初中幾何最值問題

1、初中幾何最值問題例題精講一、三點共線1、構(gòu)造三角形【例 1】 在銳角 ABC 中， AB=4 ，BC=5 ， ACB=45 °，將ABC繞點 B 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到 A 1BC 1點 E 為線段 AB 中點，點 P 是線段 AC 上的動點，在 ABC 繞點 B 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中， 點 P 的對應(yīng)點是點 P1 ，求線段 EP1 長度的最大值與最小值C1P1AEPA 1BC【鞏固】以平面上一點 O 為直角頂點， 分別畫出兩個直角三角形，記作AOB 和COD ，其中ABO= DCO=30 ° 如圖，若 BO= 3 3 ，點 N 在線段 OD 上，且 NO=2 點 P 是

2、線段 AB 上的一個動點，在將 AOB 繞點 O 旋轉(zhuǎn)的過程中，線段 PN 長度的最小值為_，最大值為 _AOPOBNNCDCD備用圖【例 2】 如圖，MON90 °，矩形 ABCD的頂點 A B 分別在邊 OM ，ON 上，當 B 在邊 ON 上運動時， A 隨之在邊 OM 上運動，矩形 ABCD 的形狀保持不變，其中 AB=2 ，BC=1，運動過程中，點D 到點O 的最大距離為_【鞏固】已知： AOB 中，ABOB2 ， COD 中，CDOC3 , ABO DCO .連接 AD、BC，點M 、N、P分別為 OA、OD、BC的中點.若 A 、O 、C 三點在同一直線上， 且 ABO

3、 2 ，固定 AOB ，將 COD 繞點 O 旋轉(zhuǎn)，則 PM 的最大值為 _BAMOPNDC【鞏固】在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 、 B 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上，點 M 為線段 AB 的中點點 D 、E 分別在 x 軸、y 軸的負半軸上，且 DE AB 10 以 DE 為邊在第三象限內(nèi)作正方形 DGFE ，請求出線段 MG 長度的最大值，并直接寫出此時直線 MG 所對應(yīng)的函數(shù)的解析式y(tǒng)BMDOAxGEF如圖，已知2, y1 )，B(2, y2 )為反比例函數(shù)yx 圖像上的兩點，【例 3】A( 11動點 P(x,0) 在 x 正半軸上運動，當線段AP 與線段 BP 之差達到最

4、大時，點P 的坐標是 _yABOPx2、軸對稱【例 1】求2x2 1 的最小值x 34【例】 AB CD 是半徑為 5 的 O 的兩條弦， AB8 ，CD6 ，MN 為直徑，2ABMN 于點 E , CDMN 于點 F ， P 為 EF 上任意一點，則PA+PC 的最小值為 _CP +PDACMNEOPFDB【鞏固】設(shè)半徑為1 的半圓的圓心為 O ，直徑為 AB , C、 D 是半圓上兩點，若弧 AC 的度數(shù)為96 °，弧 BD 的度數(shù)為 36 °，動點 P 在直徑 AB 上，則的最小值是 _【鞏固】設(shè)正三角形ABC 的邊長是2， M 是 AB 邊上的中點， P 是邊 BC

5、 上任意一點，則 PA +PM 的最大值為 _,最小值為_【例 3】如圖，已知等邊 ABC 的邊長為 1，D、E、F 分別是 AB 、BC、AC 邊上的點（均不與點 A 、B、C 重合），記 DEF 的周長為 p .若 D、E、F 分別是 AB、BC 、AC 邊上任意點，則 p 的取值范圍是.ADFBEC【例 4】 如圖 1，在平面直角坐標系中，拋物線 y x22x3 與 x 軸交于 A B 兩點，與 y 軸交于點 C ，點 D 是拋物線的頂點（ 1）求直線 AC 的解析式及 BD 兩點的坐標；（ 2）請在直線 AC 上找一點 M ，使 BDM 的周長最小，求出點 M 的坐標圖 1【例 5】

6、如圖，直線 y3x 2 分別交 x 軸、y 軸于 C 、A 兩點，將射3線 AM 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 45 °得到射線 AN ，D 為 AM 上的動點， B 為 AN 上的動點，點 C 在 MAN 的內(nèi)部（ 1）當 AM x 軸，且四邊形 ABCD 為梯形時，求 BCD 的面積；（ 2）求 BCD 周長的最小值；（ 3）當 BCD 的周長取得最小值， 且 BD 5 32 時，求 BCD 的面積yAyAyA222D1M11O123C 4xO123C4xO123C4xBN備用圖備用圖【例 6】在直角坐標系中， A1, 2 ， B 4, 1 ， C m,0 ， D n, n 為四邊形的

7、4 個頂點，當四邊形 ABCD 的周長最短時， m_nyODCxBA【鞏固】如圖 1，拋物線 yax 2bx c （ a 0 ）的頂點為C（ 1，4），交 x 軸于 A、 B 兩點，交 y 軸于點 D，其中點 B 的坐標為（ 3，0）。（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）如圖 2，過點 A 的直線與拋物線交于點 E，交 y 軸于點 F，其中點 E 的橫坐標為 2，若直線 PQ 為拋物線的對稱軸，點 G 為直線 PQ 上的一動點，則x 軸上師范存在一點 H，使 D、G 、H、F 四點所圍成的四邊形周長最小。若存在，求出這個最小值及點請說明理由。yPCyCDDFABAOxOG 、H 的坐標；若不存在

8、，yCEDBABxOxQ圖13圖2【例 7】 已知，如圖 1，二次函數(shù) y ax22ax 3a a 0 的圖像的頂點為 H ，與 x 軸交于 A 、B 兩點（ B 在 A 的右側(cè)），點 H 、B 關(guān)于直線 l ：y3x3 對稱3（1）求 A 、B 兩點的坐標，并證明點 A 在直線 l 上；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）過點 B 作 BK AH 交直線 l于點 K，M 、N分別為直線 AH 和直線 l 上的兩個動點，連結(jié)HN 、NM 、MK ，求 HN NM MK 的最小值yHlKAOBx圖 1【鞏固】如圖，在平面直角坐標系xOy 中,二次函數(shù) y322xbx c的圖象與x 軸交于 A（-1,

9、0 ）、 B（3,0）兩點 , 頂點為 C .(1) 求此二次函數(shù)解析式；(2) 點 D為點Cly3 x3關(guān)于 x 軸的對稱點，過點 A 作直線：33交 BD 于點 E，過點 B 作直線 BK AD 交直線 l 于 K 點.問：在四邊形 ABKD 的內(nèi)部是否存在點 P，使得它到四邊形ABKD 四邊的距離都相等，若存在，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 在（ 2）的條件下，若 M 、 N 分別為直線 AD 和直線 l 上的兩個動點，連結(jié)DN 、 NM 、 MK ，求 DNNMMK和的最小值 .【例 8】 在平面直角坐標系中，矩形 OACB 的頂點 O 在坐標原點，頂點 A 、B

10、 分別在 x 軸、y 軸的正半軸上，OA3 ， OB4 ，D 為邊OB 的中點 .（）若 E 為邊 OA 上的一個動點，當CDE 的周長最小時，溫馨提示：如圖，可以作點 D 關(guān)于 x軸求點 E的坐標；對稱點D，連接CD與 x軸交于點 E ，此時 CDE 的周長是最小的 . 這樣，你只需求出 OE 的長，就可以確定點 E 的坐標了 .yBCyBCDDOEAxOAxD（）若E 、 F 為邊 OA 上的兩個動點，且 EF 2 ，當四邊形 CDEF 的周長最小時，求點 E 、 F 的坐標 .【鞏固】已知點A（3，4），點 B 的坐標為（ 1，1）時，在x 軸上另取兩點 E，F(xiàn)，且 EF=1線段 EF

11、在 x 軸上平移，線段 EF平移至何處時，四邊形 ABEF的周長最??？求出此時點 E 的坐標【例 9】 已知直線 y1x 1與 y 軸交于點 A ，與 x 軸交于點 D，拋物線2y1 x2bxc 與直線交于 A 、E 兩點，與 x軸交于 B、C2兩點，且 B 點坐標為 (1，0).（ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）在拋物線的對稱軸上找一點 M ，使 | AM MC |的值最大，求出點 M 的坐標?！眷柟獭恳阎喝鐖D，在平面直角坐標系 xOy 中，直線 y3 x 64與 x 軸、 y 軸的交點分別為 A 、B，將 OBA 對折，使點 O 的對應(yīng)點 H 落在直線 AB 上，折痕交 x 軸于點C.

12、（ 1）直接寫出點 C 的坐標，并求過 A 、B、C 三點的拋物線的解析式；（ 2）設(shè)拋物線的對稱軸與直線 BC 的交點為 T，Q 為線段 BT上一點，直接寫出 QA QO的取值范圍 .3、旋轉(zhuǎn)【例 1】 如圖，已知在 ABC 中， BC=a 等邊三角形 ABD. 當 ACB 直線 AB 的兩側(cè)時，求 CD的度數(shù) .， AC=b ，以 AB 為邊作變化,且點 D 與點 C 位于的最大值及相應(yīng)的 ACBCABD【例 2】 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 B 的坐標為 (0,2) ，點 D 在 x 軸的正半軸上， ODB 30 ，OE 為 BOD 的中線，過 B 、E 兩點的拋物線 y a

13、x23x c 與 x 軸相交于 A、F 兩點（ A 在 F 的6左側(cè)）（1）求拋物線的解析式；（ 2）點 P 為三角形 ABO 內(nèi)的一個動點， 設(shè) m PA PB PO ，請直接寫出 m 的最小值 ,以及 m 取得最小值時，線段 AP 的長 .yBEAOGFDx【鞏固】已知矩形 ABCD ， AD =10 ， AB =6 ，在矩形 ABCD 內(nèi)有一點 P ，在BC邊上有一點 H ,分別確定點 P和H 的位置，使得APDPPH 最小ADPBHC【鞏固】直角梯形ABCD 中，BC90 ，在梯形內(nèi)求作一點O 使OQBC 于 Q 且 OA+OD +OQ 的值最小DAOBQC二、垂線段最短【例 1】已知

14、 AB 10 , P 是線段 AB 上任意一點，在 AB 的同側(cè)分別以 AP 和 BP 為邊作兩個等邊三角形 APC 和 BPD ，則線段 CD 長度的最小值是 _CDAPB【例2】如圖，在銳角ABC中，CAB4，2BA°，4C 5 BAC 的平分線交 BC于點 D，M、N分別是AD 和 ABDM上的動點，則BMMN 的最小值是_ ANB【鞏固】矩形ABCD 中， AB20 ， BC10 .在 AC 、 AB 上各取一點 M 、N ，使 BM +MN 的值最小，求這個最小值O 【例 4】已知在DCMANB【例 3】如圖，在 ABC 中， AB=15 ，AC=12 ，BC=9 ，經(jīng)過點

15、 C 且與邊 AB 相切的動圓與 CB、CA 分別相交于點 E、F，則線段 EF 長度的最小值是 _BECFAABC 的 BC 邊上取一點 D ，設(shè) ABD 和 ACD 的外接圓的圓心分別是 O和 O ，求：使兩圓半徑為最小值時點 D 的位置OAO'BDC【鞏固】點M 在ABC 的 AC 邊上，分別作ABM 和CBM 的外接圓。問當 M 點在什么位置時，兩外接圓公共部分的面積最小？OBO'CMA【例 5】在已知 ABC 內(nèi)，作內(nèi)接矩形 DEMN ，使一邊 DE 在最大邊 BC 上，另外兩個頂點 M 、N 分別在邊 AC ， AB 上。試確定矩形 DEMN 的位置，使對角線 DM

16、 長最短 .ANMBDEC【鞏固】點 P 在銳角 ABC 的邊上運動，試確定點 P 的位置，使 PA+PB +PC 最小，并證明你的結(jié)論 .【例 6】如圖，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與 x 軸交于 A、 B 兩點， D 為拋物線的頂點， O 為坐標原點若OA、 OB（ OAOB）的長分別是方 程 x2 4x 3 0 的兩根 ，且DAB45°（ 1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；（ 2）過點 A 作 AC AD 交拋物線于點 C ，求點 C 的坐標；（ 3）在（2）的條件下，過點 A 任作直線 l 交線段 CD 于點 P，y求 C、 D 到直線 l 的距離分別為d1、 d2

17、，試求 d1+d2 的最大值cCclPOcBxAccDc【例 7】在直角坐標系中，點 A 坐標為（ -3，-2），圓 A 的半徑為 1，P 為 x 軸上一動點， PQ 切圓 A 于點 Q ，則當 PQ 最小時， P 點的坐標為 _【鞏固】如圖，在平面直角坐標系中，已知 OAB 是等腰三角形（ OB 為底邊），頂點 A的坐標是（2 ，4），點 B 在 x 軸上，點 Q 的坐標是 6 ，0 ， ADx 軸于點 D ，點 C 是 AD 的中點，點 P 是直線 BC 上的一動點（ 1）求點 C 的坐標（ 2）以點 P 為圓心、 2 為半徑作圓，得到動圓 P ，過點 Q 作 P 的兩條切線，切點分布為

18、E 、F ，問：是否存在以 O 、E 、P 、F為頂點的四邊形的最小面積為 S ？若存在，請求出 S 的值；若不存在，請說明理由yACQODBx三、與圓相關(guān)的最值1、過圓內(nèi)任一點的弦中， 最長的弦是直徑， 最短的弦是垂直于過該點的直徑的弦【例 1】如圖， O 的半徑為 5，點 P 到圓心 O 的距離為 10 ，如果過點 P 作弦，那么長度為整數(shù)值的弦的條數(shù)為 _OP2、設(shè) A是 O 內(nèi)一點，在連接 A 與圓上各點的線段中，圓心所在線段最短，圓心在其反向延長線上的線段最長；設(shè) A 是 O 外一點，在連接 A 與圓上各點的線段中，圓心所在線段最長，圓心在其延長線上的線段最短【例 1】在直線 MN

19、的同側(cè)有定點 A 及定圓圓 O，試在 MN 上求一點 P，在圓 O 上求一點 Q ，使 AP PQ 最短OQAMPN【例 2】點 P 在圖形 M 上，點 Q 在圖形 N 上，記 dmaxM，N 為線段 PQ 長度的最大值，dmin M ，N 為線段 PQ 長度的最小值，圖形 M 、 N，d max M ， Nd min M ， NN2的平均距離 Ed M（1）在平面直角坐標系xOy 中，O 是以 O 為圓心， 2為半徑的圓，且 A1 ， 3， B 2，2 3 ，求 EdA， O 及 Ed B， O ；（直接2 2寫出答案即可）（ 2 ）半徑為1的 C 的圓心與坐標原點O 重合，直線343xyy

20、 -x3 與軸交于點 F，記線段 DF 為圖3軸交于點 D ，與形 G ，求 Ed G， C （3）在（ 2）的條件下，如果C 的圓心 C 從原點沿 x 軸向右移動， C 的半徑不變，且 EdG， C25 ，求圓心 C 的橫坐標3、過圓上點作割線的垂線段， 當圓心在這垂線段上時， 該點是圓上所有點中到這割線的距離最長的點【例 1】已知： AB 是 O 中一條長為 4 的弦， P 是 O 上一動點， cos APB 13 問是否存在以 A 、P 、B 為頂點的面積最大的三角形 ,試說明理由；若存在，求出這個三角形的面積4、過圓上的一點作與圓相離的直線的垂線段， 當圓心在這條垂線段上時，這點是圓上

21、所有點與該直線距離最長的點；當圓心在這條線段的反向延長線時，這點事圓上所有點與該直線距離最短的點【例 1】如圖，AB 是半圓的直徑，線段 CA AB 于點 A ，線段 DB 上 AB點 B，AB=2 ，AC=1 ，BD=3 ，P 是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是_DCPAOB5、一條弧所對的圓內(nèi)角大于它所對的圓周角， 而這圓周角則大于該弧所對的圓外角【例 1】B 為 MON 的邊 OM 上的兩點，試在 ON 上求作一點 C ，使 ACB最大MBAOCN【例 2】如圖所示，直線 CD 與線段 AB 為直徑的圓相切于點D ，并交 BA 的延長線于點 C ，且PAB 2，AD1，

22、 P 點在切DCD 上移動 .當 APB 的度CA·BO最大時，則ABP 的度數(shù)_線數(shù)為四 、轉(zhuǎn)化類【例 1】如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，點 P 為邊 BC 上任意一點（可與 B 點或 C 點重合），分別過 B、C 、D 作射線AP 的垂線，垂足分別是B、 C、 D ，則 BB+CC +DD 的最大值為 _，最小值為 _DCB'PD 'ABC'【鞏固】在ABC 中，A120， BC6 ，若ABC 的內(nèi)切圓半徑為r ，則 r 的最大值為 _【例 2】已知拋物線 y ax2 bx c 經(jīng)過 A 4 ，3 、B 2 ，0 兩點，當 x 3 和 x3時，這條

23、拋物線上對應(yīng)的縱坐標相等 經(jīng)過點 C 0 ， 2 的直線 l 與 x 軸平行， O 為坐標原點（1）求直線 AB 和這條拋物線y的解析式；（ 2 ）以 A 為圓心， AO 為半徑的圓記為圓 A ,判斷直線 l 與圓OxA 的位置關(guān)系，并說明理由；（ 3 ）設(shè)直線 AB 上的點 D 的橫坐 標 為1 ,P m ，n是 拋 物 線y a2 x b x上的c動點，當 PDO 的周長最小時，求四邊形 CODP 的面積【例 3】在平面直角坐標系 xOy 中，O 的半徑為 2，且 A（4，0），B（4，4），點 P 在 O 上運動。（ 1）求 2BP+AP 的最小值。（2）若點 M 是函數(shù) y4x（ x>0,x 2）的圖象上一點， MEx軸