4 2 56例 3 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26三、學習乘法公式應注意的問題(一) 、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”例 1 計算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個因式中 “-5”相同，“2x2”符號相反，因而“-5 ” 是公式( a+b)( a- b)= a2- b2中的 a，而“ 2x2”則是公式中的 b例 2 計算(- a2+4b)2分析：運用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2時，“ - a2”就是公式中的 a， “4b”就是公式

4、中的 b；若將題目變形為 (4 b- a2) 2時，則“ 4b”是公 式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析：粗看不能運用公式計算， 但注意觀察，兩個因式中的“2x”、 “5”兩項同號，“ y”、“ z”兩項異號，因而，可運用添括號的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式例 5 計算 (2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項( 2-1 )，則可運用公式，使問題化繁為簡(三) 、注意公式的推廣計算多項式的平方，由 (a+b

5、) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：2 2 2 2( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方， 等于各項的平方和， 加上每兩項乘積 的 2 倍例 6 計算(2 x+y-3) 2解：原式 =(2x) 2+y2+(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)22 =4x2+y2+9+4xy-12x-6y(四) 、注意公式的變換，靈活運用變形公式例 7 已知： x+2y=7，xy=6，求(x-2y) 2的值例10 計算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b) 2

6、分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算， 但逆 用完全平方公式，則運算更為簡便四、怎樣熟練運用公式：熟悉常見的幾種變化 有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計 算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y）（5y3x）交換 3x和 5y的位置后即 可用平方差公式計算了2、符號變化 如（ 2m7n）（2m 7n）變?yōu)椋?2m+7n）（2m 7n）后就可用平方差公式求解了 （思考：不變或不這樣變， 可以嗎？）3、數(shù)字變化 如 98×102，992，912等分別變?yōu)椋?002）（100+2）， （1001）

7、2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+n）（2mn ）變?yōu)?2（2m+n）（2mn ）2 4 4 4 后即可用平方差公式進行計算了（四）、注意公式的靈活運用 有些題目往往可用不同的公式來解， 此時要選擇最恰當?shù)墓揭?使計算更簡便如計算（ a2+1）2·（a21）2，若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣， 若逆用積的乘方法則后再進一步計算， 則非常簡便 即 原式=（a2+1）（a21） 2=（a41）2=a82a4+1對數(shù)學公式只會順向 （從左到右） 運用是遠遠不夠的， 還要注意 逆向（從右到左）運用如計算（ 1 212 ）（1 312 ）（1 412 ）

8、（ 12 3 4 12 ）（ 1 12 ），若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計算繁難，9 10 而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題即原式=（1 1 ）（1+1 ）（1 1 ）（1+ 1 ）××（ 1 1 ）（1+1 ）2 2 3 3 10 10 =1×3×2×4×× 9 ×11 = 1×11=112 2 3 3 10 10 2 10 20 有時有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有： a2+b2=（a+b）2 2ab，

9、a2+b2=（a b）2+2ab 用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效 如已知 m+n=7，mn=18，求 m2+n2，m2mn+ n2 的值面對這樣的問題就可用上述變式來解，即 m2+n2=（ m+n）22mn=722×（ 18） =49+36=85， m2mn+ n2= （m+n）23mn=723×（ 18） =103下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12 ，（2）（a 1）2的值a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字答案： 1. （1）23；（2）2

10、12. 6 ）五、乘法公式應用的五個層次乘法公式： （a b）（a b）=a2b2，（a ±b）=a2±2abb2，（a ± b）（a 2±abb2）=a 3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用 例 1 計算（ 2xy）（2x y） 第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用例 2 計算第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復 使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應用公式例 3 化簡： （2 1）（2 21）（2 41）（2 81） 1分析直接計算繁瑣易錯， 注意到這四個因式很有規(guī)律， 如果再

11、增 添一個因式“ 21”便可連續(xù)應用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式 =（2 1）（2 1）（2 21）（2 41）（2 81） 1=（221）（2 21）（2 41）（2 81） 1=216第四層次變用 ：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如 a2b2=（ab）22ab，a3b3=（ab） 33ab（a b）等，則求解十分簡單、明快例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2 的值解：ab=9，ab=14，2a22b2=2（a b） 22ab=2（9 22·14）=106，第五層次綜合后用 ：將 （a b） 2=a2 2ab b2和（a b） 2=a

12、2 2ab b 綜合，2 2 2 2 2 2可得 (a b) (ab) =2(a b)；(ab) (ab) =4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷例 6 計算： (2x yz5)(2x yz5) 解：原式=1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5) 2- 1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x 5) 2(y z)2=4x220x25y22yzz2乘法公式的使用技巧： 提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免 負號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算：2( 1)(-1+3x)(-1-3x) ； (2) (-2m-1) 2 改變順序：運

13、用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯 .例2、運用乘法公式計算：1 1 1 a 2(1)(3a-4b )(- 4b - 3 );(2)(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 逆用公式 將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 a2-b 2 = (a+b)(a-b) ，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n, 等等，在解 題時常會收到事半功倍的效果。例3、計算：2 2 2 2 2(1)(x/2+5) 2-(x/2-5) 2 ;( 2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘

14、，一般先將完 全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：(1)(x+y+1)(1-x-y);( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例 2. 計算： 8x y 4x y24 簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的 x 的系數(shù)成 倍數(shù)， y 的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關系，若將第一個多 項式中各項提公因數(shù) 2 出來，變?yōu)?2 4x y ，則可利用乘法公式。4三. 先分項，再用公式例 3. 計算： 2x 3y 2 2x 3y 6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系， 但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著 手觀察，不難發(fā)現(xiàn)， x 的系數(shù)相同， y 的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法 公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將 2 分解成 4 與 2 的和， 將 6 分解成 4 與 2 的