距離問題幾何方法

1、空間距離ABCC1B1A1定義法: 例1:正三棱柱ABC-A1B1C1的底勉邊長為2,高位3,求點(diǎn)C到平面ABC1的距離.1如圖，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°. （）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；解法一： （）作所以AE為點(diǎn)A到平面PBD的距離.（6分）在所以A點(diǎn)到平面PBD的距離為8分2.等積變換法例2如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng). （1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；解法（一）（1） 設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h， 在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，1. 如圖，已知

2、長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，, E、F分別為AD和CC1的中點(diǎn)，O、O1分別是為上下底面正方形的中心。（1）求O點(diǎn)到平面FD1B1的距離解:（1）O點(diǎn)在BD上, 平面FD1B1BD/平面FD1B1故O點(diǎn)到平面FD1B1的距離等于B點(diǎn)到平面FD1B1的距離7分設(shè)B點(diǎn)到平面FD1B1的距離為,顯然FD1B1是正三角形. 又8分故O點(diǎn)到平面FD1B1的距離等于10分2. 如圖，邊長為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所MPDCBA在的平面，BC，M為BC的中點(diǎn) 求點(diǎn)D到平面AMP的距離解: 設(shè)D點(diǎn)到平面PAM的距離為，連結(jié)DM，則 （10分）而在中，由勾股定理可求得PM

3、= ,所以：即點(diǎn)D到平面PAM的距離為 3. 如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PAAB1，BC2在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為1，若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由解: 假設(shè)在BC邊上存在一點(diǎn)G，使得D到面PAG的距離為1，PABCDE這時(shí)設(shè)AG=x，1x,利用等體積法求得VP-AGD=，而VP-AGD=，,從而這樣的G存在。4.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn) 求點(diǎn)到平面的距離解：因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到

4、平面ABM距離.因?yàn)樵赗tPAD中，所以為中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于.5.如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（1）因?yàn)锳D/BC,且所以從而A點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由AD/BC，得,又由知，從而為點(diǎn)A到平面的距離，因此在中6.如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90°.E為BB1的中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=.（）求證：CD平面A1ABB1；（）求三棱錐A1CDE的體積.解：(1)在RtDBE中，BE=1，DE=，BD= AB， 則D為AB中點(diǎn), 而AC=BC， CDAB 又

5、三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱, CDAA1 又 AA1AB=A 且 AA1、AB Ì 平面A1ABB1 故 CD平面A1ABB1 （2）解：A1ABB1為矩形，A1AD，DBE，EB1A1都是直角三角形，=2×2××2××1×2×1= VA1CDE =VCA1DE = ×SA1DE ×CD= ××=1三棱錐A1CDE的體積為PBCDAEF7如圖，在底面是矩形的四棱錐中，面，、為別為、的中點(diǎn)，且， ，（）求四棱錐的體積；解：（1）取AD的中點(diǎn)O，連接EO,則EO是PAD的

6、中位線，得EOPA,故EOABCD,EO是四棱錐的高，8、如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點(diǎn)若，（） 求點(diǎn)到平面的距離； .9如圖，在三棱錐P-ABC中，PAB是等邊三角形，D，E分別為AB，PC的中點(diǎn).DCBAPE（1）在BC邊上是否存在一點(diǎn)F，使得PB平面DEF. （2）若PAC=PBC=90º，證明：ABPC（3）在（2）的條件下，若AB=2，AC=，求三棱錐P-ABC的體積解（1）取BC的中點(diǎn)為F，則有PB平面DEF. PBEF ,FDCBAPE PB不在平面DEF內(nèi) PB平面DEF（2）因?yàn)槭堑冗吶切危?所以,可得。如圖，取中點(diǎn)，連結(jié), 平面, (3) PD= CD=2 PC=3 即三棱錐體積為： 10.如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，.（）證明：無論點(diǎn)怎樣運(yùn)動(dòng)，四邊形都為矩形；（）當(dāng)時(shí)，求幾何體的體積解：（）在直四棱柱中， 又平面平面，平面平面，平面平面，四邊形為平行四邊形，側(cè)棱底面