數理金融復習要點

1、數理金融復習要點、名詞解釋1 .冗余資產組合與冗余資產：冗余資產組合是指能夠起復制作用的套利資產組合；冗余資 產組合中權重系數非零的資產稱為冗余資產。2 .“均值-方差”有效資產組合：如果一個資產組合對確定的方差具有最大期望收益率，同時對確定的期望收益率水平有最小的方差，則稱這樣的資產組合為“均值 -方差”有效資產 組合。3 .套利與套利資產組合 套利是指不投入任何資產即可獲利，或者在 0期不進行任何投入， 而在1期刻獲得無風險收益； 或者在0期獲得無風險收益， 而在1期無任何現金支出。 套利 資產組合 設W= (Wi,W2鬃?Wn)T為一資產組合，如果 W滿足1T?W 0,1= (1,1,鬃

2、1)T,則 稱w =(W1,W2鬃! Wn )T為一套利資產組合4 .最小方差資產組合：又稱前沿組合，是指對確定的期望收益率水平有最小的方差的資產組 合。5 .證券市場線是指對任意資產組合Xp? M ,由點(bMp,E(Xp)所形成的軌跡。證券市場線方程為：E(Xp)- r=bMp(E(XM)- r)。其中 bMp = cov(Xp，Xm)/sM 為資產組合 Xp 的市場beta系數，r為無風險利率。它是過無風險資產對應的點(0, r)和市場資產組合對應的點(1,E(Xm)的一條直線。6 .資本市場線是由所有有效資產組合Xp ? M所對應的點(s(Xp), E(Xp)所形成的軌跡。sd資本市場

3、線的方程為：E(Xp)= r+ (E(Xm - r)s m7 .看漲期權又稱買入期權，敲入期權，是給予其持有者在給定時間或在此時間之前的任一時刻按規(guī)定的價格買入一定數量某種資產的權利的一種法律合同。期權包含四個要素：執(zhí)行價、執(zhí)行日、標的資產和期權費。8,看跌期權：又稱賣出期權、敲出期權，是指給予其持有者在給定時間或在此時間之前的任 一時刻按規(guī)定的價格賣出一定數量某種資產的權利的一種法律合同。9 .無摩擦市場：是指無任何交易成本、稅收、無賣空限制、資產數量單位無限可分的資產市場。10 .套利是指不投入任何資產即可獲利，或者在0期不進行任何投入，而在 1期刻獲得無風險收益；或者在 0期獲得無風險收

4、益，而在1期無任何現金支出。二.簡答題1.設一投資者效用函數為雙曲絕對風險厭惡函數u(x)=上(空+ b)r,b> 0。其中r 1- ra,b,x為實數。求該效用函數的絕對風險厭惡函數A(x),風險容忍函數T(x)和相對風險厭惡函數。解：因為 u (x) = a( ax + b)r- 1,u ?；x) = - a2(-ax-+ b)r-21- r1- r“、 u %x) / ax , .-1 所以 A(x)=-= a(-+ b);u (x)1- rT(x)=工=1(詈-+ b)= +A(x) a 1- r 1- rR(x) = x?A(x) ax(-ax- + b)-11- r2.設一投

5、資者的效用函數為負指數效用函數 函數、風險容忍函數和相對風險厭惡函數。解：因為 u (x) = (- e- ax) = ae- ax,u iqx)二 所以 A(x)=- = a,T(x) = 7u(x)= - e-ax,求該效用函數的絕對風險厭惡2 - ax-a e1 L=一,R(x) = xA(x) = ax a3、投資者有幾種類型？他們的效用函數有什么特點？愛好型。設u(小為投資者的效用函數, 風險厭惡型投資者的效用函數滿足： 風險愛好型投資者的效用函數滿足： 風險中性型投資者的效用函數滿足：Eu(方為投資者的期望效用函數。Eu(w) £u(Ew)因而u()為凹函數;Eu(w)3

6、 u(Ew)Eu(w) = u(Ew)因而u()為凸函數； 因而u()為線性函數解：根據投資者對風險的態(tài)度，投資者可以分為三種類型：風險厭惡型，風險中性型及風險模型4、敘述 Sharpe-Linter-Mossin CAPM解：所謂Sharpe-Linter-MossinCAPMI型是指在市場上可以獲得無風險資產的條件下，當市場達到均衡時，任意風險資產的超額收益率與風險資產的市場資產組合超額收益率有如下關系式：E(X)- r?1 bM(E(XM )- r),其中 bM, = cov(X,XM,)/var(XM);或者寫成分量的形式為：E(Xj)- r = bMj(E(XM)- r),( j =

7、 1,2，鬃?n),其中 bMj = cov(Xj,XM)/var(XM)三、計算題1 .經濟系統(tǒng)在時期1有3個可能的狀態(tài)，市場中有 2種可交易證券，它們的收益矩陣為:31，試求正狀態(tài)定價向量、等價概率分布，并討論相應的套利機會。解:令正狀態(tài)定價向量j = (j 1 ,j2 ,j 3)則:zt?3(1,(1) ? ji= 1-15 一3R 13R7 73R1- 一一 一一 一一 12 3 2jxx jx42j.解得3j 3 = 12j 3 = 13= 1/ R2jjj1即:所求向量 j = (j 1,j 2,j 3)T=(3R 3R7 一 5、t- 1,1-)3R 3R57 .當< r&

8、lt; 時j i > 0(i = 1,2,3),市場無套利，因而存在等價概率分布律。等價概率分布33律為：I123P(i)1/37/3-RR-5/3在其他情形都會存在套利機會。2.假定預測公司一年后每股價值為100美元，已知無風險利率為 5%市場期望收益率為15%公司市場b系數為2.0 ,如果現在想購買該公司的股票，所愿意支付的合理價格是多少?解：由風險自行調節(jié)收益率定價公式P0 =E(Pj)Po =1001+5%+ 2.0? (15% 5%)1.251+ r+ bMj(E(XM)- r) /=803.假設證券的市場價值為40美元，證券的期望收益率為13%無風險利率為7%市場風險溢價E(

9、Xm )- r為8%假如證券未來的期望收益不變，而證券收益率關于市場資產組合收益率的協(xié)方差是原來的 2倍，試求證券在當前的價值。解：設此證券為Xpp由證券市場線方程 E(Xp)- r= bMp(E(XM)- r),可知 bMp?8%6%,bMp= 0.75cov(XD, XM )因為bMp = ,當證券收益率關于市場資產組合收益率的協(xié)方差是原來的p var(XM)時，bMp 2bMp= 0.75?21.5D= P0?E(X)40? 13% 5.2則 E(X 房=7%+ 1.5? 8%0.19D= p3i?E(X , B g!9%= 5.2,P)?=5.2/0.19%= 27.374.(股票定價

10、)企業(yè)I在0期將發(fā)行100股股票，企業(yè)在1期的價值為隨機變量Vi。企業(yè)的資金都是通過發(fā)行這些股票而籌措的,以致于股票持有者有資格獲得Vi(1) =完全的收益流。最后給出的有關數據是:?$1000"I 一？$800Ip=1/2p= 1/2cov(X1,XM) = 0.045 ,var(XM)= 0.30r = 0.10, E(Xm)= 0.200期的合理價值。試用資本資產定價方程或風險自行調節(jié)定價公式求出該股票在解法一：應用證券市場線方程口”*、)0.20- 0.10c=0.10+ ? 0.045 0.150.09即普通股所需的收益率為15%這就意味著市場將以 15%勺貼現EVI(1)

11、,以確定股票 在0期的市場價格，于是我們有13EVI(1)= ?1000 ?800 900$22P0 =E(VI(1)/1001+ r900/100 c r CC? 7.831.15解法二：由風險自行調節(jié)定價公式p _E_E(Vi (1)/100E(Xm)- rP0 =( l =表1+ r + l cov(X j, Xm)1+ r + l cov(Xj,XM )var(XM )示沒單位風險的市場資產組合的超額收益率。)900/1009 ,= =? 7.83$1+0.10+ ；20? 0.045 1.15 (0.30)5(債券定價)有一面值為100元的債券，約定到期付息8%假設在債券有效期內有

12、70%的時間可以贖回本金并獲得利息，30%勺時間不能還本付息， 但將支付50元的承保金。即可將債券在時期2的價值表示為隨機變量B(2) =和08, ?50,p= 0.7p= 0.3設，7var(Xm) = 0.30 r = 0.10, E(Xm ) = 0.20 , cov(B,Xm ) = 7，試確定債券在時期1的合理價值。解 由證券市場線性方程(3.2.1 )可得確定等價定價公式。PB =E(B)- E(Xm)- r s2(Xm)cov(B,Xm)1+ r90.60 - (0.20 - 0.10) 0.09? 71.1090.60- 7.78 82.82=75.29$1.101.10市場所

13、需的期望收益率為E(Xb) =90.60- 75.29 15.31 =20.33%75.2975.296某公司在時期1的市場價值為900元?，F有一項目，其在時期2的期望收益為 E (V)=1000, E (X) =0.5 , r=0.05。公司現考慮一個新的投資項目，其單位成本為60元。在時期2的現金收益流為 E (F)=130元，cov (F, Xm) /(t 2 (X) =250元。試回答，該公司管理者應怎樣考慮這個項目？解：由確定等價定價公式可得P0 =EQ” ，？-、rcov(M,Xm)s (X m)1+ r由此式得900 =1.051000- 0.10cov(Vi ,Xm )2s (

14、Xm)求解上式得COv(Vi, Xm )2s (Xm)=550$COV(M + Fi ,Xm )= COV(M, Xm ) + COV( Fi, Xm )故cOv(V2+ Fi%) = 550 + 250 = 800$ s (Xm)又E(%F%)= 1000+ 130 = 1130假如投資新項目，那么公司在時期1的總收入(不考慮投資成本)是E(Vi+ Fi)-COv(Vi + Fi, Xm )2s (Xm)1+ r(E(Xm)- r)1130- 800? 0.10 1050 ” 小 =1000$1.051.05因為公司市場價值 Po+比原來的P0上漲了 100元，而投資成本為60元，故可以得到

15、補償，所以可以投資該項目。7.已知某股票在時刻 0的價格為100元，在時刻1股票價格有兩種可能：股票價格為120元的概率為P;股票彳格為90元的概率為1-P.以該股票為表的資產的歐式看漲期權的執(zhí)行 價格為105元，無風險利率r=0.05.試求此歐式看漲期權的無套利價格。解法一：設時刻0的此歐式看漲期權價值即無套利價格為V0,則:第一步：從股票二叉樹圖得到q。股票的二叉樹圖為:0=100q SS1-q S由無套利原理知:1.05? 100 120q+ 90(1- q)105= 120q+ 90(1- q)我們得到15= 120q- 90q = 30q所以15q = 0.530第2步：對此歐式看漲

16、期權價值 U和D先求期望，然后貼現。執(zhí)行價K=105美元的歐式看漲期權的二叉樹圖為:u-K,0)=15d-K,0)=0所以此看漲期權的價格為:17.5標q?15 (1-q)?0贏=74(美兀)解法二：由Cox- Ross- Rubinstein二項式期權定價公式 V0 =都- d )?U(u一R)?D ,其Rfu- d u- d中 0<d< R< u, U = max(0, uS0- K)= (uS0- K)+D= max(0, dS0- K) = (d&- K)+ ,由題意知，S0 = 100,u = 1.2,d = 0.9,K = 105,U = (0,uS0-

17、K)+ = max(0,120- 105)= 15D= (0, dSo- K)+ = max(0,90 - 105)= 0 r = 0.05,R= 1+ r = 1.05所以，歐式看漲期權的無套利價格、，一 1 韻.05 0.9、。“ J2- 1.05、邙V0 =；|) ?15 () ?01.05 11.2- 0.91.2- 0.97.51.05? 7.148股票現在的價值為50美元。六個月后，它的價值可能是 55美元或45美元。一年期無風險利率為10%請計算執(zhí)行價K=50美元，6個月到期的歐式看漲期權的無套利價格是多少？歐式看跌期權的價值又是多少?9.某股票現在的價值為50美元。兩個月后，它

18、的價值可能是53美元或48 美元。一年期無風險利率為10%請用無套利原理說明執(zhí)行價 K=49美元，兩個 月到期的歐式看漲期權的無套利價值是多少？歐式看跌期權的價值又是多少？10.某股票現在的價值為50美元。六個月后，它的價值可能是 60美元或42美元。一年期無風險利率為12%請用無套利原理說明執(zhí)行價 K=48美元，6 個月到期的歐式看漲期權的價值是多少？歐式看跌期權的價值又是多少？四、綜合題1 .市場上有兩種股票，股票 A的價格為60元/股，每股年收益為 x元，其均值為6元，方 差為50。股票B的價格為40元/股，每股年收益為y元，其均值為3.2,方差為25。設x和 y相互獨立。某投資者有43

19、000元，準備購買q1股股票A, q2股股票B,剩余的q3元存入銀行， 設銀行一年期定期存款利率為5%投資者希望該投資策略白年平均收益不少于8麗，并使投資收益有最小的風險。求這個投資策略（q,q2,q3）,并計算該策略的收益的標準差。解：由題意知，該市場存在無風險資產，則投資收益最小方差問題可以表為如下優(yōu)化問題：en 1 c21t-min s n = w Q w2 p 2-stwT?m (1- wT 府rf rp(1- wT?1)rf)1 TT _利用 Lagrange 乘數法，令 L = -w ? w+ l (rp- w ?m?L最優(yōu)解的一階條件為:T = Q w- l (m- rf 1)

20、= 0?w ,?L =r ?l p最優(yōu)解為:rp- rf = lwT ?m (1- wT ?1)rf0*1 ,w = l ?(m- rf ?1)。T -1T - 1a(m 遛 m- rfm 1-% 1T 遛 - 1m+ d1T-11)2、=l (a- 2% b+ crf)rf20125a- 2rfb+ cc由已知條件可得：？ = ¥ S1：=$0 ,所以 ?»21 s2S 25632甲=一 =10%,m2 = 一 = 8%,r = 8%, 6040pm= (rni，m,)T = (10%,8%)T,rf = 5%, a = mT ? - 1m= 0.000456, b= m

21、 ? - 11= 0.0052, c= 1T? -11= 0.06 2H = a- 2brf + cr2 = 0.000456- 0.00052+ 0.00015= 0.000086rp- rf H1500011%4312%8%- 5% = 30000 = 150000.000086 86 - 43所以18000,60q = 15? 43000 15000,40q2 = ? 43000 4343q = 250,q2 = 225 q3 = 43000- 18000- 15000= 10000所以最優(yōu)策略為(q,q2,q3)= (250,225,10000)。收益的方差為：Sp= wT? w =

22、15/43,18/43/ 4325 螂/ 4311250 8100 19350。= 丁+? 10.47432432432標準差為s p ? 3.24 p2 .(1)什么是最小方差資產組合？(2)寫出標準的最小方差資產組合的數學模型。(即不存在無風險資產時期望收益率為rp的模型)(3)求解該模型，即求權重表達式及最小方差表達式(4)已知市場上有三種證券，他們的收益向量為 X = (Xi, X2, X3)T ,假設X服從聯合正態(tài)分布，其期望收益向量為E(X)= (1,2,0.5)t, x的協(xié)方差矩陣為13 0S = 1 5 0I 0 1求由這三種證券組成的均值 -方差最優(yōu)資產組合(允許賣空)，并畫出有效前沿圖。解：(1)最小