第三章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件

1、第三節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)二. 高階導(dǎo)數(shù)的概念三. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 一. 隱函數(shù)求導(dǎo)法. 13xy一一. 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)( 注意 y = y(x) )(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解：方程兩邊對(duì)解：方程兩邊對(duì)

2、 x 求導(dǎo)求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解：橢圓方程兩邊對(duì)解：橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx二. 高階導(dǎo)數(shù)的概念,cos)(sinxx 例例,sin)(cosxx. sin 連續(xù)求兩次導(dǎo)數(shù)的結(jié)果是x , sin 記為的二階導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)xxxxxsin)(cos)(sin)(sin )( )(

3、,仍然的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)一般說來xfxf的二的導(dǎo)數(shù)為原來函數(shù)則稱可導(dǎo) )( )( ,xfxf . ) )()( , xfxf記為階導(dǎo)數(shù))(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa變速直線運(yùn)動(dòng)又比如，在引例中推而廣之： , , 1 )( 的函數(shù)它仍是階導(dǎo)數(shù)存在的設(shè)xnxf . ,階導(dǎo)數(shù)數(shù)的則稱它的導(dǎo)數(shù)為原來函若它可導(dǎo)n階導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為： n .dd ,d)(d , ),()()(nnnnnnxyxxfyxf , ) )()()1()(xfxfnn ,d)(dddd)(d11nnnnxxfxxxf ,dddddd11nnnnxyxxy , )( )1()(nnyy

4、按照一階導(dǎo)數(shù)的極限形式, 有xxfxxfxfynnxnn)()(lim)()1()1(0)()(00)1()1(0)()()()(lim)(00 xxxfxfxfynnxxnxxn和 一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定再可導(dǎo), 也不一定連續(xù). 如果函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 I 上有直到 n 階的導(dǎo)數(shù) f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是連續(xù)的 (此時(shí)低于 n 階的導(dǎo)數(shù)均連續(xù) ), 則稱 f (x) 在區(qū)間 I 上 n 階連續(xù)可導(dǎo), 記為.)( ) I ()(nnCxfCxf或 假如 f (x) 在區(qū)間 I 上的任意階的高階導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù), 則稱函數(shù) f (x) 是無窮次連續(xù)可導(dǎo)的, 記為

5、.)( ) I ()(CxfCxf或1)(nnxnxy21) 1()()( nnxnnxnyy3)2( ) 1()( nxnnnyyknkkxknnnnyy) 1()2( ) 1()() 1()(. , 的高階導(dǎo)數(shù)求冪函數(shù)Znxyn)1(nk 解解例例3 3注意, 當(dāng) k = n 時(shí)!123)2( ) 1()()(nnnnxnn綜上所述：. 0)( , 1 ,)(knxnk時(shí)當(dāng)從而knknxknnnx) 1() 1()()()1(nk 0)()(knx)1(nk多項(xiàng)式的高階導(dǎo)數(shù).nnnnnaxaxaxaxP1110)(231202)2)(1() 1( nnnaxnnaxnnay!0)(nayn

6、解解12110) 1(nnnaxnanxay例例4 4(1)(2)0nnyy對(duì)多項(xiàng)式而言, 每求一次導(dǎo)數(shù) , 多項(xiàng)式的次數(shù)降低一次 ; n 次多項(xiàng)式的 n 階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù) ; 大于多項(xiàng)式次數(shù)的任何階數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為 0 . 求 y = ex 的各階導(dǎo)數(shù).解解xey y = ex 的任何階導(dǎo)數(shù)仍為 exxnxee)()()(Nnxxeeyy )()(xney)(例例5 5求 y = lnx 的各階導(dǎo)數(shù).解解11xxy2122) 1() 1( xxy3)2)(1( xy111! ) 11 () 1(x212! ) 12() 1(x313! ) 13() 1(x設(shè) kkkxky! ) 1() 1(1)(

7、例例6 611)1()()!1() 1(kkkxkky)1(1)1(! 1) 1() 1(kkxk)( )!1() 1()(ln1)(Nnxnxynnnn類似地, 有)( )()!1() 1()(ln(1)(Nnbaxanbaxnnnn那么故由數(shù)學(xué)歸納法得解解xycosxysin xycos xysin)4(. cos , sin 的各階導(dǎo)數(shù)求xyxyxysin 看出結(jié)論沒有？)24sin(x)23sin(x)22sin(x)21sin(x例例7 7注意：求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)歸納法證明).運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得)( )2sin()

8、(sin)(Znnxxn類似地 , 可求得)( )2cos()cos()(Znnxxn(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式 ?高階導(dǎo)數(shù)的求法：高階導(dǎo)數(shù)的求法：)(1nxa1)(!) 1(nnxan如下列公式xxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2n)2n三. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè) f (x), g(x) 有直到 n 階的導(dǎo)數(shù), 那么(1)(2) 萊布尼茲公式：)()()()()()()(xgxfxgxfnnn)()()()()()(0)(xgxfCxgxfkknnkknn. ! )( ! , knknCkn其中兩個(gè)基本公式. 651d

9、d 2100100 xxx求由于) 3)(2(16512xxxx,3121xx故31dd21dd651dd1001001001002100100 xxxxxxx101101)3(1)2(1!100 xx101100101100)3( !100) 1()2( !100) 1(xx解解例例8 8)1( )(1! ) 1()(nnnxnx解解 設(shè))(sin2xfxy , 求,y 其中 f 二階可導(dǎo).xxfxcos)(sin2)(sin2xf)(sin2xfxy2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(sin2(2 xxfxxfxy)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xc

10、osxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 例例9 9第四節(jié) 函數(shù)的微分一. 微分的概念二. 微分的運(yùn)算法則 三. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用問題：?jiǎn)栴}：()ygx 1.?xxy 當(dāng)當(dāng)自自變變量量 有有一一個(gè)個(gè)微微小小改改變變量量時(shí)時(shí), ,到到底底為為多多少少2.2.是否有簡(jiǎn)單辦法計(jì)算它？是否有簡(jiǎn)單辦法計(jì)算它？ 程度。相對(duì)于自變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是表示函數(shù)變化的快慢當(dāng)自變量有一在運(yùn)動(dòng)或變化過程中，個(gè)微小的增量時(shí)， 要計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)增量。遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類問題：還會(huì)在工程技術(shù)中，一一. 微分的概念微分的概念實(shí)例：正方形金

11、屬薄片受熱后面積的改變量實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx ) 1 ()2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

12、 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題：這個(gè)線性函數(shù)問題：這個(gè)線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是是否所有函數(shù)的改變量都有否所有函數(shù)的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?的微分,若函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作yd,df或即xAyd)( xoxA在點(diǎn)0 x可微可微,一一. 微分的概念微分的概念函數(shù)證：證： “必要性必要性” 知)(xfy 在點(diǎn) 可微

13、 ,0 x那么)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn) 可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x那么線性主部的此項(xiàng)為時(shí)yxf0)(0解解.d , yxy求什么

14、意思？例例1 1自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫成：該例說明：xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或 ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy. dd)( d)(d xyxfxxfy從而即函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也可稱為微商.哈哈！除法, 這一下復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)的求導(dǎo)公式就好理解了.再來看復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)的求導(dǎo)公式就會(huì)有另一種感覺：)(1dd1dd)( xfxyyxy反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , dddddd xuuyxy復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例2 2解解xxxxyd3d)(d231 . 0221 .

15、02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d222 . 2 , 1 . 0 , 2 3處的微分在時(shí)以及當(dāng)處的微分在求xxxxy例例3 3)(xfy 0 xMNT Tdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的增增量量就就是是切切線線縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量時(shí)時(shí)是是曲曲線線的的縱縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ddtan xy微分的基本思想是以直線代曲線）微分的基本思想是以直線代曲線）( )(|)ydyfxxx

16、 很很微微小小時(shí)時(shí)()1( )0)( )yoxfxdyfxx (0)ydyx xxyf xxf x 000,()()取取則則000()()()f xxf xfxx000()()()()f xf xfxxx則則000()()()yf xfxxx切切線線方方程程：曲線曲線令令,0 xxx 二. 微分的運(yùn)算法則 1.微分的基本公式與四則運(yùn)算法則可微 可導(dǎo) 與導(dǎo)數(shù)的基本公式與四則運(yùn)算法則相似 微分公式一目了然, 不必講了.2. 復(fù)合函數(shù)的微分法則 (一階微分形式不變性) )( )( 可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)與設(shè)xuufy).(xfy而處可微在點(diǎn)若 , )(0 xxu , )( )(00且處可微在相應(yīng)點(diǎn)xuufy

17、)( , )U( )(0 xfyxxf則內(nèi)有定義在在點(diǎn) x0 處可微.按微分的定義但故xxfxxyyd)(ddddxxxfd)()(xxud)(d d)(d)()(duufxxufy)( 為中間變量u 說明什么問題？ 我們發(fā)現(xiàn) y = f (u) , 當(dāng) u 為中間變量時(shí)的微分形式與 u 為自變量時(shí)的微分的形式相同 , 均為 dy = f (u) du , 這種性質(zhì)稱為函數(shù)的一階微分形式不變性 .例例4. 設(shè)設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解：利用微分的四則運(yùn)算法則解：利用微分的四則運(yùn)算法則 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(

18、d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例5. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立：在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立：xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1說明：上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容說明：上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC)( 為任意常數(shù)C注注)(22 44)(22)(4sin22)sin(2k224數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 例例6., )e1(ln2xy求 .dy解：解：2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex例例7. 7. 求求2sin()dxd xx 2sinsin 2xddxxxxdxd x 解2cossin2xxxdxxxdx 3cossin2xxxx 例例8. 8. ()(ln),fxyfx efdy 設(shè)設(shè)其其中中 可可導(dǎo)導(dǎo)，求求 () (ln )f xdydfx