平面幾何的幾個(gè)重要的定理--梅涅勞斯定理

1、平面幾何的幾個(gè)重要的定理一、梅涅勞斯定理：定理 1：若直線 l 不經(jīng)過 ABC 的頂點(diǎn)，并且與 的延長線分別交于 P、 Q、 R，則 BP CQ AR1PC QA RB證：設(shè) hA、hB、 hC分別是 A、B、C到直線 l的垂線的長度，則：BP CQ AR hB hC hA1PC QA RB hC hA hB注：此定理常運(yùn)用求證三角形相似的過程中的線段成比例的條件；例 1：若直角ABC 中， CK 是斜邊上的高，ABC 的三邊 BC、CA、AB 或它們CE 是 ACK 的平分線， E 點(diǎn)在 AK 上， D 是 AC 的中點(diǎn)， F 是 DE 與 CK 的交點(diǎn)，證明：BF / CE證： 在EBC

2、中，作 B的平分線 BH則：EBCACKHBCACEHBCHCBACE HCB 90即： BH CEEBC 為等腰三角形作 BC上的高 EP ，則： CK EP 對(duì)于 ACK和三點(diǎn) D、 E、 F依梅涅勞斯定理有：CD AE KF1DA EK FCKF EK CK 是FC AE ACEP BP BKAC BC BE即：KF BKFC BE依分比定理有：KF BKKC KEFKB CKEBF / CEA1C 1 : A1D1B1C 1 B1D1練習(xí) 1】從點(diǎn) K 引四條直線，另兩條直AC 和A1、B1、 C1、 D1，試證：BC線分別交這四條直線于 A、B、 C、D AD BD定理 2：設(shè) P、

3、 Q、R分別是 ABC 的三邊CA 、 AB上或它們的延長線上的P、Q、R三點(diǎn)中，位于ABC 邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 0或2，這時(shí)若 BPBC 、三點(diǎn)，并且CQ AR1，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線；證：設(shè)直線 PQ 與直線AB 交于 R'，于是由定理BP CQ ARPC QA R' B又 BP CQ AR PC QA RB 由于在同一直線上的AR AR 1，則： ' R' BRBQ、 R' 三點(diǎn)中， 因此 R與R'或者同在 AB 線段上，或者同在 若R與R'同在 AB線段上，則 R與R'必定重合，不然的話，設(shè)AR AR' ,P、2

4、，位于 ABC 邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也為 AB 的延長線上；這時(shí) AB AR AB AR' ,即BR BR ' ,于是可得AR ARBR BRAR AR這與 ' 矛盾BR BR '類似地可證得當(dāng) R 與 R'同在 AB 的延長線上時(shí)， 綜上可得： P、 Q、 R三點(diǎn)共線； 注：此定理常用于證明三點(diǎn)共線的問題，且常需要多次使用R與 R'也重合再相乘；例2.點(diǎn)P位于 ABC的外接圓上； A1、B1、C1是從點(diǎn) P向BC、CA、AB引的垂線的垂足， 證明點(diǎn) A1、B1、 C1共線；證：易得： BA1CA1BPcosPBCCPcosPCBCB1CPcosPCA

5、AB1APcosPACAC1APcosPABBC1PBcosPBAPCB, PCA PBA 180將上面三條式子相乘，且 PAC PBC , PAB可得BA1 CB1 AC1CA1 AB1 BC 1依梅涅勞斯定理可知 A1、B1、 C1三點(diǎn)共線；練習(xí) 2】設(shè)不等腰ABC 的內(nèi)切圓在三邊 BC、CA 、AB上的切點(diǎn)分別為 D、E、F，則 EF 與BC， FD 與CA，DE 與AB的交點(diǎn) X、Y、Z在同一條 直線上；練習(xí) 3】已知直線 AA 1， BB 1，CC1相交于 O，直線 AB 和 A 1 B 1的交點(diǎn)為 C 2，直線 BC與B 1C 1的交點(diǎn)是 A2，直 線AC與 A1C 1的交點(diǎn)是 B

6、 2，試證： A2、 B2、 C 2三點(diǎn)共線；E、C、A，在另一條上取點(diǎn) B、F 、M 、 N ，證明：練習(xí) 4】在一條直線上取點(diǎn)CD和AF ，CD和 AF ，EF 和BC的交點(diǎn)依次為 L、D，記直線 AB 和ED，L、M、N共線練習(xí) 1的證明證：若 AD / A1D1，結(jié)論顯然成立； 若 AD 與 A1D1 相交與點(diǎn) AD LDLDBDLD 1 A1 K A1D1 AK BK B1D1 B1K LD 1將上面四條式子相乘可練習(xí) 2的證明L ，則把梅涅勞斯定理分 LC AKA1C1AC A1K得：AD 得：AC A1D1 B1D1LC1別用于 A1AL 和 B1BL可得： BCLCLC1 B1

7、KB1C1BK 1BC A1C1BD A1D1B1D1B1C1ABC 被直線 XFE 所截，由定理1可得： BXXC又 AEAF代人上式可得：BX FBXCCECY DCAZ EA同理可得：YA AFZB BD將上面三條式子相乘可得：BXCYAZXCYAZB證：1又 X、 Y、 Z都不在ABC 的邊上，由定理2可得 X、 Y即：AC : ADBC BDA1C1B1C1CE AFEA FBZ三點(diǎn)共線練習(xí) 3的證明證：設(shè) A2、 B2、 C 2分別是直線 BC和B1C1，AC和 A1C1，AB 和A1B1的交點(diǎn)， 對(duì)所得的三角形和在它C1,A2 ),OAC和( A1，AA 1 OB 1 BC 2

8、1OA1 BB 1 AC 21們邊上的點(diǎn)： OAB和( A1，C1,B2 )應(yīng)用梅涅勞斯定理有：OC 1 BB 1 CA 2 1 OA11 AA 1 CA 2 1BA 2 1B1,C2 ),OBC和( B1，112CC 1 OB 1 BA 2可得：BC 2 AB 2AC 2 CB 2 由梅涅勞斯定理可知 A2 ,B2 ,C2共線將上面的三條式子相乘CC 1 AB 2 1OC 1 CB 2練習(xí)4的證明證：記直線 EF和CD，EF 和AB，AB和CD的交點(diǎn)分別為 U、V、W，對(duì) UVW，應(yīng)用梅 涅勞斯定理于五組三元 點(diǎn)(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N ),(A,C,E),(B,D,F)

9、，則有 UE VEWAVAVA UF WM WA VF YM WB UD VF VB WD UF 將上面五條式子相乘可 得：VL WMWL UMVL WD WL UD UC VE WC UE塞瓦定理：設(shè)P、Q、的充要條件是UN WC VB11VN UC WBVUNN 1, 點(diǎn)L,M ,N共線平面幾何的幾個(gè)重要定理塞瓦定理R分別是 ABC的BC、CA、AB邊上的點(diǎn)，則 AP、 BQ、 CR三線共點(diǎn)BP CQ AR 1PC QA RB 1證：先證必要性：設(shè) AP、BQ、CR相交于點(diǎn) M，則： BP S ABP S BMPS ABMPC S ACP S CMPS ACM同理：CQQAAR RBBPP

10、C再證充分性：若BMP ACP S CMPS BCMS ABMS ACMS BCM 以上三式相乘，得： BP CQ AR1PC QA RB CQ AR 1，設(shè)AP與BQ相交于M，且直線 CM交AB于R，QA RB由塞瓦定理有：PBCPCQQAARRARB 1，于是：AR ARR B RB因?yàn)镽和R'都在線段 AB上，所以R'必與R重合，故AP、BQ、CR相交于一 點(diǎn)點(diǎn) M ；例1：證明：三角形的中線 交于一點(diǎn)；證明：記 ABC的中線 AA1， BB1，CC1，我們只須證明 AC1 BA1 CB1 1C1B A1C B1A而顯然有： AC1 C1B, BA1 A1C,CB1 B1

11、 A 即 AC1 BA1 CB1C1B A1C B1A1成立， ABC交于點(diǎn)；練習(xí)1】證明：三角形的角平 分線交于一點(diǎn)；銳角三角形的 高交于一點(diǎn)；練習(xí) 2】證明：從L作邊AC和BC的垂線，垂CP ABABC中，角 C的平分線交于 AB于L，例2：在銳角足分別是 M和 N，設(shè) AN和BM的交點(diǎn)是 P，證明：證：作 CK AB下證 CK、 BM、 AN三線共點(diǎn)，且為 P點(diǎn)， 要證 CK、 BM、 AN三線共點(diǎn)，依塞瓦定理 即要證：AM CN BK 1MC NB AK又 MC CN即要證明： AM BKAK NBAML AKC即要證 AL BC 1AC BLCA K LBAMALAKACBNLBKC

12、BK BCNB BLAMCDAE ,AN AF , 于是AMCE BD BFAE CDCE,ANAF BDBF依三角形的角平分線定 理可知： AL BC 1AC BLCK 、BM、AN三線共點(diǎn)，且為 P點(diǎn)CP AB例3.設(shè)AD是 ABC的高，且D在BC邊上，若 P是AD上任一點(diǎn)， BP、CP分別與AC、AB交于 E和F，則 EDA FDA證：過 A作AD的垂線，與 DE、 DF的延長線分別 交于 M、N。欲證 EDAFDA ，可以轉(zhuǎn)化為證明 AM ANAD BCBDF故MN / BC，可得 AME CDE， ANFAD、BE、CF共點(diǎn)于P，根據(jù)塞瓦定理可得： DBCD CEEA FABF 1

13、AE CD AF BDCE BFAM ANEDA FDA練習(xí) 3】已知 ABC外有三點(diǎn) M、 N、R，且 BARCAN , CBM ABR , ACNBCM ，證明： AM、BN、CR三線共點(diǎn)；例4.在 ABC的邊BC、CA、AB上取點(diǎn) A1、 B1、 C1， 證明：AC1 BA1 CB1 sin ACC1 sin BAA1 C1B A1C B1A sin C1CB sin證：如圖對(duì) ACC1和 BCC1應(yīng)用正弦定理，AC1 sin ACC1 CC1sin Bsin AC1B sin C1CBsin CBB1C1CCC1AC1sinACC1sinBC1BsinC1CBsinA：BA1sinBA

14、A1sinC：A1CsinA1ACsinBCB1sinCBB1sinA即：B1A同理sin B1BA 從而 AC1 BA1 CB1C1B A1C B1Asin Csin ACC1 sinA1AC可得：BAA1sin C1CB sin A1ACCA、 AB上取點(diǎn) A1、 B1、 一點(diǎn)，證明，關(guān)于角平 分線對(duì)稱于這些直線的 于一點(diǎn)；練習(xí) 4】在 ABC的邊 BC、練習(xí)1答案：證：記 ABC的角平分線分別是 AA1,BB1,CC1,AC1C1BAC1b, BA1 c,CB1 a A1C b B1A BA1 CB1 1 A1C B1AsinsinC1B三角形的角平分線交于一點(diǎn)；B1BACBB1sin

15、B1BAC1，使 AA1、 BB1、CC1相交于直線 AA2、 BB2、 CC 2也相交練習(xí)2答案：證：記銳角 ABC的角平分線分別是 AA1,BB1,CC1, 設(shè) CB1 x，那么 AB1 bx,則：(bx) 2 BB1 a2x2 CB1222 abc x2b則：B1A同理可得：2 2 2cba2b22bc2cAC12a , C1BBA12 2 2cab, A1C2a 122 cb 2c2 2 2 bac2aAC1 BA1 CB1C1B A1C B1 A 銳角三角形的三條高交 于一點(diǎn)；練習(xí)3的答案：證：設(shè) AM與BC交于 M,BN與AC交于 N，CR與AB交于 R, ABC的 三個(gè)內(nèi)角分別記

16、為A、 B、 CBMCMSABMSACMABsin BAMACsinCAM) A1M1AC CM sin( C )AM即：BM ABsin sin(CM ACsin sin( C )AB BMsin( AABsin sin( B)sin( C)AC sinB)同理：CN BCsin sin( C )AN BAsin sin( AAR CAsinsin( A )BR CBsinsin(將以上三式子相乘可得根據(jù)塞瓦定理可知：AMBM CM 、 BNCNAN 、CRAR 1 BR 三點(diǎn)共線。練習(xí) 4的答案：證： A2、 B2、C2位于AC2 BA2 CB2ABC的邊上，根據(jù)例 4的結(jié)論有：sin A

17、CC 2 sin BAA2 sin CBB 2C2B A2C B2 A 又 AA2、ACC2sin ACC 2sin C2CB sin A2 AC sin B2 BABB 2、 CC 2關(guān)于角平分線對(duì)稱于 AA1、 BB1、 CC 1，則 C1CB , ACCsin BAA2C2CBsin C2CB sin A2 AC從而 AC2 BA2 CB2 1C2B A2C B2 A1sin CBB2 sin C1CB sin A1 AC sin B1BA sin ACC1 sin BAA1 sin CBB1 C1B A1C B1A 1AC1 BA1 CB1sin B2BAAA2、 BB2、CC2三線共

18、點(diǎn)平面幾何的幾個(gè)重要定理托勒密定理托勒密定理： 圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積 （兩對(duì)角線所包矩形的面積 ）等 于兩組對(duì)邊乘積之和 （一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和）設(shè)四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓，則有： AB CD AD BC AC BD ；定理：在四邊形 ABCD中，有： AB CD AD BC AC BD 并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形 ABCD內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立 ；證：在四邊形 ABCD內(nèi)取點(diǎn) E，使 BAE 則： ABE和 ACD相似AB BEAC CDAB CD AC BEAB AE又 且 BAC EAD AC ADABC和 AED相似BC EDAC ADAD BC A

19、C EDAB CD AD BC AC (BE ED)AB CD AD BC AC BD且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) E在BD上時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng) A、B、C、 D四點(diǎn)共圓時(shí)成立；、直接應(yīng)用托勒密定理例 1 如圖 2，P 是正 ABC 外接圓的劣弧 上任一點(diǎn)（不與 B、C 重合）， 求證： PA=PB PC 分析： 此題證法甚多，一般是截長、補(bǔ)短，構(gòu)造全等三角形，均為繁冗若借助托勒密定理論證，則有 PA·BC=PB ·ACPC·AB，AB=BC=AC PA=PB+PC 、完善圖形 借助托勒密定理例2 證明“勾股定理”：在 RtABC 中， B=90 °，求證： AC2=

20、AB2BC2證明：如圖，作以 RtABC 的斜邊 AC 為一對(duì)角線的矩形 ABCD ，顯然 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形由托勒密定理，有AC·BD=AB ·CDAD·BC 又 ABCD 是矩形， AB=CD ，AD=BC ，AC=BD 把代人，得 AC 2=AB2BC 2例 3 如圖，在 ABC 中，A 的平分 線交外接圓于 AD· BC=BD（AB AC） D，連結(jié) BD ，求證：證明：連結(jié) CD，依托勒密定理，有 AD ·BC AB ·CD AC · BD 1= 2， BD=CD 故 AD·BC=AB·B

21、DAC·BD=BD（AB AC）三、構(gòu)造圖形 借助托勒密定理例 4 若 a、b、x、y 是實(shí)數(shù)，且 a2b2=1 ，x2y2=1求證： axby 1證明：如圖作直徑 AB=1 的圓，在 AB 兩邊任作 RtACB 和 Rt ADB ，使 AC a，BC=b ，BDx，ADy由勾股定理知 a、b、x、y 是滿足題設(shè)條件的 據(jù)托勒密定理，有 AC·BDBC·AD=AB ·CDCDAB 1，axby1四、巧變原式 妙構(gòu)圖形，借助托勒密定理例 5 已知 a、b、c 是ABC 的三邊，且 a2=b（b c），求證： A=2 B分析：將 a =b（b c）變形為 a·a=b·bbc，從而聯(lián)想到托勒密定理，進(jìn)而 構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使兩腰為 b，兩對(duì)角線為 a，一底邊為 c證明：如圖 ，作 ABC 的外接圓，以 A 為圓心， BC 為半徑作弧交圓于D，連結(jié) BD、DC、DA AD=BC ，ABD=BAC又 BDA= ACB（對(duì)同?。?1=2依托勒密定理，有 BC ·AD=AB ·CD BD·AC 而已知 a =b（b