第四章機(jī)械振動(dòng)

1、首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出 振動(dòng)分類振動(dòng)分類受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)( (簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)) )無(wú)阻尼自由無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)諧振動(dòng)2tx首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出3 物體或物體的某一部分在某固定位置物體或物體的某一部分在某固定位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng) 實(shí)例實(shí)例: :鐘擺，樂(lè)器，地震，鐘擺，樂(lè)器，地震，心臟的跳動(dòng)等心臟的跳動(dòng)等1 1 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)平衡位置平衡位置首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)最

2、簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解2 2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出5X0 xFKF 線性回復(fù)力線性回復(fù)力 （1 1） 受力受力注意：此處位移注意：此處位移 x 特指振子偏離平衡位置的位移特指振子偏離平衡位置的位移。F = - kx 1. 彈簧振子彈簧振子 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體振動(dòng)的成因：振動(dòng)的成因：回復(fù)力回復(fù)力+慣性慣性首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出6mk 2 令令 xa2 即即makxF 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征： a x （ F x ），方向相反。，方向相反。（2 2）振動(dòng)微分方程）振動(dòng)微分方程

3、 （動(dòng)力學(xué)特征）（動(dòng)力學(xué)特征）由牛頓定律：由牛頓定律：以振子為對(duì)象以振子為對(duì)象kxdtxdm 22簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程0dd222 xtx X0 xFKxtx222dd 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出7積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(0 tAx設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為:000 =時(shí)，時(shí)，v vtxx簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式解得解得（3 3）振動(dòng)表達(dá)式）振動(dòng)表達(dá)式 （運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）（運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）0222 xdtxd 解微分方程解微分方程首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出82. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)基本特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)基本特征 線性回復(fù)力線性

4、回復(fù)力 （1 1） 受力受力F = - kx （2 2）振動(dòng)微分方程）振動(dòng)微分方程 （動(dòng)力學(xué)特征）（動(dòng)力學(xué)特征）0dd222 xtx )cos(0 tAx（3 3）振動(dòng)表達(dá)式）振動(dòng)表達(dá)式 （運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）（運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出9)cos(dd0222 tAtxa)cos(0 tAx由由)sin(0 tAtxddv簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式3. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度 最大速度最大速度最大加速度最大加速度 A maxv2max Aa 速度速度加速度加速度首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出總結(jié)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程和特征總結(jié)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程

5、和特征 0dd222 xtx （2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程kxF （1）物體受線性回復(fù)力作用物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 x)sin(0tAv)cos(0tAx （3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程xa2 （4）加速度與位移成正比而方向相反加速度與位移成正比而方向相反首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出11 1. 振幅振幅 A)cos(0 tAxmaxxA （1）周期）周期 T：完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間2. 周期、頻率、圓頻率周期、頻率、圓頻率 （3）圓頻率）圓頻率 ： 秒內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)秒內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)（2）頻率）

6、頻率 ：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)所完成全振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)所完成全振動(dòng)的次數(shù)T1 22Ttx 圖AA xT2Tto周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān)固有周期固有周期 T固有頻率固有頻率 f固有圓頻率固有圓頻率 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出12位相的意義位相的意義：表征任意時(shí)刻：表征任意時(shí)刻 t 物體振動(dòng)的狀態(tài)。物體振動(dòng)的狀態(tài)。 0t 3. 位相和初位相位相和初位相（1）位相：）位相：（2）初位相：）初位相： 0 ， t = 0 時(shí)的位相時(shí)的位相，在，在 0 2 之間取值。之間取值。)cos(0 tAx 4. 由初始條件確定振幅由初始條件確定振幅

7、 A 和初位相和初位相 022020 v xA000tanxv 對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，決定，振幅和初相振幅和初相由由初始條件決定初始條件決定. .)cos(0 tAx)sin(0 tAv 0000sincos AvAx000vv ，xxt初始條件初始條件0t首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出13討論討論0, 0, 000vxt已知已知 ，求，求0 )2 cos( tAx 取取20 圖圖tx AA xT2Tto)cos(0 tAx)sin(0 tAvX0v t=0時(shí)時(shí), x0=0, v00X0+Av t=0時(shí)時(shí), x0=A, v0=0

8、)cos(0 tAx)sin(0 tAvX0 A2v t=0時(shí)時(shí), x0=A/2, v0 0 ，表示，表示 x2 振動(dòng)超前振動(dòng)超前 x1 振動(dòng)。振動(dòng)。首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出lTFP mglmglM sinsin5，時(shí)時(shí)動(dòng)力學(xué)分析：動(dòng)力學(xué)分析： lgt 22ddOAm22ddtJmgl 2mlJ .單擺單擺轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)正正向向線性回復(fù)力矩線性回復(fù)力矩2tddJJM2 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出)cos(00 tlg 2 令令glT2 0dd222 t lgt 22ddlTFPOAm2mlJ 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)正正向向注意：注意：角速度角速度、與角頻率與角頻率區(qū)別區(qū)別角速

9、度角速度:)sin(00 t首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出2.2.復(fù)擺復(fù)擺22ddtJmgh Jmgh 2 令令)5( *hgm（C點(diǎn)為質(zhì)心）點(diǎn)為質(zhì)心）COFhM mghmghM sin 222dd t轉(zhuǎn)動(dòng)正向轉(zhuǎn)動(dòng)正向22tJJMdd 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出0dd222 t)cos(00 t角諧振動(dòng)角諧振動(dòng)mghJTJmgh22 *hgm（C點(diǎn)為質(zhì)心）點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向轉(zhuǎn)動(dòng)正向首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出Jmgh復(fù)擺復(fù)擺mk彈簧振子彈簧振子lg單擺單擺 2 T首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出23P126 例例4.1一質(zhì)量為一質(zhì)

10、量為m的物體的物體懸掛于輕彈簧下端，不計(jì)空氣懸掛于輕彈簧下端，不計(jì)空氣阻力，試證明其在平衡位置附阻力，試證明其在平衡位置附近的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)近的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).證證: 取坐標(biāo)如圖所示取坐標(biāo)如圖所示該系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)該系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng).klmg )(22lxkmgdtxdm kxdtxdm 220222 xdtxd mk 2 A處：處：x 處：處：首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出24結(jié)論：一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)恒力作用（如結(jié)論：一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)恒力作用（如 mg），），只要將原系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到恒力作用后新的平衡位置處，該系只要將原系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到恒力作用后新的平衡位置處

11、，該系統(tǒng)仍是一個(gè)與原來(lái)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征（統(tǒng)仍是一個(gè)與原來(lái)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征（F、 ）相同的簡(jiǎn)諧振）相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)，此時(shí)回復(fù)力動(dòng)系統(tǒng)，此時(shí)回復(fù)力 F = mg k（x+l）稱準(zhǔn)彈性力。）稱準(zhǔn)彈性力。0222 xdtxd mk 2 )(22lxkmgdtxdm 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出)cos(0 tAx 以以O(shè)為原點(diǎn)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 的的端點(diǎn)在端點(diǎn)在 x 軸上軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). .A首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出26xo0 A 0t0 x 自自O(shè)x軸的原點(diǎn)軸的原點(diǎn)O作作一矢量一矢量 ，使它的模使它的模等于振動(dòng)的振幅等于振動(dòng)

12、的振幅A，并并使矢量使矢量 在在Oxy平面平面內(nèi)繞點(diǎn)內(nèi)繞點(diǎn)O作作逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蚍较虻膭蚪撬俎D(zhuǎn)動(dòng)的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角其角速度速度 與振動(dòng)圓頻率與振動(dòng)圓頻率相等相等，這個(gè)矢量就叫這個(gè)矢量就叫做做旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量. A A旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A00cos Ax 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出（1）t =0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量 A 與與 x 軸夾角軸夾角0 (初位相）初位相）;oAtt 0 t)cos(0 tAxxxo0 A 0t0 x00cos Ax （2）旋轉(zhuǎn)矢量）旋轉(zhuǎn)矢量 A以以角速度角速度沿逆時(shí)針?lè)较?，沿逆時(shí)針?lè)较颍?t 時(shí)刻，時(shí)刻，A與與 x 軸夾角軸夾角t + 0（位相）；（

13、位相）；（3）以）以O(shè)為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量A的端點(diǎn)，在的端點(diǎn)，在 x 軸上的投影軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出)cos(02tAa2 0tmvvxyOA0t)cos(0tAxnaa A mv)sin(0tAv2m Aa 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧振動(dòng)的 圖圖tx 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出30abcdovmv 0 x0,v0v 0v 0 x0 x0,v0 x0,v0a點(diǎn)點(diǎn)：x = A，0= 0c點(diǎn)點(diǎn)：x =A，0= b點(diǎn)點(diǎn)：x = 0，v 0，平衡

14、位置處，平衡位置處，0= 3/2 , 或或0= /2 0 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出P130例例4.2如圖如圖4.6所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端系一輕繩，所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端系一輕繩，繩過(guò)定滑輪掛一質(zhì)量為繩過(guò)定滑輪掛一質(zhì)量為m的物體的物體.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，滑輪，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為，半徑為R，若物體，若物體m在其初始位置時(shí)彈簧無(wú)伸在其初始位置時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，然后由靜止釋放。長(zhǎng)，然后由靜止釋放。(1)試證明物體試證明物體m的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)；的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)； (2)求此振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期；求此振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期； (3)寫出振動(dòng)方

15、程寫出振動(dòng)方程.解解(1)若物體若物體m離開初始位置的距離為離開初始位置的距離為b時(shí)，受力平衡時(shí)，受力平衡以此平衡位置以此平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x 軸正向，當(dāng)物體軸正向，當(dāng)物體m在坐標(biāo)在坐標(biāo) x 處時(shí)，有處時(shí)，有kbmg tdxdmma22 1T-mg JRTRT 21)(2bxkT Ra 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出32由上由上4 4式解得式解得此振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)此振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng). .(2)(2) 圓頻率圓頻率周期周期 0)(222 kxdtxdRJm0222 xRJmkdtxd2RJmk kRJmT222 0222 xdtx

16、d 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出33振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為(3)依題意知依題意知 t0 時(shí)，時(shí)，x0b，v00，22020 vxA 0)cos(0 tAx2RJmk xoA 0 x0b)cos(2 tRJmkkmgkmgb kbmg t = 0首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出34P131例例4.3已知如圖所示的諧振動(dòng)曲線，試寫出振動(dòng)方程已知如圖所示的諧振動(dòng)曲線，試寫出振動(dòng)方程.0cos()xAt解：設(shè)諧振動(dòng)方程為解：設(shè)諧振動(dòng)方程為t1 s時(shí)，時(shí)，x2 cm = A/2，v0，從圖中得：從圖中得：A4 cm，023t 0 時(shí)，時(shí)，x0 = 2cm =

17、A/2，v0 0 ，P134 例例4.4如圖所示，光滑水平面上的彈簧振子由質(zhì)量為如圖所示，光滑水平面上的彈簧振子由質(zhì)量為M的木的木塊和勁度系數(shù)為塊和勁度系數(shù)為k的輕彈簧構(gòu)成的輕彈簧構(gòu)成.現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，速度為，速度為u0 的的子彈射入靜止的木塊后陷入其中，此時(shí)彈簧處于自由狀態(tài)子彈射入靜止的木塊后陷入其中，此時(shí)彈簧處于自由狀態(tài).(1)試寫試寫出該諧振子的振動(dòng)方程；出該諧振子的振動(dòng)方程；(2)求出求出 處系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能處系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能.2Ax 0000)(uMmmVVMmmu k0uM0Vmo0 txMmk 圓頻率圓頻率)(0022020MmkmuVvxA 振幅振幅首首 頁(yè)頁(yè)

18、上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出43諧振子的振動(dòng)方程為諧振子的振動(dòng)方程為 )cos(0 tAx由初始條件由初始條件 t = 0 時(shí)，時(shí)， x0 = 0，v0 = V0 0 2,230 或或221kxEp pkEEE )(881)2(2120222MmumkAAk )(83832022MmumkA (2) 時(shí)諧振系統(tǒng)的勢(shì)能和動(dòng)能分別為時(shí)諧振系統(tǒng)的勢(shì)能和動(dòng)能分別為2Ax Mmk )(0MmkmuA )23cos()(0 tMmkMmkmu228121kAkA 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的同方向、同頻率同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的簡(jiǎn)諧

19、振動(dòng)。10 1A1xxO2x2A20 )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx兩振動(dòng)的位相差兩振動(dòng)的位相差: = 常數(shù)常數(shù)1020 首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出 兩個(gè)兩個(gè)同同方向、方向、同同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成合成后仍后仍為為同同頻率的頻率的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)。)cos(21020212221 AAAAA)cos( tAx10 1A1xxOA x21xxx2x2A20 202101202101coscossinsin AAAA tan21xxx )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx兩振動(dòng)的位相差兩振動(dòng)的位相差: = 常數(shù)常數(shù)1020 )cos()cos(202101 tAtA首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出too10200 )cos()(021 tAAxA1A2AT（1）位相差位相差21020k ), 2 1 0( ，kxx討論討論合振動(dòng)的振幅合振動(dòng)的振幅A與兩分振動(dòng)位相差與兩分振動(dòng)位相差 的關(guān)系的關(guān)系)(1020 同相同相加強(qiáng)加強(qiáng)合振動(dòng)振幅最大合振動(dòng)振幅最大 Amax=A1+A2首首 頁(yè)頁(yè) 上上 頁(yè)頁(yè) 下下 頁(yè)頁(yè)退退 出出xto)cos(021 tAAx2A20 1AA（2）相位差相位差)12(1020 k )