初二數(shù)學(xué).春.直升班.教師版.第14講四邊形動(dòng)態(tài)問題

1、模塊一動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)關(guān)系模塊二運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊圖形第十四講四邊形動(dòng)態(tài)問題動(dòng)態(tài)幾何問題指圖形中的點(diǎn)、線或部分圖形按照一定的方式或速度運(yùn)動(dòng)變化，從而探索出一些 變化過程中的函數(shù)關(guān)系的問題或存在性問題。是近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)類問題。主要包括求解線段 長度、線段比例、周長、面積等函數(shù)關(guān)系；或在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的一些特殊圖形、圖形關(guān)系等問題。 解題時(shí)要善于觀察運(yùn)動(dòng)過程中的不變性。解決動(dòng)態(tài)幾何問題的三步曲：1 .用自變量表示線段長（自變量一般為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度或某條線段長）：2 .分析運(yùn)動(dòng)停止條件，求出自變量取值范圍；3 .分析運(yùn)動(dòng)軌跡，重點(diǎn)關(guān)注臨界情況，找到分類討論標(biāo)準(zhǔn)。模塊一動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)關(guān)系已知：等邊三

2、角形4SC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在/XABC的邊,48上沿,48方向以 1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)N分別作，空邊的垂線，與ABC的其它邊交于尸、。兩點(diǎn)，線段 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形尸的面積為 S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為九求四邊形MN0尸的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函 數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量，的取值范圍.【解析】當(dāng)0W 時(shí)，S四邊.nqp=3(PM + QN)-MN= gG +同+ 1)=后+ 坐當(dāng)1W2時(shí)Spq邊形MNQP =+ O') . MN=?再 + 向3T)=M ;當(dāng) 2Vd3時(shí)，Sg邊.nqp=

3、；(PM + 2N).MN7= ->/3(3-0 + V3(4-0 =->/3/ + -V3 .綜上所述,【教師備課提示】這道題主要講解動(dòng)態(tài)問題的基本三步走.如圖，在平行四邊形,鋁8 中，A0 = 4cm, Z4 = 60°, BDAD. 一動(dòng)點(diǎn)尸從上出發(fā)，以每秒 1cm的速度沿X5C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作直線PM,使尸M_LAD.(1)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與乂。相交于點(diǎn)E,求AAPE的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)。也從K出發(fā)沿Af C的路線運(yùn)動(dòng)，且在，空上以每秒1cm 的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在3。上以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).過。作直線QV,使設(shè)點(diǎn)。運(yùn) 動(dòng)

4、的時(shí)間為，秒©KfKlO),直線PM與QN截平行四邊形,138所得圖形的面積為Sen?.求S關(guān) 于，的函數(shù)關(guān)系式.pq【解析】 當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，AP = 2cm,林夕、/由 ZA = 60° ,知 AE = 1cm, PE = >/3 cm ./,6 2AKB, , Vape- cm (2)當(dāng)0«f<6時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。都在.鋁上運(yùn)動(dòng)，設(shè)尸M與4D交于點(diǎn)G, QN與AD交 于點(diǎn)尸，則 AQ = f, AF = , QF = 1 , AP = t + 2 , AG = 1 + , PG = >/3 + 1.2222，此時(shí)兩平行線截平行四邊形4SCD的

5、面積為S = *f + * .當(dāng)64FW8時(shí)，點(diǎn)尸在3C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。仍在,48上運(yùn)動(dòng).設(shè)PM與。交于點(diǎn)G,0N與乂。交于點(diǎn)尸，則AQ = ,從尸=g，DF = 4 g, QF =與, BP = t-6, CP = lQ-t, PG=(U)6 而 8O = 4>/J,故此時(shí)兩平行線棧平行四邊形438 的面積為S = -)叵產(chǎn)+103-34召.8當(dāng)84 Y10時(shí)，點(diǎn)尸和點(diǎn)。都在5c上運(yùn)動(dòng).設(shè)PM與。交于點(diǎn)G, QN與。交于點(diǎn)產(chǎn)，則 CQ=20 2z, QF = (20-2t)>j3 , CP = lO-t, PG = dQ-1).，此時(shí)兩平行線棧平行四邊形,138 的面積為5 = 手產(chǎn)

6、-30 + 150。.苧 + 乎(0<t<6)故S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式為S = <-WL、103 34jT (6</<8).8乎 J - 30后 +150追(8 4 Y 10)【教師備課提示】這道題主要讓孩子們練習(xí)下方法，鍛煉計(jì)算能力.如圖，矩形。婚。頂點(diǎn)5的坐標(biāo)為(8,3),定點(diǎn)。的坐標(biāo)為(12,0),動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2 個(gè)單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x 軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，尸。兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止.在運(yùn)動(dòng)過程中，以P。為斜邊在x軸上方作 等腰直角三角形P0R.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.(1)當(dāng)，=.時(shí)，P

7、QR的邊。R經(jīng)過點(diǎn)3；(2)設(shè)FQ?和矩形0HBe重疊部分的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.【解析】(D當(dāng)f = l秒時(shí)，PQR的邊0R經(jīng)過點(diǎn)5.(2)當(dāng)0WY1時(shí)，如圖1所示.設(shè)產(chǎn)區(qū)交2C于點(diǎn)G,過點(diǎn)、P 作 PH ± BC 于點(diǎn)、H, CH = OP=2t, GH = PH = 3.139S = S矩形0Ajjc -S梯形opgc = Sx3 (2t + 2t + 3)x3 = 6t :當(dāng)lv/42時(shí)，如圖1-2所示.設(shè)PR交BC于點(diǎn)、G, RQ爻BC、AB于點(diǎn)S、T.過點(diǎn)、P 作 PH IBC 于點(diǎn)、H, CH = OP=2t, GH = PH = 3.QD=t, W'

8、;l AQ = AT = 4-t , A BT = BS = AB-AQ = 3-(4-t) = t-l.當(dāng)2V® 時(shí)，如圖1-3所示.設(shè)RQ與AB交于點(diǎn)T, 則 A7 = AQ = 4，. PQ = 12-3t ,； PR = RQ = Q2-3t).S = SAPOft - S.AOT = - PR' -AQ2=-(l2-31):-(4-0：= -t- -14/ + 28 .段R2 2H 4、7 2v 7 4f39-6t(Q<t<l)綜上所述，S =-1z:-5/ + 19(1</<2).714i + 28(2<tW4)o模塊二運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊

9、圖形如圖，在四邊形中，DC/AB, DAYAB, AD = 3cni, 0c = 5cm, AB=3cm.如果點(diǎn)尸由B點(diǎn)出發(fā)沿3。方向以lcm/s速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。由d點(diǎn)出發(fā)以2cm/s速度沿45方 向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)3點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接產(chǎn)。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).(1)當(dāng)，為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)？ (2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求f的值.【解析】1 = 4;(2) %=生=8-472,132-8、1 337【教師備課提示】這道題主要考查運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的等腰三角形，需要分類討論，注意題目中的特 殊角.如圖5-1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。48。的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別

10、為A(12,0), C(0,4),點(diǎn)。為 Od邊的中點(diǎn)，連接5D(1)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)： ，BD =：(2)如圖5-2,若點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿OfA f B C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) N從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OfCf 8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M, N相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)即停止，設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，(秒)，求使得MON為直角三角形時(shí)所有，值和取值范圍.圖5-1圖5-2備用圖【解析】(D (6,0), 2713.(2)如圖1所示：VOC = 4, DA = 6,.點(diǎn)、N從。到。需要4s,點(diǎn)M從。到d需要2s.0</42時(shí)，點(diǎn)"在0。上，點(diǎn)在。4上.當(dāng)0C/42時(shí)，A?！睘橹苯侨?/p>

11、角形.初二數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班如圖2所示：當(dāng)?shù)腣_LOC時(shí)，AAQN是直角三角形.： MN1OC, ：, ZMNO = 90°. ZMNO=ZNOA = ZOAM.，四邊形CUAW為矩形.：,ON = AM .：,t = 3t-6.解得：，= 3.當(dāng)f = 3s時(shí)，AQM為直角三角形.C（N）如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)。重合時(shí)，NOM為直角三角形.，一.圖三綜上所述，當(dāng)（XY2時(shí)或f = 3時(shí)或1 = 4時(shí)，N0M為直角三角形.【教師備課提示】這道題主要考查運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的宜角三角形，需分析運(yùn)動(dòng)過程.從M)4-x己知：矩形8中，AD>AB，。是對(duì)角線的交點(diǎn)，過O任作一直線分別交3C、

12、，狂）于點(diǎn)M、N （如圖6-1）.（1）如圖6-2,四邊形是由四邊形CMZ）沿MN翻折得到的，連接CAT,求證：四邊形，處/CN 是菱形：（2）在（1）的條件下，如圖6-3,若AB = 4cm，BC = 8cm，動(dòng)點(diǎn)尸、。分別從d、。兩點(diǎn)同時(shí)出 發(fā)，沿AM8和CDN各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)尸自AfWfBfA停止，點(diǎn)。自 CfOfN C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)尸的速度為每秒5cm,點(diǎn)。的速度為每秒4cm,運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)d、。、尸、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求f的值.圖6-1圖6-2圖6-3【解析】（D證法一：矩形45CD, :.AD/BC, AD=BC, : BM = DN ,

13、AD-DN = BC-BM ,即 4V = CM, 四邊形JA/CW是平行四邊形, 由翻折得，AM = CM , 四邊形是菱形；證法二：由翻折得，AN = NC, AM = MCf ZAMN = Z.CMN,W4D/BC, ZANM = ZCMN,，ZAMN=ZANM,：.AM = AN,：.AM = MC = CN = NA,四邊形是菱形；(2)設(shè)菱形的邊長為xcm,則8M = 8-x,在R1A4BM 中，AB2+BM2=AM2,pp4: + ®-x)2 =x2 ,解得x=5,:.AM = 5cm,顯然，當(dāng)點(diǎn)尸在,加上時(shí)，點(diǎn)。在CD上，此時(shí),4、C、尸、。四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形，

14、 同理，點(diǎn)尸在上時(shí)，點(diǎn)。在。A7或CN上，此時(shí)d、C、P、。四點(diǎn)也不可能構(gòu)成平行 四邊形，因此，只有點(diǎn)尸在5河上，點(diǎn)。在ZW上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，此時(shí)尸C = 04, 點(diǎn)尸的速度為每秒5cm,點(diǎn)。的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為, PC=PM + MC = PM + AM = 5t fQA = AD + CD-CQ = 3 + 4-4t = 12-4t,:.5f = 124f ,4解得£ = 1,34，以,4、C、尸、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，/ =二秒.【教師備課提示】這道題主要考查運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的平行四邊形，需要分類討論，注意題目中的特 殊角.第十四講四邊形動(dòng)態(tài)問題r

15、 鰻習(xí)鞏固模塊一動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)D如圖，在矩形中，AB = 12cm, 8C = 8cm.點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn),4、B、。三點(diǎn)同時(shí)出發(fā), 沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng).點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s,點(diǎn)產(chǎn)的速度為4cm/s,當(dāng)點(diǎn)尸追上點(diǎn)G （即點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，A£FG的面積為S（cm2）.（1）當(dāng)£ = 1秒時(shí)，S的值是多少？并指出自變量，的取值范圍.（2）寫出S和，之間的函數(shù)解析式,【解析】(D 如圖 1,當(dāng) f = l 秒時(shí)，AE=2, EB = 10, BF = 4, FC = 4, CG = 2,由 S = S人fcg

16、 = Lx(EB + CG). BC - EB - BF FC- CGW/ixjCoc ZXcXfr ZarCG 2,，22= ix(10 + 2)x8-ix10x4-ix4x2=24cm2 ：(2)如圖1,當(dāng)04f«2時(shí)，點(diǎn)E、尸、G分別在邊,45、BC、CD上移動(dòng)，此時(shí) A£ = 2/, EB = 12-2t, BF = 4t, FC = 3-4t, CG = 2t,S = S怫啪cbe -S團(tuán)尸 -Sfcg =(EB+CGBC-EB BF-FC CG= -x8x(12-2/ + 2r)-x4r(12-20-ix2r(8-40 = 8/2-32r + 48(0</

17、<2).如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸追上點(diǎn)G時(shí)，4f = 27 + 8,解得f = 4,當(dāng)2<K4時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上移動(dòng)，點(diǎn)尸、G都在邊CD上移動(dòng)，此時(shí)CF = 4t-S, CG = 2t, FG = CG-CF = 2l-(4t-S)S-2t ,S = FG BC = (S-2t) S = -St + 32.即S = 8/ + 32(2vz v4).RtADEF與矩形。鋁。重疊部分的面圖3在平面直角坐標(biāo)系xQy中，矩形。48。如圖所示，且AO=5、OC=10,中，ZD = 90°,DE = DF = 6, DE邊在x軸上且E點(diǎn)與原點(diǎn)重合，將RtZXOE尸沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位的

18、速 度平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平移的時(shí)間為f, 積為S,求在平移過程中S與，的函數(shù)關(guān)系式.【解析】分為三種情況：當(dāng)0VF45時(shí)，如圖1,設(shè)成交。4于。，V DF = DE, ZFDE=9Q° ,:.ZFED=45° ,四邊形hocb是矩形，:.ZAOC=9Q° , :.Z.OQE = ZFEO = 45° , :.OQ = OE = txl = t ,，重疊部分的面積5 =/；當(dāng)5v，46時(shí)，如圖2, 由知：OE = OQ = t , ,四邊形XOCB是矩形， ：,AB/OC, Z.QAB = 90°, :.Z.QRA = ZFED

19、 = 45° , :.ZAQR = Z.QRA = 45° , :.AR=AQ = t-5 , ，重疊部分的面積S = SiWAOER = AR + OE)xOA = L(t-5 + t)5,即 S = 5/ 12.5;當(dāng)6</«10時(shí)，如圖3,: QF = QR = 6-5 = 1,，重疊部分的面積S = gx(2R + OE)xO0 = ；x(l+6)x5 = 17.5;1r,(0Kd5)綜上所述：S = < 5/-12.5, (5<r<6).17.5,(6<r<10)o模塊二運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊圖形111如圖，正方形ABCD的邊

20、長為6cm,尸、0分別是BC.4D邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)以3cm/s 的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)以4cm/s的速度向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng).尸、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)。到達(dá) ,4點(diǎn)時(shí)，。、尸點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過。作。尸_18c于尸，交dC于E,連接EP設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s）,EPC的面積為義cm1.當(dāng)x為多少時(shí)，是等腰直角三角形.【解析】V ZACB = 45° ,尸石=庵和PE = F。時(shí)，ZkEPC是等腰直角三角形，尸七=小時(shí)，PC=2CF,6-3x = 2x4x,解得工=色，ii尸石=尸。時(shí)，點(diǎn)尸和點(diǎn)尸重合，PC=CF,：.6-3x = 4x,解得x = f , 7綜上所述，1=色或工時(shí)，是等腰直角三角形.如圖，在中，4 = 90。，8c = 5外，ZC = 30°.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C4方向以每秒2個(gè) 單位長的速度向點(diǎn)d勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)H出發(fā)沿AB