第3章導數習題課ppt課件

1、xyx 0lim微微 分分xyydd 關關 系系)(dddddxoyyxyyyxy 第三章第三章 導數導數4 4、已已知知2)2()22(lim0 hfhfh，則則 )2(f . . 1 解解hfhfh)2()22(lim0 hfhfh2)2()22(lim20 )2(2 f ,2 解解5 5、設函數設函數)(xf可導，可導，0 a，則，則 )()(1lim0arxfarxfrr( ( ). ). (A) (A) )(2xf (B)(B)(1xfa (C)(C) )(2xfa (D) (D) 以上都不對以上都不對. . C )()(1lim0arxfarxfrr)()()()(lim1)()(

2、lim1/00hxfhxfhxfhxfahhxfhxfaharhh )(2xfa 7 7、設設)e1eln(2xxy , , 求求y . . 解解)e12e2e (e1e1222xxxxxy .e1e2xx P105.三、三、4.解解.,e1elnearctan22yyxxx 求求化簡：化簡：xxxxy222e1e1e1e .e11e2xx )e1ln(221earctan)e1ln(eln21earctane1eln21earctan22222xxxxxxxxxy )e1ln(21earctan2xxx .,)(sincosyxxyx 求求解解 yyxxxxxsincossinlnsin12

3、 xxxxxyxsinlncosln)(sinlnlncos )sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxyx P105.三、三、9.).(,)1(lim)(tfxtttxxtf 求求解解P105.三、三、13.txxxtttf)1(lim)( txxxtt)1(lim2t2ett )e()(2 tttftttt2ee22 .)e21(22tt 8 8、設設函函數數)(xf在在 11， 上上連連續(xù)續(xù)，xxfxg2sin)()( ，求求)0(g . . 解解0)0()(lim)0(0 xgxggx用定義做，用定義做，xxxfx20sin)(lim xxfx20lim)0(

4、.0 求求雙雙曲曲線線 2axy 上上任任一一點點處處的的切切線線與與兩兩坐坐標標軸軸構構成成的的三三角角形形的的面面積積. . 2 2、解解設曲線設曲線2axy 上任一點為上任一點為),(00yx， 則則 200ayx ， 切切線線方方程程為為 )(020202xxxaxay ， 它它在在兩兩坐坐標標軸軸上上的的截截距距的的絕絕對對值值分分別別為為|2|0 x和和022xa， 于是構成的三角形的面積為于是構成的三角形的面積為 .222212020axaxS 設設)(xyy 是是由由方方程程 yxxy e所所確確定定的的隱隱函函數數, ,求求: :)0(),0(yy . . 解解例例方方程程兩

5、兩邊邊關關于于x求求導導, ,得得 (1) 1e)(，yyxyxy ,1)0( y而而.0)0( y(1)(1)式兩邊再關于式兩邊再關于x x求導：求導： ，yyxyyxyxyxy )2(e)(e2代代入入，將將0)0(,1)0( yy.1)0( y得得可導可導可微可微。 微分的定義微分的定義:，)( xoxAy xxfyd)(d 微分在近似計算中的運用微分在近似計算中的運用)()()()(000 xxxfxfxf )(0 xx 常用近似公式常用近似公式)(很很小小時時x;1e)1(xx )()0()0()(很很小小時時，特特別別xxffxf ;)(sin)4(為為弧弧度度xxx .tan)5

6、(xx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx .211cos)6(2xx 解解設設)1ln(122xxxxy ，求求yd. . 22221111xxxxy ，212x .d12d 2xxy P105.三、三、10.解解求求02. 1arctan的的近近似似值值. . )()()()(000 xxxfxfxf 利用近似計算公式利用近似計算公式，有有)1(1111arctanarctan2 xx)(0 xx .7954. 002. 021402. 1arctan 所所以以P105.三、三、14.內容提要內容提要一、導數定義一、導數定義 )(xfy 在在ax 處處可可導導 )(),(afaf

7、 存存在在且且相相等等； 第一種方式：第一種方式：axafxfafax )()(lim)(第二種方式：第二種方式：xafxafafx )()(lim)(0關關系系：可可導導連連續(xù)續(xù)，反反之之不不然然； 導數的幾何意義導數的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率.xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 根本初等函數的導數公式根本初等函數的導數公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxxx1)(lne)e( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)c

8、otarc(11)(arccosxxxx 求導的四那么運算法求導的四那么運算法那么那么設設)(xuu , ,)(xvv 可可導導, ,則則vu , ,uv, ,vu均均可可導導, ,且且有有 .)()1(vuvu .)()2(vuvuuv .)()3(2vvuvuvu . )()()2(是是常常數數cuccu 復合函數的求導法那復合函數的求導法那么么的導數為的導數為)(xfy )()()(xufxy 隱函數求導法；隱函數求導法；對數求導法；對數求導法；高階導數；高階導數；常用常用n階導數公式階導數公式:)2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxk

9、kxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxe)e ()( nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx導數在經濟分析方面的運用導數在經濟分析方面的運用: :邊沿函數邊沿函數: : 即導數；如邊沿本錢，邊沿收益等。即導數；如邊沿本錢，邊沿收益等。yyxxy EE彈性函數：彈性函數：典型例題典型例題例例1 1設設 1 , 1 , )(2xbaxxxxf處處處處可可導導，求求a, , b的的值值. . )(xf在在1 x處處連連續(xù)續(xù)， 而而)(xf在在1 x處處可可導導, , 解解，ba 1 ，ab 1 1)1

10、()(lim)1(1 xfxffx11lim21 xxx，2 11lim1 xbaxx1)1()(lim)1(1 xfxffx1lim1 xaaxx,a ，2 a.1 b于于是是設設 0 , 00 , 1sin)(2xxxxxf，求，求)0(f . . 解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 .0 有界變量乘有界變量乘以無窮小以無窮小例例2 2).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求設設0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 解解例例3 3xxxxxx)100()2)(1

11、(lim0 解解例例4 4設設)(xf是是可可導導函函數數, ,則則 xxfxxfx)()(lim220（ ）. . （A A） 2)(xf （B B）)(2xf （C C）)()(2xfxf （D D）不不存存在在 xxfxxfx )()(lim220)()(lim)()(lim00 xfxxfxxfxxfxx )()(2xfxf 這這里里用用到到)(xf的的連連續(xù)續(xù)性性: : )()(lim0 xfxxfx . . 或解：直接利用復合函數的求導法那或解：直接利用復合函數的求導法那么，么， )(2 xf原原式式. )()(2xfxf C例例5 5求以下函數的導數：求以下函數的導數：1.322

12、 )e(xxy )e211()e(322 31 2 xxxy 2.xaaxy aaxaaxyxaxaln1 ln1axaaxxa 解解解解3.解解)ln(2222222axxaaxxy 2222221axxxaxy .22ax 2222212axxaxxa 2222221axxax 22221axa 4.解解xxxxy222e1eln)1ln( 先化簡先化簡,，)e1ln(21)1ln(22xxxxy xxxy222e1e111 .e111122xx 解解這是籠統(tǒng)函數求導，這是籠統(tǒng)函數求導，5.設設)(e)(lnxfxfy , ,其其中中)(xf可可微微, ,求求 y . . )(e1)(ln

13、xfxxfy .)(ln)()(ln1e)( xfxfxfxxf)(e)(ln)(xfxfxf 留意：留意：這里這里)(xf和和)(ln xf表示表示不同不同的的函數函數。 設設)1(12 xxy, ,求求)(ny. . 解解例例6 6， xxxy2111121先分解，先分解，再利用再利用，1)(!)1(1 nnnxnx所以所以.2) 1(1) 1(12!) 1(111)( nnnnnxxxny求求由由方方程程0)cos(sin yxxy所所確確定定的的隱隱函函數數)(xyy 的的導導數數. . 隱函數求導隱函數求導 ：解解例例7 7方方程程兩兩邊邊關關于于x求求導導, ,得得 ，0)1()s

14、in(cossin yyxxyxy解得解得.)sin(sin)sin(cosyxxyxxyy 解解例例9 9對數求導法對數求導法，)ln(ln)ln(ln)ln(lnlnaxbxbabaxy 設設baxaxxbbay) () () ( , ,)0, 0( ba, ,求求 xydd. . 兩邊取對數，兩邊取對數，兩邊關于兩邊關于x x求導求導, ,得得 xbxabayy lnln，xabba ln. ) ln() () () ( xabbaaxxbbaybax 設設xxy)1(3 ，求求y 。 解解例例1010，)1ln(ln3xxy ，33313)1ln(xxxyy .13)1ln()1(33

15、33 xxxxyx，由方程由方程設函數設函數)0, 0()( yxxyxfyyx兩邊取對數，兩邊取對數，,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy .)1(ln)1(ln)1(ln322 yxyxxyy解解例例1111.dd22,xy求求所確定所確定解解例例1212若若曲曲線線baxxy 2與與312xyy 在在點點 ) 1, 1( 處處相相切切, ,求求ba,. . 因因為為曲曲線線baxxy 2過過點點)1 , 1( , , ，11 ba對對方方程程312xyy 兩兩邊邊關關于于x求求

16、導導, , ，2332xyyy 將將)1, 1( 代入代入, , .1 y得得，求求導導對對baxxy 2，得得axy 2將將1 x代代入入, , .12 ay得得，所所以以1 a.1 b于于是是解解例例1414求求02. 1arctan的的近近似似值值. . )()()()(000 xxxfxfxf 利用近似計算公式利用近似計算公式，有有)1(1111arctanarctan2 xx)(0 xx .7954. 002. 021402. 1arctan 所所以以練習：練習：P146 復習題三復習題三三、三、1. 4. 6. 7. 12. 14. 16.四、四、2. 3.選做選做 4.五、五、1

17、.補充題補充題1.1.2.2.ba,為為何何值值時時, , , 2, 2, 1)(2xbaxxxxf在在點點2 x 處可導處可導? 3.3.設設211ln)(xxxf , ,求求)0(f . . .11)(22nyxxy求求設設， 4.4.25552yxxy 求求設設，5.5.設設)()2)(1()(nxxxxf ，求求)0(f . . 6.6.求求曲曲線線023222 yxyx的的切切線線, ,使使該該切切線線 平平行行于于直直線線 012 yx. . 7.7.,)(sincosyxxyx 求求設設8.8.設設函函數數)(xyy 由由方方程程yyfx )(ee 確確定定, 其其中中f可可導導

18、, ,求求yd. . 解解先化簡，先化簡，所以所以設設211ln)(xxxf , ,求求)0(f . . ，)1ln()1ln(21)(2xxxf ， 2121121)(xxxxf.23)0( f， 2222)1()1(2)1(121)(xxxxf1122 xxy，11111 xx.)1(1)1(1!)1(11)( nnnnxxny.25552yxxy 求求設設，設設)()2)(1()(nxxxxf ，求求)0(f . . 解解 用用對對數數求求導導法法 求求曲曲線線023222 yxyx的的切切線線, ,使使該該切切線線 平平行行于于直直線線 012 yx. . 解法一解法一方方程程兩兩邊邊關關于于x求求導導, ,得得 ，yyyfxyyfyf )()(e)(ee解得解得，)( )(e )(