高等數(shù)學第七節(jié)曲率ppt課件

1、第七節(jié) 曲率.)(,)(是光滑曲線稱的一階導數(shù)連續(xù)函數(shù)xfyxfyoxy)(xfy xx xs x y 對為弧長增量 sxs .的增量比自變量增量x ,xyxyxsxs 2222xsdxdsx 0lim,limlimxyxyxsxx 220220,lim1220yxsx 其中1220 xxxsinlimxABxAB2弧長xAB2sin弦長167P弧微分一 .22dydx 202201xyxxxyx limlim21xdyd,21y,21ydxdsxdysd21弧微分sdxdyd222ydxdsd,limlimxyxyxsxdsdxx 220220,lim1220yxsx 其中x)(xfy s

2、xxx )(xfy 光滑曲線.,均曲率實際上為該弧段上的平所以sk s 為弧段 .兩端切向之轉角的與弧段比值ss ,彎曲程度有關.,0sss 直線段對應彎曲越厲害弧越大,常彼此互異上各點處的彎曲程度通弧段s .limsddsks 0PPskss 00 limlim則極限, )(PPs即讓弧長0 .,kP記為點弧的曲率為曲率及其計算公式二.sddk .)(,點的曲率xfxP)()(arctanxssxy dxdsdxdsdd 2211yyy .2321 yy 2321 yyk .,.0k直線曲率彎曲越厲害曲率越大按:結論)(.axaxay221例.的上半圓方程半徑為a,22xaxy,3222xa

3、ay 2321yyk 曲率2322232221xaxxaa.a1.aa1的圓之圓弧曲率處處為半徑為.2322 )()(.tytx 參數(shù)方程例20 )(t . )(xyy 確定曲線弧,)()(ttxyyx xtxxttty )()( ,3 2321yyk 232231 .2322yxxyxyk 或,.cbxaxy23二次拋物線例,baxy2.ay2 2321yyk 曲率.)(232212baxa,0kx時當顯然.近似為直線兩端即拋物線的,為曲率之最大值時當akabx22. )(彎曲最厲害曲率最大即二次拋物線在頂點處,時當1 y.yyyk 2321.關系密切曲率與 y sin)cos(sincos

4、)cos(cos.11aryarx解xyo., )cos(:.014aar 心形線方程例)(9345P.k求曲率 sin)cos(cossin1ax)sin(sin 2a coscosaax 22 cos)cos(sinsin1ay)coscos( 2a sinsinaay 222322yxxyxyk .)cos( 1223a0 #.)(min, kak43時當oxy, ),(00yxD取點D)(xfy M, ),()(yxMxfy上取一點在曲線.2321yykM 點的曲率則yy 2321 .點的曲率半徑稱為曲線在 M.直線段的曲率半徑為,k1 yyyxx )(201yyyy 201.,畫圓為

5、半徑為圓心以DMD點在此圓稱為曲線Mxfy)(.的曲率圓:曲率圓與曲線三同.,同凹向同曲率同切線.為曲率中心點D*曲率圓與曲率半徑三. yy2321)(2020)()(yyxxr曲率圓半徑222222211yyyyy )()(oxyD)(xfy Mr),(00yxDyyyxx )(201yyyy 201點有相所以曲率圓與曲線在 M,同的曲率半徑.從而有相同的曲率的斜率DMxxyyk00yyyyy )(2211y1,ykM的斜率點的切線而曲線在)(.,同切線也是曲率圓的切線所以DMoxyD)(xfy Mr,上方在曲線為凹的時當MDyyyyy01020 ,下方在曲線是凸的時當MDyyyyy0102

6、0 .凹向曲率圓與曲線有相同的之間鐵軌應如何設計OA,.運行火車沿例AOB1?才能使火車運行平穩(wěn)BO),(22AXY, )(.xfyOA方程為設解運行時離心力火車沿 OAkvmvmF22 ),(曲率曲率半徑k ,而變化隨曲率離心力為常數(shù)時當kFvm不連續(xù)當k,發(fā)生跳變而震動時 F.,火車運行才能平穩(wěn)連續(xù)時只有當k:)(,應當滿足因此xf,)(.001f,)(.002 f方向一致與BO,)(.003 f段曲率相同與即BOk0.)(.224f點火車過 A012233axaxaxaxf)(如果選:,)(,得的四個系數(shù)確定根據(jù)前述四個條件xf.)(341xxf#:小結.1 作圖.,等內容漸近線凹凸與拐點極值單調涵蓋了.2 最大值與最小值.,必是極值點如果是唯一駐點對于實際問題,都是可能最值點閉區(qū)間端點不可導的點駐點:判定;,比較大小算出以上各點之函數(shù)值.曲率與弧微分3.tdyxdydxdxyds222221弧微分.232