波的迭加原理

1、第第10章章第第3節(jié)節(jié)10.3 波的干涉波的干涉一、波的迭加原理一、波的迭加原理實驗證明：實驗證明： 當介質(zhì)中存在兩個以上的波源時，這時當介質(zhì)中存在兩個以上的波源時，這時各波源所激起的波可在同一介質(zhì)中獨立地傳各波源所激起的波可在同一介質(zhì)中獨立地傳播；而在各個波相互交迭的區(qū)域，各點的振播；而在各個波相互交迭的區(qū)域，各點的振動動(位移或電磁場位移或電磁場)則是各個波在該點激起的則是各個波在該點激起的振動的矢量和。振動的矢量和。例如例如：(1)幾個水波可以互不干擾地相互貫幾個水波可以互不干擾地相互貫 穿，然后繼續(xù)按各自原來方式傳播；穿，然后繼續(xù)按各自原來方式傳播； (2)當交響樂隊演奏時，人耳仍能清

2、當交響樂隊演奏時，人耳仍能清 晰地分辨出每個樂器演奏的旋律。晰地分辨出每個樂器演奏的旋律。第第10章章第第3節(jié)節(jié)兩水波的疊加兩水波的疊加SS12第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相

3、反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿

4、相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加第第10章章第第3節(jié)節(jié)

5、理論分析理論分析： 由于波動的方程式由于波動的方程式 2 y/ 2 t = u2 2 y/ 2 x 是線性的。是線性的?？勺C明：可證明： 如果如果 y1( x、t ) 和和 y2( x、t ) 分別滿足波分別滿足波動方程，則合成波動方程，則合成波 y = y1 ( x、t ) + y2 (x、t ) 也滿足波動方程，這就是波的波加原理的數(shù)也滿足波動方程，這就是波的波加原理的數(shù)學表示。學表示。第第10章章第第3節(jié)節(jié)二、波的干涉二、波的干涉1、相干源、相干源 兩個兩個頻率相同頻率相同，振動方向相同振動方向相同、相位、相位相同或相同或相位差恒定相位差恒定的波源。的波源。干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象： 兩個相干源

6、波在空間迭加時，在某些兩個相干源波在空間迭加時，在某些點處振動始終加強，而在另一些點處，振點處振動始終加強，而在另一些點處，振動始終減弱。動始終減弱。光既然是電磁波，也能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象光既然是電磁波，也能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。第第10章章第第3節(jié)節(jié)光的相干性光的相干性：(1) 兩獨立的光源不可能成為一對相干光源兩獨立的光源不可能成為一對相干光源原因：原因：原子發(fā)光是隨機的，間歇性的，兩原子發(fā)光是隨機的，間歇性的，兩 列光波的振動方向不可能一致，周列光波的振動方向不可能一致，周 相差不可能恒定。相差不可能恒定。鈉鈉光光燈燈A鈉鈉光光燈燈B第第10章章第第3節(jié)節(jié)(2) (2) 同一光源上兩個不同的部分，也不

7、可同一光源上兩個不同的部分，也不可 能得到相干光源。能得到相干光源。鈉鈉光光燈燈A相干光實現(xiàn)方法：相干光實現(xiàn)方法： 為了利用普通光源為了利用普通光源( ( 除激光外除激光外 ) )獲得相獲得相干光，干光，其基本方法是把由同一光源上同一點其基本方法是把由同一光源上同一點發(fā)出的光，設(shè)法分成兩部分。發(fā)出的光，設(shè)法分成兩部分。(1)(1)分波陣面法分波陣面法 從光源發(fā)出的同一列波的波面上分割出從光源發(fā)出的同一列波的波面上分割出兩個微小的部分兩個微小的部分( (例如例如雙孔干涉雙孔干涉) )，這兩個微，這兩個微小部分可以看作兩個子光源，它們發(fā)出的光小部分可以看作兩個子光源，它們發(fā)出的光是相干光。是相干光

8、。(2)(2)分振幅法分振幅法 設(shè)法把同一波列設(shè)法把同一波列( (一個分子或原子在持一個分子或原子在持續(xù)時間內(nèi)發(fā)出的光波續(xù)時間內(nèi)發(fā)出的光波) )的光波通過反射或折的光波通過反射或折射等過程，分成兩束光波射等過程，分成兩束光波( (例如例如薄膜干涉薄膜干涉) )。顯然，這兩列光波是相干光波，它們的能顯然，這兩列光波是相干光波，它們的能量是從同一波列的光波分出來的。量是從同一波列的光波分出來的。 激光激光是目前最理想的是目前最理想的相干光源相干光源，它不，它不僅同一光源上同一點發(fā)出的是相干光，而僅同一光源上同一點發(fā)出的是相干光，而且同一光源上兩個不同的部分也具有很好且同一光源上兩個不同的部分也具有

9、很好的相干性，甚至兩個獨立激光器的光波也的相干性，甚至兩個獨立激光器的光波也能相干。能相干。第第10章章第第3節(jié)節(jié)y10 = A10 cos ( 2t +1 )y20 = A20 cos ( 2t +2 )S1 和和 S2 發(fā)出的波到達發(fā)出的波到達 P點的振動分別為：點的振動分別為：y1 = A1 cos ( 2t +1 - 2 r1 /) y2 = A2 cos ( 2t +2 - 2 r2 /)兩個振動在兩個振動在 P點的相位差為點的相位差為：=2 -1 - 2 ( r2 - r1 ) /P 點的振動就是這兩個振動的合振動。點的振動就是這兩個振動的合振動。S1S2r1r2P2、兩個相干源的

10、干涉、兩個相干源的干涉設(shè)波源設(shè)波源 S1、S2的振動方程為：的振動方程為：第第10章章第第3節(jié)節(jié)P點合振動點合振動：頻率頻率 兩同頻率、同方向振動的合振動仍兩同頻率、同方向振動的合振動仍 為為同頻率同頻率的振動；的振動；振幅振幅 由兩分振動的相位差來決定。由于由兩分振動的相位差來決定。由于 兩波源的相位差兩波源的相位差2 -1是恒定的，是恒定的， 因此，空間中任一因此，空間中任一 P點兩振動的相點兩振動的相 位差也是恒量，所以，位差也是恒量，所以，任一任一P點合點合 振幅也是恒量。振幅也是恒量。第第10章章第第3節(jié)節(jié)干涉加強與減弱條件干涉加強與減弱條件：加強：加強：=2 -1 - 2 ( r2

11、 - r1 ) / = 2k (k = 0，1，2，3) 合振幅合振幅 A 最大，最大，A = A1 + A2 。減弱：減弱：= 2 -1 - 2 ( r2 - r1 ) / =(2k+1) (k = 0，1，2，3) 合振幅合振幅A為最小，為最小， A = |A1 - A2| 。如果如果1=2，上述條件可簡化為，上述條件可簡化為波程差波程差：加強：加強：= r2 - r1 = 2k (/ 2) ( k = 0，1，2) 又稱為又稱為干涉相長干涉相長減弱：減弱：= r2 - r1 = ( 2k + 1 ) (/ 2 ) （k = 0，1，2 ) 又稱為又稱為干涉相消干涉相消第第10章章第第3節(jié)

12、節(jié)xk=+1k=-2k=+2k= 0k=-1S1S2S*I例例10-4 楊氏雙孔干涉楊氏雙孔干涉實實 驗驗 現(xiàn)現(xiàn) 象象第第10章章第第3節(jié)節(jié)解：解：S 是單色點光源，在遮光屏是單色點光源，在遮光屏 B 上開兩小上開兩小孔孔 S1，S2 作為相干光源。作為相干光源。 設(shè)設(shè) S 到到 S1 和和 S2 的距離相等，則的距離相等，則 S1和和 S2可看作兩個相位相同的相干光源?？煽醋鲀蓚€相位相同的相干光源。 問題的關(guān)鍵是計算從問題的關(guān)鍵是計算從 S1和和 S2到到 P (x , y)點的點的波程差波程差 = r2 - r1。xDSS12rr12dP(x,y)SOB第第10章章第第3節(jié)節(jié)通常通常 D

13、d，由幾何關(guān)系可得：，由幾何關(guān)系可得：r12 = D2 + ( x - d/2 )2 + y2r22 = D2 + ( x + d/2 )2 + y2兩式相減后，得：兩式相減后，得：r22 - r12 = ( r2 - r1 ) ( r2 + r1 ) = 2dxxDSS12rr12dP(x,y)SOrB第第10章章第第3節(jié)節(jié)r22 - r12 = ( r2 - r1 ) ( r2 + r1 ) = 2dx因因 D d r2 + r1 2r 波程差：波程差： = r2 - r1 d x / r當當 x D 時，時，r D 波程差：波程差： = r2 - r1 d x / DxDSS12rr12

14、dP(x,y)SOrB第第10章章第第3節(jié)節(jié) 波程差波程差：= r2 - r1 d x / D P點干涉加強的條件為：點干涉加強的條件為： d x / D = 2k (/2 ) 明條紋中心的位置明條紋中心的位置： x = k D/ d ( k = 0，1，2，3 )其中其中 k 叫做明條紋的級次叫做明條紋的級次。 由于上式表示一條直線方程，所以兩孔由于上式表示一條直線方程，所以兩孔干涉在光屏上的干涉在光屏上的明條紋為等間隔直條紋明條紋為等間隔直條紋。相鄰明相鄰明條紋的間距條紋的間距為：為： x = D/ d第第10章章第第3節(jié)節(jié)同理可得同理可得暗紋中心的位置暗紋中心的位置： x =(2k +

15、1)D/2d ( k = 0，1，2，3 )暗條紋也是等間隔直條紋，相鄰間距與明條暗條紋也是等間隔直條紋，相鄰間距與明條紋一樣。紋一樣。 如果用如果用白光做實驗白光做實驗，則除了，則除了 k = 0 級次級次(中央明紋中央明紋)的的中部為白色中部為白色外，外，其他各級次明其他各級次明紋紋將因不同波長將因不同波長(色光色光)的極大在不同位置而的極大在不同位置而變成彩色變成彩色。 著名的楊氏雙孔實驗，證實光的波動性。著名的楊氏雙孔實驗，證實光的波動性。后來狹縫代替針孔稱為后來狹縫代替針孔稱為雙縫實驗可得更清晰雙縫實驗可得更清晰且明亮干涉圖樣且明亮干涉圖樣，請同學們想想其中的原因。，請同學們想想其中

16、的原因。 思思 考考 題題在楊氏雙孔實驗（在楊氏雙孔實驗（D d）中，如果點光源）中，如果點光源 S 1、沿垂直畫面方向作微小位移，沿垂直畫面方向作微小位移， 2、沿平行于、沿平行于 S1S2 連線方向作微小位移，連線方向作微小位移，問：屏上的干涉條紋將會如果變化？問：屏上的干涉條紋將會如果變化？k=+1k=-2k=+2k= 0k=-1S1S2S*I第第10章章第第3節(jié)節(jié) 考慮考慮 N 個完全相同個完全相同的相干波源排在一條線的相干波源排在一條線上的情形。簡化起見假上的情形。簡化起見假定在很遠處觀察合成的定在很遠處觀察合成的波動，所以干涉的波線波動，所以干涉的波線實際上是平行的。實際上是平行的

17、。相鄰波源的相鄰波源的波程差波程差：= d sin 相位差相位差：= 2 /= 2 d sin /式中式中 d 為相鄰波源的間距，為相鄰波源的間距， 為觀察方向為觀察方向。d 3、多個相干源的干涉、多個相干源的干涉第第10章章第第3節(jié)節(jié)極小條件極小條件：N=2k 見見圖圖 3 d sin =k/ N ( k N整數(shù)倍整數(shù)倍 )主極大條件主極大條件：=2k 見見圖圖 2即：即：d sin = k ( k = 0，1，2，3)旋轉(zhuǎn)矢量的矢量和：旋轉(zhuǎn)矢量的矢量和： 見圖見圖 1A 圖圖 1xo 圖圖 2 圖圖 3第第10章章第第3節(jié)節(jié)因為每兩個主極大之間有因為每兩個主極大之間有 ( N - 1 )

18、個極小，個極小，所以每兩個主極大之間有所以每兩個主極大之間有( N - 2 )個次極大。個次極大。N = 2dsin / dsin / N 很大很大dsin / N = 4第第10章章第第3節(jié)節(jié) 從圖中可看出當增加波源數(shù)從圖中可看出當增加波源數(shù) N 時，系時，系統(tǒng)變?yōu)楦叨确较蛐?。方向性效應被廣泛用于統(tǒng)變?yōu)楦叨确较蛐?。方向性效應被廣泛用于廣播或接收電臺上。廣播或接收電臺上。例如：對于相距例如：對于相距 d =/ 2 的四個線型天線。的四個線型天線。主極大條件主極大條件： sin = k/d = 2k ( k = 0 )即：即： = 0 及及方向上有極大值方向上有極大值；極小條件極小條件： sin

19、 = k/Nd = k/2 ( k=1，2 )即：即： = / 3 和和/ 2 方向上有極小值方向上有極小值。第第10章章第第3節(jié)節(jié) 于是這種天線就比較善于發(fā)射或接收垂于是這種天線就比較善于發(fā)射或接收垂直于連接波源線的方向上的信號，因而被稱直于連接波源線的方向上的信號，因而被稱為為橫列指向天線橫列指向天線。同樣方向性效應也被應用。同樣方向性效應也被應用干射電望遠鏡上。干射電望遠鏡上。四個線型天線強度隨角度分布：四個線型天線強度隨角度分布：見下圖見下圖 = -/ 3 =/ 3 =/ 2 = = 0 d =/2 第第10章章第第3節(jié)節(jié)三、三、駐波駐波1、駐波的形成和特點、駐波的形成和特點(1)駐波

20、形成的條件駐波形成的條件 兩列振幅相同，傳播方向相反的相干波兩列振幅相同，傳播方向相反的相干波的迭加的迭加。 波干涉的特例。波干涉的特例。(2)定量分析定量分析 （以平面簡諧波為例）（以平面簡諧波為例） 設(shè)兩列頻率、振幅及振動方向相同，傳設(shè)兩列頻率、振幅及振動方向相同，傳播方向相反的平面簡諧波：播方向相反的平面簡諧波：y1 = Acos 2 ( t - x/ )，y2 = Acos 2 ( t + x/ )。合成波：合成波：y = y1+ y2 = 2Acos2 x/ cos 2t 第第10章章第第3節(jié)節(jié)合成波：合成波：y = 2Acos2 x / cos 2t討論：討論：(A)各點都在作同頻

21、率的振動各點都在作同頻率的振動 cos 2t；(B)位置位置 x 點的振幅點的振幅 | 2Acos2 x / | (C)位置位置 x 點的振動相位依賴與點的振動相位依賴與 2Acos2 x / 的正負號。的正負號。正號（或負號）各處正號（或負號）各處相位相相位相 同，但同，但正、負號之間處正、負號之間處相位反相。相位反相。波節(jié)波節(jié)波腹波腹第第10章章第第3節(jié)節(jié)(D) 在在 x = k /2處，處，振幅振幅 | 2Acos2 x / | = 2A， 振幅最大振幅最大，稱為，稱為波腹波腹； 在在x =(2k+1) /4處，處，振幅振幅 |2Acos2 x/ |= 0， 靜止不動靜止不動，稱為，稱為

22、波節(jié)波節(jié)。 其中其中 k = 0，1，2 。 (F) 相鄰兩個波腹或波節(jié)之間的距離為相鄰兩個波腹或波節(jié)之間的距離為 / 2。 這為我們提供了這為我們提供了一種測定波長的方法一種測定波長的方法波節(jié)波節(jié)波腹波腹第第10章章第第3節(jié)節(jié)波節(jié)波節(jié)波腹波腹(G)駐波使波線上各點作駐波使波線上各點作分段振動分段振動 ( 兩個相兩個相 鄰波節(jié)為一分段鄰波節(jié)為一分段 )，在每一分段中，各在每一分段中，各 點的振動相位是相同；兩個相鄰分段，點的振動相位是相同；兩個相鄰分段， 振動相位正好反相振動相位正好反相。每分段中各點的振動相位是相同的，這種波每分段中各點的振動相位是相同的，這種波稱為稱為駐波駐波；而相位逐點傳

23、播的波稱為；而相位逐點傳播的波稱為行波行波。第第10章章第第3節(jié)節(jié)(3)駐波特點駐波特點頻率頻率：各質(zhì)元頻率相同；：各質(zhì)元頻率相同；振幅振幅：與位置有關(guān)；：與位置有關(guān)；相位相位：同一分段，相位相同；：同一分段，相位相同； 相鄰分段，相位反相。相鄰分段，相位反相。能量能量：波腹處，動能為零，聚集勢能；：波腹處，動能為零，聚集勢能； 波節(jié)處，勢能為零，聚集動能。波節(jié)處，勢能為零，聚集動能。 駐波能量不斷在相鄰波腹與波節(jié)之間相駐波能量不斷在相鄰波腹與波節(jié)之間相互轉(zhuǎn)換，沒有單一方向的能量傳播?；マD(zhuǎn)換，沒有單一方向的能量傳播。第第10章章第第3節(jié)節(jié)入射波入射波y反射波反射波y(4) 半波損失半波損失繩子

24、波在固定端反射：繩子波在固定端反射：疊加后的波形疊加后的波形 在反射端形成波節(jié)。在反射端入射波和在反射端形成波節(jié)。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到達兩種媒質(zhì)分反射波周相相反，即入射波到達兩種媒質(zhì)分界面時發(fā)生界面時發(fā)生 相位突變，稱為相位突變，稱為半波損失半波損失。墻墻體體)波波密密媒媒質(zhì)質(zhì)(第第10章章第第3節(jié)節(jié)反射波反射波疊加后的波形疊加后的波形入射波入射波自自由由端端y y繩子波在自由端反射繩子波在自由端反射 在反射端形成波腹。在反射端入射波在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同，和反射波周相相同，無半波損失無半波損失。第第10章章第第3節(jié)節(jié) “半波損失半波損失”將決定

25、于波的種類和兩種將決定于波的種類和兩種介質(zhì)的有關(guān)性質(zhì)以及入射角的大小。介質(zhì)的有關(guān)性質(zhì)以及入射角的大小。機械波機械波：波密介質(zhì)波密介質(zhì) 密度密度與波速與波速 u 的乘的乘 積積u較大的介質(zhì)。較大的介質(zhì)。 波疏介質(zhì)波疏介質(zhì) 乘積乘積u 較小的介質(zhì)。較小的介質(zhì)。光波光波：光密介質(zhì)光密介質(zhì) 折射率折射率 n 較大的介質(zhì)；較大的介質(zhì)； 光疏介質(zhì)光疏介質(zhì) 折射率折射率 n 較小的介質(zhì)。較小的介質(zhì)?？梢宰C明：可以證明：當波從波當波從波(光光)疏介質(zhì)垂直入射到疏介質(zhì)垂直入射到波波(光光)密介質(zhì)而反射時，則反射波有密介質(zhì)而反射時，則反射波有 相位相位突變，相應有半波波程的損失突變，相應有半波波程的損失。這樣在分

26、。這樣在分界處出現(xiàn)波節(jié)，這種現(xiàn)象稱為界處出現(xiàn)波節(jié)，這種現(xiàn)象稱為“半波損半波損失失”。第第10章章第第3節(jié)節(jié)例例10-5 一平面波沿一平面波沿 x 軸正方向傳播，傳到軸正方向傳播，傳到波密介質(zhì)分界面波密介質(zhì)分界面 M 在在 B 點發(fā)生反射。點發(fā)生反射。 已知坐標原點已知坐標原點 O 到到介質(zhì)分界面介質(zhì)分界面 M 的垂直的垂直距離距離 L = 1.75 m，波長，波長= 1.4 m，原點，原點 O處的處的振動方程為：振動方程為： yo = 5 10-3 cos ( 500 t + /4 ) m，并設(shè)反射波不衰減，試求：并設(shè)反射波不衰減，試求：(1)入射波和反射波的波動方程入射波和反射波的波動方程；

27、(2)O和和B之間其余波節(jié)的位置之間其余波節(jié)的位置；(3)離原點為離原點為 0.875 m 處質(zhì)點的振幅處質(zhì)點的振幅。L OBMu 第第10章章第第3節(jié)節(jié)解：解：(1)已知原點振動方程為：已知原點振動方程為：yo = 5 10-3 cos (500 t + /4) m則入射波的波動方程為：則入射波的波動方程為：y入入= 5 10-3cos2 (250t - x /1.4)+ /4 m反射波：考慮反射波：考慮 C點，反點，反射波引起射波引起 C 點振動的相點振動的相位落后于位落后于 O 點振動的相點振動的相位為位為 2 (2L - x) /+ ，所以反射波的波動方程為：所以反射波的波動方程為：y

28、反反 = 5 10-3cos500 t+ /4 - 2 (2L-x)/+ = 5 10-3cos2 (250t+x /1.4)+ /4 mL OBMu Cx第第10章章第第3節(jié)節(jié)(2) x 處反射波與入射波引起振動相位差：處反射波與入射波引起振動相位差：= ( 2 x /1.4 + /4 ) - ( -2 x /1.4 + /4) = 4 x / 1.4干涉減弱條件可得波節(jié)位置滿足條件為：干涉減弱條件可得波節(jié)位置滿足條件為：4 x / 1.4 = ( 2k + 1 ) 波節(jié)位置：波節(jié)位置： x = 0.35 ( 2k + 1) m，( k = 0，1，2) =0.35，1.05，1.75 m所

29、以所以 O 和和 B 之間其余波節(jié)位置之間其余波節(jié)位置：x1 = 0.35 m , x2 = 1.05 m。第第10章章第第3節(jié)節(jié)(3) 在在 x = 0.875 m 處，反射波和入射波間處，反射波和入射波間 的相位差：的相位差： = 4 0.875 1.4 = 5 / 2合振幅合振幅： A = ( A入入 2 + A反反2 + 2A入入 A反反 cos)1/2 = 1.414 A入入 = 1.414 5 10-3 = 7.07 10-3m第第10章章第第3節(jié)節(jié)2、簡正模式、簡正模式 駐波的頻率由系統(tǒng)的固有性質(zhì)和邊界條駐波的頻率由系統(tǒng)的固有性質(zhì)和邊界條件決定。件決定。例如：一根兩端固定，長為例

30、如：一根兩端固定，長為 l 的緊張弦上的的緊張弦上的駐波，必須使兩端成為波節(jié)，即弦長必須是駐波，必須使兩端成為波節(jié)，即弦長必須是半波長的整數(shù)倍：半波長的整數(shù)倍： l = k/ 2 k = 2 l / k ( k = 1，2，3 )對應的對應的駐波頻率駐波頻率： ( u 為弦線中的波速為弦線中的波速 ) k = k u / 2 l ( k = 1，2，3 ) /2 3 /2k = 1k = 2k = 3第第10章章第第3節(jié)節(jié) k = k u / 2 l ( k = 1，2，3 )簡正模式簡正模式：頻率由上式?jīng)Q定的振動方式，稱：頻率由上式?jīng)Q定的振動方式，稱 為該系統(tǒng)的。為該系統(tǒng)的。其中最低的頻率其

31、中最低的頻率 1 稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的基頻基頻， 2， 3 ， 4 稱為稱為二次、三次，四次，二次、三次，四次，諧頻諧頻。簡正模式是駐波系統(tǒng)可能發(fā)生的振動方式。簡正模式是駐波系統(tǒng)可能發(fā)生的振動方式。共振共振：當外界驅(qū)動源頻率等于：當外界驅(qū)動源頻率等于(或很接近或很接近)系系統(tǒng)的某一模式的頻率時，系統(tǒng)就發(fā)生幅度很統(tǒng)的某一模式的頻率時，系統(tǒng)就發(fā)生幅度很大的駐波。通常把這種現(xiàn)象也叫做共振。大的駐波。通常把這種現(xiàn)象也叫做共振。 在彈簧和質(zhì)點系統(tǒng)中只有一個共振頻率，在彈簧和質(zhì)點系統(tǒng)中只有一個共振頻率，而駐波系統(tǒng)可有許多共振頻率。而駐波系統(tǒng)可有許多共振頻率。第第10章章第第3節(jié)節(jié) 一般情況下，任一振動可以

32、表示為它一般情況下，任一振動可以表示為它的各種簡正模式的迭加。各個模式的強弱和的各種簡正模式的迭加。各個模式的強弱和相位則由系統(tǒng)的具體條件和激發(fā)方式?jīng)Q定。相位則由系統(tǒng)的具體條件和激發(fā)方式?jīng)Q定。 弦樂器就是基于這一原理制作的。當弦弦樂器就是基于這一原理制作的。當弦樂器因拉弦而激起振動時，就發(fā)出一定的聲樂器因拉弦而激起振動時，就發(fā)出一定的聲音來，它包含各種頻率。音來，它包含各種頻率。基音基音： 對應最低頻率對應最低頻率 1，決定聲音的，決定聲音的音高音高；泛音泛音：對應頻率：對應頻率 k 稱為第稱為第 k 泛音，泛音決泛音，泛音決 定各種樂器的定各種樂器的音色音色。例如同奏一個例如同奏一個“C”音

33、，提琴和胡琴就很不音，提琴和胡琴就很不同，這就是因為它們所包含的泛音不同的緣同，這就是因為它們所包含的泛音不同的緣故。故。第第10章章第第3節(jié)節(jié) 對于管、鼓、膜或空腔等駐波系統(tǒng)，也對于管、鼓、膜或空腔等駐波系統(tǒng)，也同樣有簡正模模式和共振現(xiàn)象。同樣有簡正模模式和共振現(xiàn)象?？梢宰C明：可以證明：對于矩形膜上簡正模式對于矩形膜上簡正模式為：為： = u ( k12 / a2 + k22 / b2 )1/2 / 2其中其中 a 和和 b 分別為矩形的長與寬分別為矩形的長與寬，k1 和和 k2是整數(shù)。是整數(shù)。 對于矩形空腔內(nèi)的簡正模式對于矩形空腔內(nèi)的簡正模式為：為： = u ( k12 / a2 + k2

34、2 / b2 + k32 / c2 )1/2 / 2其中其中 a、b 和和 c 分別為矩形空膜的長、寬和分別為矩形空膜的長、寬和高，高，k1 ，k2 和和 k3 是整數(shù)。是整數(shù)。第第10章章第第3節(jié)節(jié)解：當繩索上激起強駐波時，可把解：當繩索上激起強駐波時，可把 繩索看作兩端固定的系統(tǒng)，可得：繩索看作兩端固定的系統(tǒng)，可得： k = k ( T/)1/2 / 2 l 式中式中 k 是所激起駐波包含的半波數(shù)。是所激起駐波包含的半波數(shù)。例例10-6 設(shè)設(shè) A、B 間繩索長間繩索長 l = 1 米，繩索線米，繩索線密度密度= 5 克克/米，所持砝碼為米，所持砝碼為 1 千克。為在千克。為在繩索上激一個半

35、波，二個半波和三個半波的繩索上激一個半波，二個半波和三個半波的強駐波，問發(fā)生器的頻率強駐波，問發(fā)生器的頻率(即音叉的振動頻即音叉的振動頻率率)應分別為多少應分別為多少 ?lABPm第第10章章第第3節(jié)節(jié) k = k ( T/)1/2 / 2 l已知：已知：l = 1 m，T = 1 kg9.8 m/s2 = 9.8 N， = 5 g /m = 510-3 kg /m， k = 1，2，3代入上式，得：代入上式，得： 1 = 1 ( 9.8 / 5 10-3 )1/2 / 2 1 = 22.1 Hz 2 = 2 ( 9.8 / 5 10-3 )1/2 / 2 1 = 44.3 Hz 3 = 3

36、( 9.8 / 5 10-3 )1/2 / 2 1 = 66.5 Hz第第10章章第第3節(jié)節(jié)四、薄膜干涉四、薄膜干涉1、光程和光程差、光程和光程差 前面討論波的干涉條件時，僅限于相干前面討論波的干涉條件時，僅限于相干波在同一介質(zhì)內(nèi)傳播的情況。下面將討論相波在同一介質(zhì)內(nèi)傳播的情況。下面將討論相干光經(jīng)過不同介質(zhì)后產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象光程：干光經(jīng)過不同介質(zhì)后產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象光程： 光在折射率為光在折射率為 n 的介質(zhì)中傳播，通過的介質(zhì)中傳播，通過幾何路程為幾何路程為 x，則光的相位改變了：，則光的相位改變了： = 2 x / ( 為介質(zhì)中的波長為介質(zhì)中的波長) = 2 nx / ( 為真空中的波長為真空中的

37、波長) 第第10章章第第3節(jié)節(jié) = 2 nx / ( 為真空中的波長為真空中的波長)定義：定義：光程光程 = n x，即折算到真空中的路程。，即折算到真空中的路程。與光程差與光程差之間的關(guān)系之間的關(guān)系：=2 / 同相位的相干光，明暗條紋的干涉條件：同相位的相干光，明暗條紋的干涉條件： =2 / = 2k （明條紋明條紋） =2 / = (2k + 1) （暗條紋暗條紋）用光程差用光程差來表示，即：來表示，即： = 2k / 2 （明條紋明條紋） = ( 2k + 1) / 2 （暗條紋暗條紋）其中其中 k = 0，1，2，3 。第第10章章第第3節(jié)節(jié)解：解：=(S1A - e ) + ne -

38、 S2A因為因為 A 點在點在 S1S2 的中垂的中垂線上，所以線上，所以 S1A = S2A故光程差為：故光程差為： = ( n - 1 ) e因此在因此在 A 點的相位差點的相位差為：為： =2/= 2( n - 1 ) e /例例10-7：相干光源：相干光源 S1 和和 S2 ，波長為，波長為，在，在 S1S2 的中垂線上有一點的中垂線上有一點 A，若在，若在 S1A 連線上連線上垂直插入一厚為垂直插入一厚為 e 折射率為折射率為 n 的介質(zhì)，求兩的介質(zhì)，求兩相干光源在相干光源在 A 點的相位差點的相位差。AS1S2ne第第10章章第第3節(jié)節(jié)adeg 與與bh幾何路程不等，但光程相等。幾

39、何路程不等，但光程相等。abc 三點在同一波陣面上，相位相等，三點在同一波陣面上，相位相等，到達到達 F 點相位相等，形成亮點，點相位相等，形成亮點，所以透鏡的引入不會引起附加的光程差。所以透鏡的引入不會引起附加的光程差。agcbh.eF屏屏.d.透鏡的等光程性透鏡的等光程性:第第10章章第第3節(jié)節(jié)F屏屏acb.傾斜入射時：傾斜入射時：abc 三點在同一波陣面上，相位相等，三點在同一波陣面上，相位相等，到達到達 F 點相位相等，形成亮點，點相位相等，形成亮點，透鏡的引入同樣不會引起附加的光程差透鏡的引入同樣不會引起附加的光程差。透鏡的等光程性透鏡的等光程性:第第10章章第第3節(jié)節(jié) = n2 (

40、 AC + CB ) - n1 DB由幾何關(guān)系：由幾何關(guān)系：AC = CB = e / cos r DB = AB sin i =2e tg r sin i， 折射定律：折射定律：n1 sin i = n2 sin r可得可得光程差光程差：= 2n2 e cos rCDABriib1a1n12nern3=n1ab設(shè)透明薄膜材料的兩個表設(shè)透明薄膜材料的兩個表面互相平行，來自擴展光面互相平行，來自擴展光源源(面光源面光源)上某點發(fā)出的上某點發(fā)出的 a、b 兩束平行光分別入射兩束平行光分別入射到薄膜表面上的到薄膜表面上的A和和B點，點，兩束反射線兩束反射線 a1 和和 b1 之間之間光程差光程差為：

41、為：2、薄膜干涉的光程差、薄膜干涉的光程差可證明：可證明：1、當、當 或或 時，時，反射沒有附加半波損失；反射沒有附加半波損失；2、其它情況下其它情況下，反射要考慮附反射要考慮附 加半波損失。加半波損失。n 2 n 1 n 3 透射光透射光：光程差光程差為：為： =+/ 2 所以：所以：反射光干涉加強時，透射光干涉減弱；反射光干涉加強時，透射光干涉減弱； 反射光干涉減弱時，透射光干涉加強。反射光干涉減弱時，透射光干涉加強。第第10章章第第3節(jié)節(jié)= 2n2 e cos r薄膜干涉分類薄膜干涉分類 (1) 等厚干涉等厚干涉 當光線入射角當光線入射角 i 一定時一定時，相同厚度，相同厚度 e 薄薄膜

42、處有同一光程差，這樣干涉現(xiàn)象稱為等厚膜處有同一光程差，這樣干涉現(xiàn)象稱為等厚干涉，干涉，等厚干涉條紋在薄膜表面附近。等厚干涉條紋在薄膜表面附近。 (2) 等傾干涉等傾干涉 當薄膜厚度均勻一定時當薄膜厚度均勻一定時，相同的入射角，相同的入射角 i 的光線有同一光程差，這樣的干涉現(xiàn)象稱的光線有同一光程差，這樣的干涉現(xiàn)象稱為等傾干涉，等傾干涉條紋在無限遠處，為等傾干涉，等傾干涉條紋在無限遠處，可可用透鏡聚集在焦平面上得到一同心園形干涉用透鏡聚集在焦平面上得到一同心園形干涉條紋。條紋。第第10章章第第3節(jié)節(jié) 當平行光垂直當平行光垂直( i = 0)入射劈面上，由于入射劈面上，由于劈尖上下介質(zhì)相同劈尖上下

43、介質(zhì)相同 ( n1 = n3 )，反射干涉應考，反射干涉應考慮附加半波損失。慮附加半波損失。干涉明紋干涉明紋：= 2n2 e +/ 2 = 2k (/ 2 )干涉暗紋干涉暗紋：= 2n2 e +/ 2 = ( 2k+1 ) (/ 2 ) 3、等厚干涉實例分析、等厚干涉實例分析例例10-8 劈尖干涉劈尖干涉 （ n1 = n3，劈尖角，劈尖角 很?。┖苄。└缮姘导y干涉暗紋ek+1e k 第第10章章第第3節(jié)節(jié)干涉明紋干涉明紋：= 2n2 e +/ 2 = 2k (/ 2 )干涉暗紋干涉暗紋：= 2n2 e +/ 2 = ( 2k+1 ) (/ 2 ) 上兩式表明：每級明或暗條紋都與一定上兩式表明

44、：每級明或暗條紋都與一定的膜厚的膜厚 e 相對應。因而在介質(zhì)膜上表面的同相對應。因而在介質(zhì)膜上表面的同一條等厚線上，就形成同一級次的一條干涉一條等厚線上，就形成同一級次的一條干涉條紋。這樣形成的干涉條紋叫做等厚條紋。條紋。這樣形成的干涉條紋叫做等厚條紋。 在在棱邊棱邊處處 e = 0，兩相干光的光程差，兩相干光的光程差=/ 2 ，即相位差為，即相位差為，因而形成，因而形成暗條紋暗條紋。干涉暗紋干涉暗紋ek+1e k 第第10章章第第3節(jié)節(jié)條紋間距條紋間距 l ： e = e k+1 - e k = l sin l = (e k+1 - e k ) sin =e / sin 式中式中為劈尖頂角，

45、為劈尖頂角，e為與相鄰明紋或暗紋為與相鄰明紋或暗紋對應的厚度差。對應的厚度差。對于相鄰的兩條明紋：對于相鄰的兩條明紋： 2n2 e k+1 +/ 2 = ( k + 1 ) 2n2 e k +/ 2 = k e = e k+1 - e k =/ 2n2 l =/ 2n2 sin 通常通常 很小很小 sin l / 2n2 ek+1e k 第第10章章第第3節(jié)節(jié)討論：條紋間距、條紋密度與劈尖角關(guān)系討論：條紋間距、條紋密度與劈尖角關(guān)系 上式表明，劈尖干涉形成的干涉條紋是上式表明，劈尖干涉形成的干涉條紋是等間距的，條紋間距與劈尖角等間距的，條紋間距與劈尖角有關(guān)。有關(guān)。越越大，條紋間距越小，條紋越密。

46、大，條紋間距越小，條紋越密。 當當大到一定程度后，條紋就密不可分大到一定程度后，條紋就密不可分了。所以干涉條紋只能在劈尖角度很小時才了。所以干涉條紋只能在劈尖角度很小時才能觀察到。能觀察到。 條紋間距條紋間距： l / 2n2 第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)

47、節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第

48、10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變小，條紋變寬，夾角變小，條紋變寬， 條紋向右移動條紋向右移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10

49、章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)夾角變大，條紋變密夾角變大，條紋變密 條紋向左移動條紋向左移動第第10章章第第3節(jié)節(jié)劈尖干涉應用劈尖干涉應用（1）已知劈尖的折射率）已知劈尖的折射率 n2 和入射光的波和入射光的波長長，又測出條紋間距，又測出條紋間距 l，則可求得劈尖角，則可求得劈尖

50、角。在工程上，在工程上，常利用這一原理測定細絲直徑，常利用這一原理測定細絲直徑，薄片厚度等薄片厚度等。（2）利用等厚條紋特點檢驗工作的平整度，）利用等厚條紋特點檢驗工作的平整度，這種檢驗方法能檢查出不超過這種檢驗方法能檢查出不超過/ 4 的凹凸的凹凸缺陷。缺陷。第第10章章第第3節(jié)節(jié)應該出應該出現(xiàn)現(xiàn) 暗紋暗紋的位置的位置實際的實際的暗紋位暗紋位置置試試件件標標 準準 件件利用干涉現(xiàn)象利用干涉現(xiàn)象檢驗平面的平整度檢驗平面的平整度第第10章章第第3節(jié)節(jié) 假設(shè)假設(shè) n2 n1，n2 e，可略去，可略去 e2， r2 = 2R e 可得可得明環(huán)半徑明環(huán)半徑為：為： r = ( 2k - 1) R/2n

51、2 1/2 , ( k = 1，2，3) 暗環(huán)半徑暗環(huán)半徑為：為： r = k R/ n2 1/2 ， ( k = 0，1，2) 由于半徑由于半徑 r與環(huán)的級次與環(huán)的級次 k 的平方根成正的平方根成正比，所以越向外環(huán)越密。比，所以越向外環(huán)越密。erRn1n2n3AO第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章章第第3節(jié)節(jié)透透 鏡鏡曲曲率率半半徑徑變變小小時時干干 涉涉條條紋紋變變密密第第10章