在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)策略里

1、 指導(dǎo)教授：徐 綺 穗 老師報(bào)告組員： 教二甲 921015 俞姿伶 921027 陳熙瑜 929056 余亞倩 教二丙 921008 陳柏豪 921015 辜曉薇 921017 林宓潔 921042 郭佳玲目錄壹、前言. 3貳、解題歷程. 4叁、四則運(yùn)算學(xué)習(xí)策略. 5肆、則運(yùn)算的解題策略與應(yīng)用. 6伍、學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)上的困難. 8陸、代數(shù)概念的教學(xué)策略. 9柒、解方程式的教學(xué)策略. 11捌、進(jìn)行解代數(shù)時(shí)常用的策略. 12玖、分?jǐn)?shù)教學(xué)中的表徵法. 14拾、參考資料來(lái)源. 16壹、前言在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)策略裡，最重要的一部份就是解題。而數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的意義可以看成是：解題者在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由於無(wú)法立即

2、獲得正確解答，而必須融合數(shù)學(xué)問(wèn)題的已知條件與本身已有的數(shù)學(xué)知識(shí)概念，嘗試運(yùn)用各種思考方式與技能去探索各種可能的問(wèn)題解決途徑，以獲得有效解答問(wèn)題的過(guò)程。貳、解題歷程 以下我們統(tǒng)整解題的歷程，在這裡做一些報(bào)告：（一） 了解問(wèn)題： 要解決一項(xiàng)問(wèn)題，一定要分析語(yǔ)義，知道問(wèn)題字面上的意思，這樣才能了解問(wèn)題到底問(wèn)什麼，才有辦法繼續(xù)解題。了解問(wèn)題後，才可以依照問(wèn)題的語(yǔ)意，將問(wèn)題中的已知數(shù)、未知數(shù)列出，從問(wèn)題裡提供的訊息知道哪些訊息是可以用的，哪些是無(wú)相關(guān)的。（二） 擬定計(jì)劃： 了解題目的語(yǔ)義之後，接下來(lái)就是要擬定一個(gè)解題的計(jì)劃，而且是最適合題目的計(jì)劃，來(lái)進(jìn)行解題。首先，要先尋找題目是什麼樣的類型，才能知道要

3、用什麼計(jì)劃。可以是畫圖、作一個(gè)系統(tǒng)表，或者是擬定一個(gè)假設(shè)、立一項(xiàng)方程式等等之類的。如果題目太複雜，也可以先帶入一些簡(jiǎn)單的數(shù)值，來(lái)找通則。所以擬定計(jì)劃是解題歷程裡很重要的一部份，因?yàn)槿绻麛M定的計(jì)劃錯(cuò)誤，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是用錯(cuò)方法，那麼可能會(huì)增加解題的難度，像是計(jì)算錯(cuò)誤之類的，甚至是解不出答案來(lái)。（三） 實(shí)行計(jì)劃： 擬定好計(jì)劃之後，就是要實(shí)行計(jì)劃，像是計(jì)算。所以在解題歷程的這個(gè)步驟裡，就是要正確無(wú)誤的執(zhí)行所擬定的計(jì)劃。這個(gè)過(guò)程強(qiáng)調(diào)的當(dāng)然就是要保持正確的解題流程，在計(jì)算的時(shí)候，要小心的檢查每一個(gè)步驟。（四） 回顧解答： 在這個(gè)歷程裡要做的就是檢驗(yàn)答案的合理性。答案出來(lái)之後，就要回顧這個(gè)解出來(lái)的答案是不是

4、合理，例如，假使我們?cè)偎愠龜?shù)時(shí)，算出來(lái)的答案如果餘數(shù)大於除數(shù)，我們就會(huì)知道這是不正常的，這時(shí)就要回顧是否在計(jì)算時(shí)出了問(wèn)題。也可以利用驗(yàn)算確定答案的正確性。另外也可以用不同的方法求解，看看得到的答案是不是一樣。另外要補(bǔ)充說(shuō)明的是，在這四個(gè)歷程裡，並不是一定按照順序來(lái)的。像是有些人可能在了解問(wèn)題時(shí)就出了問(wèn)題，就會(huì)陷住而無(wú)法繼續(xù)解題；而比較厲害的人應(yīng)該是會(huì)在這四個(gè)歷程裡來(lái)回跳動(dòng)的。例如如果再回顧解答時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，而回到實(shí)行計(jì)劃時(shí)還是找不到答案，就會(huì)質(zhì)疑擬定的計(jì)劃是否有問(wèn)題。重新擬定計(jì)劃之後，再繼續(xù)執(zhí)行計(jì)劃。如果再回顧答案又出現(xiàn)問(wèn)題，或許就會(huì)再回到了解題目歷程，看看是不是有哪裡誤會(huì)語(yǔ)義了。 一直到完全都

5、沒(méi)有錯(cuò)誤之後，才算完成解題。叁、四則運(yùn)算學(xué)習(xí)策略(一) 小組討論: 過(guò)去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是由教師講解,學(xué)生只要認(rèn)真聽(tīng)教師講課就可以了?，F(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者用自己的話來(lái)描述題目。哈特(Hart,1993)在研究中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)者在解數(shù)學(xué)題時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些阻礙,學(xué)習(xí)者對(duì)文字題的敘述會(huì)有不適應(yīng)的情形產(chǎn)生。學(xué)生有自己獨(dú)特的思考與敘述方式,這可能是學(xué)習(xí)者對(duì)教師的講解難以理解的原因之一。由於不了解教師的意思,也可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)者誤解題意,或誤解教師的教學(xué)內(nèi)容。為了解決語(yǔ)文上的問(wèn)題,哈特(Hart,1993)建議要增進(jìn)學(xué)習(xí)者解題能力,可以透過(guò)小組討論來(lái)改善語(yǔ)言造成的問(wèn)題。學(xué)習(xí)者在小組內(nèi)發(fā)表自己的想法與思考方向,經(jīng)由說(shuō)服同

6、儕而共同解決問(wèn)題的歷程,使學(xué)習(xí)者獲得更完整而清楚的數(shù)學(xué)概念。(二) 園徑策略: 傅雷哲與雷納(Frazier Rayner)主張,在面對(duì)數(shù)學(xué)題時(shí),學(xué)生先對(duì)問(wèn)題提出一個(gè)假設(shè)。當(dāng)選定的假設(shè)能夠在整個(gè)問(wèn)題情境中建立起一致而有效的解釋時(shí),學(xué)生就會(huì)繼續(xù)做下去。如果原先的假設(shè)在整個(gè)問(wèn)題情境中的某部分出現(xiàn)狀況,無(wú)法有效地達(dá)到解題的目的時(shí),學(xué)生就會(huì)警覺(jué)到問(wèn)題的存在,因而重新修正假設(shè),再繼續(xù)進(jìn)行解題的工作。(三) 練習(xí)命題: 溫諾葛雷(Winograd)主張讓學(xué)生來(lái)編寫數(shù)學(xué)題目,因?yàn)閷W(xué)生在命題中會(huì)發(fā)展出三種策略:(1) 確認(rèn)所要編寫的主題為何。(2) 先使用一般的方式組織有關(guān)的訊息。(3) 發(fā)展出一種使問(wèn)題更具

7、有深度的命題技巧。 透過(guò)練習(xí)命題,能使學(xué)生真正了解問(wèn)題,知道問(wèn)題是如何產(chǎn)生的,以及知道解決問(wèn)題的策略是什麼。當(dāng)學(xué)生開(kāi)始練習(xí)命題時(shí),教師可以適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入主題,教師也可以由生活中的實(shí)例來(lái)示範(fàn)如何出題,讓學(xué)生在命題的過(guò)程中學(xué)到何種題目才符合實(shí)際情況或合乎邏輯思考的原則。肆、則運(yùn)算的解題策略與應(yīng)用1. 重述問(wèn)題: 目的在使學(xué)生將呆板的、混亂的題目生活化和條理化,主要在幫助學(xué)生建構(gòu)心理表徵。2. 簡(jiǎn)化問(wèn)題: 目的在使學(xué)生從題目中找出真正重要的句子,並釐清題目中哪些句子與解題有關(guān),哪些句子則與解題無(wú)關(guān)。以下舉例說(shuō)明:題目:表姊訂婚請(qǐng)客,幫忙佈置場(chǎng)地。每一桌各需要?dú)馇?個(gè),花10朵,飲料4瓶,糖果兩盤

8、,拉炮8個(gè)。如果已經(jīng)在6張桌子放好飲料,她共放了幾瓶? 在上面的題目中,最主要的句子有哪些? 簡(jiǎn)化後：每一桌各需要飲料4瓶；如果已經(jīng)在6張桌子放好飲料；她共放了幾瓶3. 建立次目標(biāo): 目的在將整個(gè)問(wèn)題分解成小單位的問(wèn)題以便於達(dá)成解題的目的。以下舉例說(shuō)明:題目:地磚是以每邊30公分的正方形出售。假如每塊地磚的價(jià)錢是2000元,那麼一個(gè)長(zhǎng)9公尺、寬5公尺的矩形房間鋪滿地磚,一共要多少錢?為了解答此問(wèn)題,需要決定：(a)一塊地磚的面積(b)矩形房間的面積(c)需要多少地磚(d)一共要多少錢。4. 繪圖法: 強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何將題意透過(guò)圖形來(lái)加以理解,建立心理表徵,以便運(yùn)用策略來(lái)解出答案。以下舉例說(shuō)明

9、:題目:有18顆糖果,平均分給3人,每人可分得幾顆?學(xué)生先確定“分給3人”這個(gè)單位量,將3個(gè)人先畫在紙上,然後第一次每人分1顆糖果,共分了3顆糖果,剩下15顆,第二次每人再分1顆,剩下12顆,依此方式繼續(xù)分下去,直到分完為止,共分了6次,每人分得6顆糖果。如下圖: 第一次每人分1顆,共分了3顆,剩下15顆 第二次每人分1顆,共分了3顆,剩下12顆 第三次每人分1顆,共分了3顆,剩下9顆 第四次每人分1顆,共分了3顆,剩下6顆 第五次每人分1顆,共分了3顆,剩下3顆 第六次每人分1顆,共分了3顆,全部分完5. 估算的策略: 是一種驗(yàn)算答案是否有誤的方法。以下舉例說(shuō)明: 題目:小明到文具店,買了5

10、枝鉛筆和3枝原子筆,共花了76元。請(qǐng)問(wèn)1枝鉛筆和1枝原子筆各要多少錢? 若學(xué)生在考試中沒(méi)有時(shí)間一一驗(yàn)算時(shí),而算出來(lái)的答案為鉛筆1枝14元,原子筆1枝2元時(shí),學(xué)生就應(yīng)該有所警覺(jué),因?yàn)橥ǔｃU筆比原子筆便宜(正解為鉛筆一枝8元，原子筆一枝12元)。5、 學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)上的困難一、認(rèn)為等號(hào)是掌控一個(gè)算數(shù)運(yùn)算的執(zhí)行的命令，而不認(rèn)為等號(hào)是比較兩個(gè)量的關(guān)係符號(hào)。通常兒童在面對(duì)未完成的數(shù)學(xué)式子，如45=？，他們認(rèn)為等號(hào)就是表示完成一件事。不會(huì)想到是等價(jià)關(guān)係，而是趕快求出答案。二、ab及a÷b難度最高、最易錯(cuò)誤，學(xué)生無(wú)法將逆算概念應(yīng)用於這兩類題型。三、解文字題困難多出現(xiàn)在利用假設(shè)的未知數(shù)把另一個(gè)未知數(shù)

11、表示出來(lái)。解題時(shí)須以文字來(lái)表示未知數(shù)量關(guān)係，並依題意中已知條件列出關(guān)係式。四、即使是計(jì)算能力好的學(xué)生在解文字題時(shí)，仍會(huì)缺乏事實(shí)知識(shí)、語(yǔ)言知識(shí)、或基模知識(shí)造成解題失敗。陸、代數(shù)概念的教學(xué)策略一、 數(shù)概念中相關(guān)的先備知識(shí)2. 吳貞祥（民79）認(rèn)為數(shù)概念指對(duì)於數(shù)能作某種程度上的思考；甯自強(qiáng)（民82）指出數(shù)概念可看成某量與某一單位量之間關(guān)係。3. 據(jù)甯自強(qiáng)（民86）研究發(fā)現(xiàn)先備知識(shí)優(yōu)於表徵能力的學(xué)生的學(xué)習(xí)特質(zhì)主要是熟於算式。4. Linchevski（1995）認(rèn)為先備知識(shí)是必須的，先教以數(shù)字代替文字（如：a2，則a5？），學(xué)生經(jīng)由數(shù)字類型活動(dòng)中建立一般的通則，進(jìn)而了解變數(shù)及代數(shù)式的意義。5. Sov

12、chik（1996）認(rèn)為可使用圖形或具體物幫助學(xué)生。二、 文字符號(hào)概念的教學(xué)策略： 文字符號(hào)概念可分為六種不同層次：1. 文字符號(hào)代表可算出的值，如：n58的n2. 文字符號(hào)可忽略不用，如：ab5，求ab2？3. 文字符號(hào)當(dāng)作物，如：以h代表某一邊長(zhǎng)4. 文字符號(hào)當(dāng)作特定的未知數(shù)，如：有n個(gè)邊，每邊長(zhǎng)2，則周長(zhǎng)為2n5. 文字符號(hào)當(dāng)作一般化數(shù)字，如：cd10，且cd，則c代表小於5的數(shù)6. 文字符號(hào)當(dāng)作變數(shù)，如：比較n和2n的大小 學(xué)習(xí)文字符號(hào)概念部分來(lái)自於文字符號(hào)有不同的用法及意義。 學(xué)生需了解文字符號(hào)所代表的不同意義及不同使用方法。三、符號(hào)表徵的運(yùn)算：1. 可視為算數(shù)運(yùn)算的通則敘述（數(shù)字代

13、替文字符號(hào)進(jìn)行算數(shù)運(yùn)算，結(jié)果得一個(gè)數(shù)值，此為程述性概念）。2. 亦可視為一種數(shù)學(xué)物件，可操作以進(jìn)行某種運(yùn)算。（強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算規(guī)則，結(jié)果是代數(shù)的形式，屬結(jié)構(gòu)性概念學(xué)習(xí)）。3. 據(jù)林敏雪（民86）研究，圖形整合能力可提升表徵層次；戴文賓（民87）研究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的算是圖像化後，學(xué)生皆能準(zhǔn)確算出答案，此外，將問(wèn)題情境化，以生活故事轉(zhuǎn)述未知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)係，有助學(xué)生理解解的意義與解的程序。 等號(hào)的教學(xué)策略：在代數(shù)中，等式是指等號(hào)兩邊資料量是相等的。教師可利用等臂天平平衡原理，讓學(xué)生更容易了解等量公理中，等號(hào)左、右兩邊仍會(huì)相等道理。Q：53會(huì)等於91嗎？ 5 3 9 1 柒、 解方程式的教學(xué)策略 解代數(shù)方法

14、有利用數(shù)的事實(shí)、使用數(shù)數(shù)的技巧、遮蓋法、逆算法、嘗試錯(cuò)誤法、移項(xiàng)規(guī)則、在等號(hào)兩邊進(jìn)行同樣的運(yùn)算等。 教師應(yīng)提供一些經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能聯(lián)繫具體物的操作與數(shù)學(xué)概念間的關(guān)係。 學(xué)生最常用的策略是將數(shù)字代入方程式中，看是否會(huì)得相同結(jié)果。捌、進(jìn)行解代數(shù)時(shí)常用的策略(1) 猜數(shù)字法及嘗試錯(cuò)誤法 例題:我在心想了一個(gè)數(shù)字,這個(gè)數(shù)字的三倍再加4會(huì)等於19,請(qǐng)問(wèn)我心中所想的那個(gè)數(shù)字是多少? 策略：用猜數(shù)字法來(lái)找答案時(shí)，要先列出3×+419的式子，然後用嘗試錯(cuò)誤法將各種數(shù)字代入，直到找出正確的值。例如：若1，3×(1) 4 7 19若4，3×(4) 4 16 19若5，3×(5

15、) 4 19 所以5是這個(gè)方程式的解， 5(2) (2) 遮蓋法例題：3×+419策略：以將3×遮起來(lái)，3×+4=19就變成+419，所以要等於15，也就是說(shuō)3×15，因?yàn)?×515，所以一定是15。(3) 逆算法例題：3×+419策略：由等號(hào)左邊可知乘以3之後再加上4會(huì)等於19。所以我們?nèi)魧?9減去4，再除以3，就能得到的值。因?yàn)?9415，15÷35，所以5。其過(guò)程如下圖所示： ×3 4 19 ÷3 4(4) 系統(tǒng)法例題：3×+419策略：系統(tǒng)法是指依方程式的複雜程度，配合具體、圖形及抽象表

16、徵來(lái)解方程式。 其過(guò)程步驟如下所示：1.具體/圖形表徵 抽象表徵 3×+419 2.兩邊都減去4具體/圖形表徵 抽象表徵 3×+44194 3×15 3.兩邊都除以3（分成三份）具體/圖形表徵 抽象表徵 3×÷315÷3 5 (5) 平衡法例題：615策略：方程式就像一個(gè)兩邊秤著一樣重的東西的等臂天秤，如你對(duì)天秤的某一邊做了什麼，那麼你必須也在另一邊做相同的事，如此才能保持平衡。我們可以操作花片來(lái)配合說(shuō)明如下圖：6 15拿走六個(gè)花片 拿走六個(gè)花片 9說(shuō)明：假如你從等號(hào)左邊拿走六個(gè)花片，那麼就必須也要從等號(hào)的右邊拿走六個(gè)花片，這樣等號(hào)兩

17、邊才能保持平衡。所以9。(6) 線段圖示法例題：2×46策略：利用線段圖的比較來(lái)解方程式，如下圖可知，2 4 2×4 6 6玖、分?jǐn)?shù)教學(xué)中的表徵法一、具體的指示物 利用實(shí)際物品，如積木、花片、百格版、分?jǐn)?shù)版等來(lái)呈現(xiàn)問(wèn)題情境。例如： 教學(xué)者佈置：一個(gè)蛋糕，平分給五個(gè)人，每人得到多少的蛋糕？實(shí)際指示物：利用分?jǐn)?shù)版，平分為五份，其中的一份即為人所得的蛋糕。二、圖像表徵 畫出圖形、記號(hào)或表格，說(shuō)明對(duì)問(wèn)題的理解與解決方法。例如： 教學(xué)者佈置：一個(gè)蛋糕平分給四個(gè)人，每個(gè)人得到幾個(gè)蛋糕？圖像表徵：利用畫圖表示答案。三、語(yǔ)言表徵 以口語(yǔ)的敘述，解釋數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問(wèn)題；以及瞭解題目文字呈現(xiàn)的

18、意義。例如： 教學(xué)者佈置：小民、大華、宜靜，每人各吃了1/5個(gè)蛋糕，請(qǐng)問(wèn)三人共吃了多少個(gè)蛋糕？ 語(yǔ)文表徵：1/5、2/5、3/5的跳躍數(shù)數(shù)的方式來(lái)解題，每數(shù)一次就代表每一人所吃的部分。四、抽象符號(hào)表徵 約定俗成的數(shù)學(xué)表徵系統(tǒng)，一般常用的數(shù)學(xué)算式或數(shù)學(xué)符號(hào)。例如： 教學(xué)者佈置：一個(gè)蛋糕，平分給五個(gè)人，每人得到多少的蛋糕？ 抽象符號(hào)表徵：利用分?jǐn)?shù)符號(hào)表示答案，每人得到1/5個(gè)蛋糕。五、生活腳本 在真實(shí)情境中所組織起的知識(shí)，用來(lái)解釋其他的問(wèn)題情境，例如題目中一打蛋、兩個(gè)星期等情境的設(shè)計(jì)，或是將數(shù)學(xué)符號(hào)的紀(jì)錄，以生活情境的方式呈現(xiàn)，例如你題活動(dòng)?？墒钦f(shuō)以上四種表徵的呈現(xiàn)，都和生活腳本有關(guān)。實(shí)質(zhì)運(yùn)用上的相關(guān)研究：Deborah Ball對(duì)三年級(jí)學(xué)童所進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn)： 兒童在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)上喜歡視覺(jué)資訊勝於正式知識(shí)，對(duì)書寫符號(hào)只有少數(shù)經(jīng)驗(yàn)。 在平分任務(wù)中，認(rèn)為矩形較圓形容易。 以矩形模式來(lái)進(jìn)行平分，能提供兒童發(fā)現(xiàn)或是推測(cè)