2020年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義設(shè)計(jì)第9講最值問題之將軍飲馬問題

1、第10講 最值問題之將軍飲馬問題最值問題是老師們最愛考的熱門題型之一，綜合性較強(qiáng)，需要一定的基本功，一般考察時(shí)一般放在壓 軸位置。模型講解【基本模型】問題：在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小解析：連接AB,與直線l交點(diǎn)即為點(diǎn)P（兩點(diǎn)之間線段最短）【拓展模型1】問題：在直線/上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小解析：點(diǎn)A作關(guān)于l的對稱點(diǎn)A ,連接BA',與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn) P,此時(shí)PA+ PB的最小值即為線段BA'的長度.【練習(xí)】1、尺規(guī)作圖：在直線 MN上找一點(diǎn)P,使得/ APN = /BPN.（保留作圖痕跡）A “K月【模型拓展2】PA=PB最小?1、如圖，已知點(diǎn) P

2、為定點(diǎn)，定長線段 AB在直線MN上運(yùn)動(dòng)，在什么位置時(shí),思維轉(zhuǎn)化：將線段 AB移動(dòng)，點(diǎn)P不動(dòng)，理解為線段 AB不動(dòng)，點(diǎn)P在直線CD上移動(dòng)，將模型轉(zhuǎn)化為 最基本模型【模型拓展3】問題：/ MON內(nèi)一定點(diǎn)A,點(diǎn)P、Q分別為OM、ON上的動(dòng)點(diǎn)，求 APQ周長的最小值.度即為 APQ周長的最小值.Ai、A2,連接AiA2,與ON、OM交點(diǎn)即為Q、P,線段A1A2的長基本結(jié)論:A1OA2必為等腰三角形，且腰長等于線段OA的長./ AQA2=2/ MON .四邊形ABPQ周長最小的模型，最小值即為線段AB+A' B'的長度和.【模型拓展4】問題：求AB+BC + CD的最小值問題解析：作點(diǎn)A

3、關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A',點(diǎn)D關(guān)于OM的對稱點(diǎn)D',連接A' D ',最小值即為線段 A' D' 的長度.（作點(diǎn)A和點(diǎn)D的對稱點(diǎn)的過程中，也可以直接將 OM、ON整個(gè)對稱過去，使得圖形更加完整 ）【模型拓展5】MN垂直兩平行線，求 AM + MN + NB的最小值模型.其中MN為定值，故只需求 AM+NB的最小值，將點(diǎn) A向下平移MN的長度得到A',連接A'B,線段 A B的長度即為 AM + NB的最小值直線l上有一長度不變線段 MN移動(dòng)，求AM+MN + NB最小值的模型.將A點(diǎn)向右平移MN的長度，以此轉(zhuǎn)化為基本模型，最小值即為M

4、N+A2B【例題講解】例題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn) B的坐標(biāo)為（3, J3 ）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1, 0）,點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PC的最小值為2解：作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D,連接CD交OB于P,連接AP,過D作DNLOA于N,則此時(shí)PA+PC的值最小，.DP = PA, . PA+PC= PD+PC=CD, B(3 , 3) , ，AB=、3, OA=3,. tan/AOB= AB =史，.AOB=30° ,OB = 2AB=2 73,OA 3由三角形面積公式得：-X OAX AB= - X OB X AM , /. AM

5、= - , /. AD = 2X - =3,2222/AMB = 90° ，/ B=60 ° , BAM =30° , / BAO =90° , / OAM = 60° ,. DNXOA, ./ NDA=30° , /. AN= -AD=由勾股定理得：DN= 3*3 ,222. C( 1 , 0) , CN = 3- - - | = 1,在 RtA DNC 中，由勾股定理得： DC=等，即PA + PC的最小值是 岑.【思考】若把題中條件點(diǎn)“ C的坐標(biāo)為I1, 0)”改為“點(diǎn)C為OA邊上一動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，那么此時(shí) 2FA+PC最

6、小值又是多少呢？解答：: PA+PC=PC + PD=CD>DN = 3<3 ,，PA+PC 的最小值為 -73 .22例題2、某長方體的長、寬、高分別為4、3、5,(1)如圖1,點(diǎn)A、B分別為該長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知螞蟻從點(diǎn)A沿長方體側(cè)面爬到點(diǎn) B,則最短路線長是多少？(2)如圖2,點(diǎn)A、C分別為該長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C,那么所用細(xì)線最短長度是 .(3)如圖2,點(diǎn)A、C分別為該長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞三圈到達(dá)點(diǎn)C,那么所用細(xì)線最短長度是 .(4)如圖3,已知圓柱高4米，底面周長1米.如果用花圈從上往

7、下均勻纏繞圓柱3圈(如圖)，那么螺旋形花圈的長至少 米.圖】圖2答案：(1) 74(2) 221(3) 1789(4) 9 2 16例題 3、如圖，在五邊形 ABCDE 中，/ BAE=120° , / B=/E=90° , AB=BC=1, AE = DE = 2,在 BC、DE上分別找一點(diǎn) M、N.(1)當(dāng)AAMN的周長最小時(shí)，/ AMN + Z ANM =;(2)求4AMN的周長最小值.6CA解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A； A，連接A'A，交BC于M,交ED于N,則A'A即為 AMN的周長最小值.作 EA 延長線的垂線，垂足為 H, / BAE=

8、120°,AA'A + /AAA'= 60°, /AAA"=/AAM, / AA"A'= /EAN, . / CAN = 120 / AA A"/ AA"A'= 60°, 也就是說/ AMN +Z ANM= 180 -60 = 120° .過點(diǎn)A作EA延長線的垂線，垂足為 H,. AB=BC=1, AE = DE = 2, AA= 2BA=2, AA"=2AE=4,貝U RtAHA 中，. / EAB= 120° , . . / HAA = 60° ,1

9、 -. A H _L HA，/ AA H= 30，AH = AA = 1,A H = V3 , A H = 1 + 4 = 5,.AA=2",例題4、如圖，正方形 ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在邊BC上且CE= 1 ,長為盤的線段MN在AC上運(yùn)動(dòng). (1)求四邊形BMNE周長最小值；(2)當(dāng)四邊形BMNE的周長最小時(shí)，則tan/ MBC的值為.解：作EF / AC且EF = 夜，連結(jié) DF交AC于M,在AC上截取 MN=、上,延長 DF交BC于P,作FQLBC于Q,作出點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E則CE'= CE= 1,將MN平移至EF處，則四邊形MNE' F為平行四邊形，當(dāng)B

10、M + EN = BM+FM = BF'時(shí)，四邊形 BMNE的周長最小，由/ FEQ =/ACB = 45°，可求得 FQ = EQ=1,PQPQ, PQ QE EC CD. / DPC = /FPQ, /DCP = /FQP, /.A PFQAPDC,-PQ-= 1 ,解得：PQ=2, PC=-,PQ 2433由對稱性可求得 tan / MBC = tan / PDC = 2 .3例題5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2, 0),點(diǎn)B(0, 4)，點(diǎn)E在OB上，且/ OAE = Z OBA.如圖，將 AEO沿x軸向右平移得到 AE' O',連接A'B

11、、BE'.當(dāng)AB + BE'取得最小值時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo).門 O將 AEO向右平移轉(zhuǎn)化為 AEO不動(dòng)，點(diǎn)B向左平移，則點(diǎn) B移動(dòng)的軌跡為一平行于 x軸的直線，所以作點(diǎn)E關(guān)于該直線的對稱點(diǎn) Ei,連接AEi,與該直線交點(diǎn)F即為最小時(shí)點(diǎn)B的位置，求出BF長度即 可求出點(diǎn)E向右平移的距離.例題6、如圖，已知正比例函數(shù) y= kx(k>0)的圖像與x軸相交所成的銳角為 70° ,定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 4), P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 AM + MP + PN的最小值為.解：如圖所示，直線 OC、y軸關(guān)于直線y=kx

12、對稱，直線OD、直線y=kx關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線y= kx的對稱點(diǎn).作A'E，OD垂足為E,交y軸于點(diǎn)P,交直線y=kx于M,作PNL直線y= kx垂足為N,.PN=PE, AM = AM, . AM+ PM + PN = A'M+PM+PE = AE 最小(垂線段最短)，在 RTAAEO 中，. / AEO=90° , OA = 4, /A'OE=3/ AOM = 60° ,1c c-OE= 2OA= 2, AE= “ 22 =2、3 .AM+MP + PN 的最小值為 2、.：3 .上有一點(diǎn)P,使PD + PE的和最小，則這

13、個(gè)最小值為 國2、在菱形 ABCD中，對角線 AC=6, BD=8,點(diǎn)E、 最小值是.3如圖，在邊長為2的等邊 ABC中，D為BC的中點(diǎn)，4、如圖，鈍角二角形 ABC的面積為9,最長邊AB-I 點(diǎn)，則CM + MN的最小值為.F、P分別是邊 AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，PE+PF的E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+ DE的最小值為 .6, BD平分/ ABC,點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)【鞏固練習(xí)】1、如圖所示，正方形 ABCD的面積為12, AABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線 ACcy55、如圖，在 ABC中，AM平分/ BAC,點(diǎn)D、E分別為 Ah (1)若 AC = 4,

14、S；aabc = 6,則 BD + DE 的最小值為 小AB上的動(dòng)點(diǎn),(2)若/ BAC=30° , AB=8,貝U BD+DE 的最小值為 .(3)若 AB=17, BC=10, CA=21,貝U BD + DE 的最小值為 6、如圖，在 ABC中，AB=BC = 4, S；A abc=44，點(diǎn)P、Q、K分別為線段 AB、BC、AC上任意一點(diǎn), 則PK+QK的最小值為.7、如圖，AB是。的直徑，AB=8,點(diǎn) M在。上，/ MAB = 20° , N是弧 MB的中點(diǎn)，P是直徑 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PM + PN的最小值為 .8、如圖，在銳角 ABC中，AB = 4, /

15、BAC = 45° , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, M、N分別是AD和 AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM + MN的最小值是 .V B9、如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底 4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn) A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm.10、如圖，菱形 OABC中，點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1 , J3),動(dòng)點(diǎn)D、E分別在射線 OC、OB 上，則 CE+DE+DB的最小值是 .11、如圖，點(diǎn) A(a, 1)、B( 1, b)都在雙曲線y= 9(xv0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn), x

16、當(dāng)四邊形PABQ的周長取最小值時(shí)，PQ所在直線的解析式是.12、如圖，點(diǎn)P是/AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線 OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PMN周長的最小值是 5cm,則/ AOB的度數(shù)是13、如圖，/ AOB = 30°，點(diǎn) M、N分別在邊 OA、OB上，且 OM = 1, ON=3,點(diǎn)P、Q分別在邊 OB、OA上，貝U MP+PQ+QN的最小值是 14、如圖，在 RtABC中，/ ACB=90°，點(diǎn) D是AB邊的中點(diǎn)，過 D作DE，BC于點(diǎn)E.(1)點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段 BC上找一點(diǎn)P,使得AP + PD最小，在下圖中畫出點(diǎn) P;(2)在(

17、1)的條件下，連接 CD交AP于點(diǎn)Q,求AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系；CE15、在矩形 ABCD中，AB=6, BC=8, G為邊AD的中點(diǎn).(1)如圖1,若E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) CGE的周長最小時(shí)，求 AE的長.(2)如圖2,若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF = 4,當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時(shí)，求 AF的長.16、圖1,圖2為同一長方體房間的示意圖，圖2為該長方體的表面展開圖.(1)蜘蛛在頂點(diǎn)A'處，蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí)，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；蒼蠅在頂點(diǎn) C處時(shí)，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A' GC和往墻面

18、BB' C' C爬行的最近路線 A' HC，試通過計(jì)算判斷哪條路線更近？(2)在圖3中，半徑為10dm的OM與D' C'相切，圓心 M到邊CC'的距離為15dm,蜘蛛P在線段 AB上，蒼蠅Q在OM的圓周上，線段 PQ為蜘蛛爬行路線.若 PQ與OM相切，試求PQ的長度 的范圍.如圖2圖31 217.如圖，拋物線 y-x 2x 4交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A為x軸上的一點(diǎn)，OA=2,過點(diǎn)A作直線 MN AB交拋物線與M、N兩點(diǎn).(1)求直線AB的解析式；(2)將線段AB沿y軸負(fù)方向平移t個(gè)單位長度，得到線段 AB ,求MAi MBi取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值.參考答

19、案1.解：連接BD,點(diǎn) B 與 D 關(guān)于 AC 對稱，PD = PB, . . PD+PE=PB+PE=BE 最小.正方形ABCD的面積為12,AB = 2 J3,又ABE是等邊三角形，BE = AB = 2 J3 ,故所求最小值為 2、3.AC = 6, BD = 8, AB=5,作E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E',彳E'FBC于F交AC于P,連接PE,則EF即為PE+PF的最小值,1 AC BD = AD E'F, . . E'F= 24 ,，PE + PF 的最小值為 馬.2 553.解：作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',連接BB'、BD,交AC于E,此時(shí)B

20、E+ ED=BE+ED= BD,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知 BD就是BE+ ED的最小值,B、B關(guān)于AC的對稱，AC、BB互相垂直平分，四邊形 ABCB '是平行四邊形，三角形 ABC 是邊長為 2, D 為 BC 的中點(diǎn)，ADXBC, AD= q3 , BD = CD = 1, BB = 2AD=273,作BGBC的延長線于 G,BG=AD= %3 ,在 RtB'BG 中，BG=3, . DG = BG BD = 3 1 = 2,在 Rt B DG 中，BD= 7 .故BE + ED的最小值為 <7 .4.解：過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN，BC于N

21、, . BD 平分/ABC, MEAB 于點(diǎn) E, MN，BC 于 N, . MN = ME , ，CE=CM + ME = CM + MN 是最小值. 三角形 ABC 的面積為 9, AB=6,- X 6CE=9, /. CE= 3.2即CM + MN的最小值為3.5.提示：作點(diǎn)E關(guān)于AM的對稱點(diǎn)E； BHXAC于H,易知BD+DE的最小值即為BH的長. 答案：(1)3 ; (2)4 ; (3)8 .6.解：如圖，過A作AH，BC交CB的延長線于H,AB= CB=4, Saabc = 4 73 , ，AH = 2j3, .cos/HAB= AH=迪=理，. HAB=30° , .

22、. / ABH =60。,，ABC= 120° ,AB 42 . / BAC = Z C=30° ,作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)P',過P作P'QBC于Q交AC于K,則PQ的長度=PK + QK的最小值，P AK = / BAC=30° , . HAP = 90° , . . / H = Z HAP = / P QH = 90° ,，四邊形 APQH 是矩形，. P'Q = AH = 2J3,即PK+QK的最小值為2歲.7.解：作點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N',連接OM、ON、ON '、MN ',則MN

23、'與AB的交點(diǎn)即為 PM + PN的最小時(shí)的點(diǎn)，PM+PN的最小值=MN ', . /MAB = 20° ,MOB = 2ZMAB=2X20° =40° , . N 是弧 MB 的中點(diǎn)， ./ BON= 1Z MOB = 1 X40° =20° , 22由對稱性，/ NOB=Z BON = 20° , MON' =Z MOB + Z NOB=40° +20° =60° , . MON，是等邊三角形， MN'= OM = OB=1AB=1 8=4 22' . PM +

24、 PN的最小值為 4,8.A .V V B解：如圖，作 BH± AC,垂足為H,交AD于M點(diǎn)，過M點(diǎn)彳M'NAB,垂足為N則BM'+ M N為所 求的最小值. AD是/ BAC的平分線，MH=M 'N',BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離， / 人 。o2- AB = 4, Z BAC = 45 , . BH = AB sin45 =4X2=2q2. BM + MN 的最小值是 BM '+ M N '= BM'+ M H = BH = 2 J2 .E Xo 9.解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH ,過C作CQLEF于Q,作A

25、關(guān)于EH的對稱點(diǎn)A；連接AC交EH于P,連接AP, 則AP+ PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離， . AE=A'E, AP=AP, . AP+PC=AP+PC= AC,CQ= x 18cm = 9cm , A'Q = 12cm 4cm + 4cm = 12cm,2在RtAA，QC中，由勾股定理得： A'C=15cm,故答案為：15.10.解：連接AC,作B關(guān)于直線 OC的對稱點(diǎn)E；連接AE',交OC于D,交OB于E,此時(shí)CE + DE+BD的值最小， 四邊形 OCBA是菱形，ACXOB, AO = OC,即A和C關(guān)于OB對稱，.CE = AE,DE + CE =

26、DE + AE=AD, .B 和 E關(guān)于 OC 對稱，DE'= DB, . CE + DE + DB = AD + DE'= AE',過 C 作 CNXOAT N, C(1 , 73),ON=1, CN = s3 ,由勾股定理得： OC = 2,即 AB=BC = OA = OC=2, ./CON=60° , / CBA=ZCOA=60° ,.四邊形 COAB 是菱形，BC/OA, ./ DCB = Z COA=60° , . B 和 E關(guān)于 OC 對稱， ./ BFC=90° , . . / E'BC=90°

27、60° =30° , ./EBA=60。+30。= 90。，CF=1 BC=1,由勾股定理得：BF=T3=E'F,在RtEBA中，由勾股定理得： AE = 4,即CE + DE + DB的最小值是 4.11.解：把點(diǎn) A(a, 1)、B( -1, b)代入 y=一 僅0)得2= 3, b=3,則 A( 3, 1)、B ( T, 3), x作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C, B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D,所以C點(diǎn)為(-3, -1), D點(diǎn)為(1 , 3),連結(jié)CD分別交x軸、y軸于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，此時(shí)四邊形 PABQ的周長最小，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,則 3kb 1,解得k

28、k b 3b 2所以直線CD的解析式為y=x+2.12.解：分別作點(diǎn) P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示：,點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為 D,關(guān)于 OB的對稱點(diǎn)為 C, PM = DM , OP = OD, / DOA=/POA;,點(diǎn) P 關(guān)于 OB 的對稱點(diǎn)為 C, PN = CN, OP=OC, /COB=/POB,.-.OC=OP= od, /AOB=1/COD, 2 PMN 周長的最小值是 5cm,PM + PN + MN = 5, . DM+CN+MN =5,即 CD = 5=OP,.-.OC=OD= CD,即

29、OCD 是等邊三角形，./ COD =60° ,/ AOB=30° ;13.解：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M',彳N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N ；連接MN',即為 MP+PQ+QN的最小值.根據(jù)軸對稱的定義可知：/NOQ=Z M'OB=30° , / ONN = 60° ,.ONN為等邊三角形， OMM '為等邊三角形，/ N OM = 90° , 在RtA M ON中,MN '= 10 .故答案為、.訶.14.AA/fA'A'C解:作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn) A；連DA交BC于點(diǎn)P.(2)由(1)可證得P

30、A垂直平分 CRAQ=、3CQ= 3PQ15.DC9 HVV解:(1) .£為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，.作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M,連接CM交AB于E,那么E滿足使 CGE的周長最??；.在矩形 ABCD 中，AB = 6, BC=8, G 為邊 AD 的中點(diǎn)，AG=AM=4, MD = 12,而 AE/CD, AEMA DCM , . AE: CD = MA : MD , /. AE= CD MA =2; MD(2) £為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，.如圖，作 G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M,在CD上截取CH = 4,然后連接HM交AB于E,接著在EB上截取EF = 4,那么E、F兩點(diǎn)即可滿足使四邊形 CGEF的周長最小.在矩形 ABCD中，AB = 6, BC=8, G為邊AD的中點(diǎn)，,-.AG=AM = 4, MD = 12,而 CH