度量空間的列緊性與緊性

1、度量空間的列緊性與緊性度量空間的緊性Compactness在微積分中， 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有最大值、最小值、 一致連續(xù)等， 這些性質的成立基于一個重要的事實：R 的緊性，即有界數(shù)列必有收斂子列但這一事實在度量空間中卻未必成立例 1.4.1設X L2, f |(L )| f (x) |2dx ，對于 f , gX ，定義1d ( f , g) (| f (x) g (x) |2 dx)2 ，令 fn()sin f n (x) 是有界的發(fā)散點列xnx ，那么證明由于11d ( fn ,0) ( | f n (x)0 |2 dx) 2(sin nx)2 dx) 21cos2nx dx11 dxco

2、s2nx dx2222所以 fn (x) 為有界點列對于任意的n,m N ，有122112cos m2d ( fn , fm ) ( | sin nx sin mx |2 dx)2n x sin n m xdx224 1 cos(nm)x 1 cos(n m)x dx22121(1 cos(n m) x) (1cos(n m) x)dx22因此 fn (x) 不是基本列，當然不是收斂列定義 1.4.1列緊集、緊集與緊空間Sequentiallycompact set, Compact set, Compactspace設 X是度量空間，AX (1) 如果 A 中任何點列都有收斂于 X 的子列，

3、則稱 A 為列緊集 ( 或致密集 、或 相對緊集 ) ；(2)如果 A 是列緊集，也是閉集，則稱A 為緊集；(3)如果 X 本身是列緊集 ( 必是閉集 ) ，則稱 X 為緊空間 注 1：若 A 是 X 的列緊集， X nA 且 xnx0 (n) ，那么 x0A 若 A 是 X 的緊集，x0A 定理設 (X , d) 是度量空間，下列各命題成立：(1) X 的任何有限集必是緊集；(2) 列緊集的子集是列緊集；(3) 列緊集必是有界集，反之不真證明 (1) 、(2) 易證下面僅證 (3) 假設A X是列緊集，但 A 無界取 x1 A 固定，則存在 x2 A ，使得 d (x1, x2 ) 1 對于

4、x1 , x2 ，必存在 x3A ，使得 d( x1, x3 ) 1 、 d ( x2 , x3 ) 1 由于 A 是無界集，可依此類推得到X 的點列 X n 滿足：只要ij ，就有 d ( xi , xj )1 顯然點列 X n 無收斂子列，從而A 不是列緊集導致矛盾，故A 是有界集反過來， A 是有界集，A 未必列緊反例：空間XL2, 上的閉球BO(0,) 有界，而不是列緊集( 見例注 2： R 中的開區(qū)間(0,1) 是列緊集，卻不是緊集( 由于 R 中的有界數(shù)列必有收斂子列，所以(0,1) 中的數(shù)列必有收斂子列，但(0,1) 不是閉集，故列緊不緊)注 3：自然數(shù)N = 1,2, n, 不

5、是列緊集(N 無界)推論(1)緊空間是有界空間；(2)緊空間是完備空間證明(1)若 X 為緊空間，那么X 本身為列緊集，而列緊集有界，故X 為有界空間(2)若 X 為緊空間，即它的任何點列有收斂子列，從而知X 中的基本列有收斂子列，根據(jù)基本列的性質( 若基本列含有收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到子列的極限) ，可得X 中的基本列收斂，因此X 為完備的空間關于n 維毆氏空間Rn 中的列緊集、緊集的特性有如下定理定理設ARn ，Rn 是 n 維毆氏空間，那么(1)A 是列緊集當且僅當A 是有界集；(2) A 是緊集當且僅當 A 是有界閉集證明(1)必要性顯然成立；利用閉球套定理可以證明：如果A

6、是有界的無限集，則 A 具有極限點，從而可證充分性(2) 由 (1) 易得注 4：由于 R 中的非空緊集A 就是有界閉集， 定義 A 上的連續(xù)函數(shù)具有最大與最小值，這一事實在度量( 距離 ) 空間中依然成立首先說明連續(xù)映射將緊集映射為緊集引理設 f 是從度量空間( X ,d ) 到 (Y,) 上的連續(xù)映射 ( 稱為算子 ) ， A 是 X 中的緊集，那么f ( A) 是 Y 中的緊集證明設Ef (A) ，首先證明E是Y中的列緊集 yn E ， xnA ，使得ynf (xn ) ， n1,2,由于A 是緊集，所以點列 xn 存在收斂的子列 xnk ，且xnkx0A ，又知f 是X 上的連續(xù)映射，

7、于是lim ynkklim f (xnk )kf (x0 )E 即 yn 有收斂于E 的子列 ynk ，因此E 為Y中的列緊集再證E 是閉集 設 yn E ， yny0 (n) ，根據(jù)A 的緊性和連續(xù)映射f 可得，對應的點列 xn (ynf (xn ) ) 存在收斂的子列 xnk ， xnkx0A 從而y0lim yn nlim ynk klimkf (xnk)f (x0)E ，即 E是閉集定理最值定理設 A 是度量空間X 中的緊集，f 是定義在X 上的實值連續(xù)函數(shù)(泛函)，即f : XR ，那么f在 A 上取得最大值與最小值證明設 Ef ( A) ，由上述引理知E 是 R 中的緊集所以E 是

8、 R 中的有界集，于是上、下確界存在，設Msup f ( x) | xA ， minf f (x) | xA 下證 M 是 f 在 A 上取得的最大值， 同理可證 m 是 f在 A 上取得的最小值 由確界性的定義知，n ， xnA ，使得f (xn )M1 ，即可得 M1f ( xn )MM1 nnn再由 A 為緊集知存在 xnk xn ，使得 xnkx*A ( k),于是1f (xnk)MM1Mnknk令 k，有 f (x* ) M，因此 M 是 f 在 A 上取得的最大值度量空間中的全有界性刻畫列緊性的重要概念之一是全有界性，通過以下的討論可知：(1) 度量空間中的列緊集必是全有界集；(2

9、) 在完備度量空間中，列緊集和全有界集二者等價定義網(wǎng)設 X 是度量空間，A, BX ，給定0 如果對于A 中任何點x ，必存在B 中點x'，使得d (x, x' )，則稱 B是A的一個網(wǎng)即A( , )O xx B( X , d )( X , d)ABABAA圖B是A的一個網(wǎng)示意圖例如：全體整數(shù)集是全體有理數(shù)的網(wǎng)；平面上坐標為整數(shù)的點集是R2 的網(wǎng)21012R(wwwwwww)0.6(wwwwwww)(wwwwwww )(wwwwwww )(wwwwwww )R21012圖整數(shù)集 Z 是全體有理數(shù) Q 的網(wǎng)示意圖定義 1.4.3全有界集設 X 是度量空間， AX ，如果對于任給的

10、0，A 總存在有限的網(wǎng),則稱 A是 X中的全有界集 注5 ：根據(jù)定義可知A 是 X 中的全有界集等價于0 ， x1 , x2 , xn X,使得nO( xi ,)xiAi表示以中心，以為半徑的開鄰域O(x , ) ，其中i 1引理 1.4.2A 是度量空間X 的全有界集當且僅當0 ， x1, x2 , xnA, 使得nA O(xi , ) i 1n證明當 A 是全有界集時，0， x , x , x X,使得 AO( x , ) 不妨設12nii 121 i n 有O (xi , ) A， 選 取yiO( xi , ) A， 顯 然 y , y , y Y以及12n22O(xi , 2)O( y

11、i , ) ，因此nnAi 1 O(xi , 2 )O( yi , )i 1注 6：在 Rn 中，不難證明全有界集與有界集等價，那么在一般的度量空間中這樣的結論成立嗎還是只在完備的度量空間中成立下面給出有界集和全有界集的關系定理全有界集的特性設 X 是度量空間，AX ，若A 是全有界集，則(1)A 是有界集；(2)A 是可分集證明(1)設 A 是全有界集，取1 ，由定義知，nN及 x1 , x2 , xnX ,使得nA O( xi ,1) i 1現(xiàn)令 M1 max d (x1, xi ) ，則易知 AO(x1 , M ) ，可見 A 是有界集2 i n(2) 設 A 是全有界集，下證 A 有可

12、列的稠密子集由 引 理1.4.2 知 對 于n1( n 1,2,) ， 存 在 Bn x1( n ) , x2(n ) , xk( nn) A，使得nknAO(xi( n) , 1 ) ，下面證明Bn是 A 的稠密子集i1nn 1xA ，0 ，存在 n0N，使得 1，由于 Bn0是A的 1網(wǎng)，故xn0Bn0Bn ，n0n0i 1使 d (x, xn)1，從而， xnO ( x,) ，即B 在 A 中稠密，顯然B 是可列集，故A 可00n0nni 1i 1分注 7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集卻不一定是全有界集例如全體實數(shù)對應的離散度量空間(R,d0 ) 中的子集N = 1,2

13、，3， 是有界集，卻不是全有界集定理全有界的充要條件設 X 是度量空間，AX ，則 A 是全有界集當且僅當 A 中的任何點列必有基本子列證明 (1)充分性：反證法若A 不是全有界集，則存在00 ， A 沒有有限的0 網(wǎng)，取 x1A ，再取 x2A ，使 d (x1 , x2 ) 0，( 這樣的 x2存在，否則 x1 為 A 的 0 網(wǎng) ) 再取 x3A ，使130 ，230(這樣的3 存在，否則12為 A 的0 網(wǎng) ) 以此類推，可得d (x , x )d ( x , x )x x , x xn A ，而 xn 沒有基本子列，產生矛盾，故A 是全有界集(2) 必要性：設 xn 是 A 的任一點

14、列，取k1 ， k1,2, ，因為 A 是全有界集，故 Ak存在有限k 網(wǎng)，記為 Bk 以有限集 B1 的各點為中心，以1 為半徑作開球，那么這有限個開球覆蓋了A ，從而覆蓋了 xn ，于是至少有一個開球 ( 記為 S1 ) 中含有 xn 的一個子列 xk(1) S1 同樣以有限集B2 的各點為中心，以2 為半徑作開球，那么這有限個開球覆蓋了 xk(1) ，于是至少有一個開球( 記為 S2 ) 中含有 xk1 的一個子列 xk(2) S2 依次可得一系列點列： xk(1) ： x1(1) , x2(1) , x3(1) , xk(1) , x(2) ： x(2), x(2), x(2) , x

15、(2) ,k123k,(i )( i )( i )(i )(i ) xk ： x1 , x2 , x3 , xk ,且每一個點列是前一個點列的子列，取對角線元素作為 xn 的子列，即 x(k ) x(1), x(2), x(3), x( k ), k123k是 xn 的子列下證 xk(k ) 是基本列0，取K，使得 K12，那么當 k, pK 時，不妨設 pk ，則有 xp(p)Sk ，記開K球 Sk 的中心為x*k ，那么有d (x (pp ) , xk(k ) )d ( x(pp ) , x*k )+ d( x*k , xk(k ) )kk2 k，故 xk( k ) 是 xn 的基本子列推

16、論豪斯道夫 (Hausdorff)定理設 X 是度量空間，AX (1) 若 A 是列緊集，則 A 是全有界集；(2)若 X 是完備的度量空間，則A 是列緊集當且僅當A 是全有界集證明(1)因為列緊集中的任何點列都有收斂子列，故它必是基本子列， 由上述定理知 A 是全有界集；(2)必要性：由 (1)知，度量空間中的列緊集一定是全有界集充分性： xn A ，因為 A 是全有界集，所以 xn 含有基本子列 xn k ，又知 X 完備，于是 x 在X中收斂，可見A的任何點列都有收斂X的子列，即A是列緊集 nk注 9：對于一般的度量空間：列緊集是全有界集；全有界集是有界集，有界集卻不一定是全有界集，全有

17、界集卻不一定是列緊集例如：讓 X 表示 0,1上的有理數(shù)全體， 在歐氏距離定義下， 由于 lim 1 (11 )ne ，所以 Xn3n3不是完備的度量空間、X 不是列緊集 由于0 ，存在正整數(shù)n ，使得 1，那么n0, 1, 2 , n 1,1 是 X 的網(wǎng)，所以 X 是全有界nnn綜上所述，緊集、列緊集、全有界集及有界集、可分集有如下的關系：緊集列緊集全有界集緊集列緊集全有界集閉完備有界集可分集定理C a,b 中點集列緊的的充要條件設 AC a,b ，則 A 是列緊集的充要條件為以下兩條成立(1)A 一致有界：M0 ，xA ，對任何 ta,b 有 x(t)M 成立；(2)A 等度連續(xù)：0 ，

18、0 (與 t 及 x 無關 ) ，當 t1 ,t2 a, b 及 t1t2時，xA有 x(t1)x(t2 )注意區(qū)別等度連續(xù)與映射的一致連續(xù)兩個概念推論 1.4.3阿爾采拉 (Arzela) 引理設 F fi fi C a, b, iI 是 Ca,b 的一致有界且等度連續(xù)的函數(shù)族，則從F 中必可選出在 C a, b 上一致連續(xù)的子序列fn (t ) 定理 1.4.7設 Al p ( p 1) ，則 A 是列緊集的充要條件為以下兩條成立p1(1)A 一致有界：M 0，x)pM；12kkx (x , x, , x , ) A ，有 (k11(2)A 等度連續(xù)：0 ， N ， x(x1 , x2 , , xk , ) A ，有 (pxk ) pk N1例 1.4.2設 ( X , d0 ) 為離散的度量空間，AX ，證明： A 是緊集的充要條件為A 是有限點集 (2-18)證明 (1)充分性：設 A 是有限點集，則A 必為閉集，又無點列，故為緊集(2) 必要性：反證法假設A 為無限點集，則必有可列子集AA ，且 A 種元素各不相同，不妨設為A x1 , x2 , , xn , xn ，當 mn 時，根據(jù)離散度量空間中距離的定義知d0 (xm , xn )1 ，從而 xn 無收斂子