2012高中數學復習講義(通用版全套)第七章立體幾何初步

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 2012高中數學復習講義 第七章 立體幾何初步【知識圖解】空間幾何體構成幾何體的基本元素柱、錐、臺、球的特征直觀認識線面平行與垂直表面積與體積中心投影與平行投影直觀圖與三視圖的畫法點、線、面之間的位置關系平面的基本性質確定平面的位置關系空間中的平行關系直線與直線的平行關系直線與平面平行的判斷及性質平面與平面平行的判斷及性質空間中的垂直關系直線與平面垂直的判斷及性質平面與平面垂直的判斷及性質直線與直線的垂直關系【方法點撥】立體幾何研究的是現實空間，認識空間圖形，可以培養(yǎng)學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。空

2、間的元素是點、線、面、體，對于線線、線面、面面的位置關系著重研究它們之間的平行與垂直關系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復習時我們要以下幾點：1注意提高空間想象能力。在復習過程中要注意：將文字語言轉化為圖形，并明確已知元素之間的位置關系及度量關系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯想與猜想，進行推理與計算。2歸納總結，分門別類。從知識上可以分為：平面的基本性質、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計算。3抓主線，攻重點。針對一些重點內容加以訓練，平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距

3、離的計算已經降低要求。4復習中要加強數學思想方法的總結與提煉。立體幾何中蘊含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關系的相互轉化、空間位置關系的判斷及角與距離的求解轉化成空間向量的運算。第1課 空間幾何體【考點導讀】1觀察認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；2能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；3通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱錐、臺

4、的表面積和體積的計算公式。【基礎練習】1一個凸多面體有8個頂點，如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個面；如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個面。2.（1）如圖，在正四面體ABCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是 。 （2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 （要求：把可能的圖的序號都填上）.【范例導析】例1下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案）（1）有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱（

5、2）四棱錐的四個側面都可以是直角三角形（3）有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺（4）若一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體分析：準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征是解決概念題的關鍵。（1）中將兩個斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺還要看側棱的延長線是否交于一點。例2是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么ABC的面積為_。解析：。點評：該題屬于斜二測畫法的應用，解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關系。特別底和高的對應關系。例3（1）畫出下列幾何體的三視圖（2）（2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀分析

6、：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。解析：（1）這兩個幾何體的三視圖分別如下：（2）該幾何體為一個正四棱錐。點評：畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據此就不難得出該幾何體的形狀?！痉答佈菥殹?一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是。2如

7、圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2·r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有r3=R2r。故。答案為。點評：本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。3在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（如圖所示），若將ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是。4空間四邊形中，分別是邊上的點，且為平行四邊形，則四邊形的周長的取值范圍是_。5三棱錐中，其余棱長均為1。PABCM（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值。解：（1）取

8、中點，與均為正三角形， 平面。 (2)當平面時，三棱錐的高為，此時6已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離）為p的拋物線.（1）求圓錐的母線與底面所成的角；（2）求圓錐的全面積 解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，由題意得：,即,所以母線和底面所成的角為(2)設截面與圓錐側面的交線為MON，其中O為截面與AC的交點，則OO1/AB且在截面MON內，以OO1所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系，則O為拋物線的頂點，所以拋物線方程為x2=2py，點N的坐標為（R，R），代入方程得：R2=2p（R）

9、，得：R=2p，l=2R=4p.圓錐的全面積為.說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向. 第2課 平面的性質與直線的位置關系【考點導讀】1掌握平面的基本性質，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關系，能夠根據圖形想象它們之間的位置關系。2掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關問題，并能進行解決和證明相關問題。3理解反證法證明的思路，會用反證法進行相關問題的證明?！净A練習】1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。（1）， （2），（3）， （4），2下列推斷中，錯誤的是 （4） 。（1） （2），A,B,C不共線重合（3） （4）3判斷下列命題

10、的真假，真的打“”，假的打“×”（1）空間三點可以確定一個平面 （ ）（2）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合（ ）（3）兩條直線可以確定一個平面（ ）（4）若四點不共面，那么每三個點一定不共線（ ）（5）兩條相交直線可以確定一個平面（ ）（6）三條平行直線可以確定三個平面（ ）（7）一條直線和一個點可以確定一個平面（ ）（8）兩兩相交的三條直線確定一個平面（ ）××××××4如右圖，點E是正方體的棱的中點，則過點E與直線和都相交的直線的條數是： 1 條5完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，A&

11、#206;a，DÎa，BÎb，EÎc求證：BD和AE是異面直線證明：假設_ 共面于g，則點A、E、B、D都在平面_ _內 QAÎa，DÎa，_Ì. QPÎa，PÎ_.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc _ _Ìg， _Ìg，這與_矛盾 BD、AE_答案：假設BD、AE共面于g，則點A、E、B、D都在平面 g 內。AÎa，DÎa， a Ìg. PÎa，PÎ g .PÎb，BÎb，PÎ

12、;c，EÎc. b Ìg，c Ìg，這與a、b、c不共面矛盾BD、AE是異面直線翰林【范例導析】例1已知，從平面外一點引向量，（1）求證：四點共面；（2）平面平面分析 ：證明四點共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明，也可以轉化為直線共面的條件即幾何證法。解：法一：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面法二：（1） 同理 又 共面；（2）由（1）知：，從而可證同理可證，所以，平面平面點評：熟練掌握定理是證明的關鍵，要學會靈活運用。例2已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若ACBD,E,F,G,H分別這四條

13、邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若ABBCCDDA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.翰林匯分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。證明：(1)（反證法）假設AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，所以A、B、C、D四點共面這與空間四邊形ABCD的定義矛盾所以對角線AC與BD是異面直線 (2)解：E,F分別為AB,BC的中點,EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四邊形.又F,G分別為BC,CD的中點,FG/BD,EFG是異面直線AC與BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中

14、點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.點評：在空間四邊形中我們通常會遇到上述類似的問題，取中點往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時候。例3如圖，已知E，F分別是正方體的棱和棱上的點，且，求證：四邊形是平行四邊形簡證：由可以證得所以 又可以由正方體的性質證明所以四邊形是平行四邊形例4：如圖，已知平面，且是垂足（）求證：平面；（）若，試判斷平面與平面的位置關系，并證明你的結論解：（）因為，所以同理又，故平面（）平面平面。證明如下：設與平面的交點為，連結、因為平面，所以，所以是二面角的平面角又，所以，即在平面四邊形中，所以故平面平面【反饋演練】1判斷題（對的打“”，錯的打“×”

15、） （1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ） （2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則ABCD（ ） （3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60º（ ） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（ ）答案：（1）× （2）× （3） （4）× 2定點P不在ABC所在平面內，過P作平面，使ABC的三個頂點到的距離相等，這樣的平面共有 4 個。3給出以下四個命題：（1）若空間四點不共面，則其中無三點共線；（2）若直線上有一點在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面

16、且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號是 (1)(2) 。DBCA4如圖，已知（A,B不重合）過A在平面內作直線AC，過B在平面內作直線BD。求證：AC和BD是異面直線。證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線，設確定平面，則由題意可知：平面和都過AC和AC外一點B，所以兩平面重合。同理可證平面和也重合，所以平面和也重合。這與已知條件平面和相交矛盾。所以AC和BD是異面直線。第3課 空間中的平行關系【考點導讀】1掌握直線和平面平行、兩個平面平行的判定定理和性質定理。2明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質，而判定定理與性質定理多是不可逆的

17、。3要能靈活的對“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進行轉化?！净A練習】1若為異面直線，直線ca，則c與b的位置關系是 異面或相交。 2給出下列四個命題:垂直于同一直線的兩條直線互相平行. 垂直于同一平面的兩個平面互相平行.若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數是 4 個。3對于任意的直線l與平面a,在平面a內必有直線m,使m與l 垂直 。4. 已知a、b、c是三條不重合的直線，、r是三個不重合的平面，下面六個命題：ac，bcab；ar，brab；c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正確的命題是 。 【范例導析】

18、例1如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形求證：AB平面EFG證明 ：面EFGH是截面點E，F，G，H分別在BC，BD，DA，AC上EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EHGFEH面ABD又 EH 面BAC，面ABC面ABD=ABEHABAB面EFG例2 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN.求證:MN平面AA1B1B.分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉化的。本題可以采用任何一種轉化方式。簡證：法1：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。即在平面ABB1A1內找一條直線與MN平行，如圖

19、所示作平行線即可。ABCDNFEMA11B11D11C11法2：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。連CN并延長交直線BA于點P，連B1P，就是所找直線，然后再設法證明MNB1P.法3：把證“線面平行”轉化為證“面面平行”。過M作MQ/BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行，從而證得MN平面ABB1A1.點評：證明線面或面面平行的時候一定要注意相互的轉化，非常靈活。【反饋演練】1對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（3）。（1）若則 （2）若則（3）若則 （4）若、與所成的角相等，則2. 設a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是 （2） 。（1）經過直

20、線a有且只有一個平面平行于直線b（2）經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b（3）存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面（4）存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面3關于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。（1）若aM，bM，則ab （2）若aM，ba，則bM（3）若aM，bM，且la，lb，則lM （4）若aM，aN，則MN4“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要條件 。5.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .6在長方體ABCDA1B1C1D1中，經過其對角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點，則四邊形EBFD!的形

21、狀為 平行四邊形 。7. 已知為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，求證：平面證明 連交于，連，則為的中位線，平面，平面，平面 8如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點，、分別是、的中點（1）求證：平面；（2）若， 求異面直線與所成的角的大小略證：（1）取PD的中點H，連接AH， 為平行四邊形 (2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON=所以，即異面直線與成的角9兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求證：MN平面BCE。證法一：作MPBC

22、，NQBE，P、Q為垂足，則MPAB，NQAB。MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45°RtMCPRtNBQMP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE。證法二：如圖過M作MHAB于H，則MHBC，連結NH，由BF=AC，FN=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE。第4課 空間中的垂直關系【考點導讀】1掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理，并能用它們證明和解決有關問題。2線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關系，學

23、會互相轉化，善于利用轉化思想。【基礎練習】1“直線垂直于平面內的無數條直線”是“”的 必要 條件。2如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關系是 平行或相交 。3在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數是 6 。4兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是平行、相交或在另一個平面內 。5在正方體中，寫出過頂點A的一個平面_AB1D1_，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)?！痉独龑觥坷?如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD

24、,PD=DC,E是PC的中點,作EFPB交PB于點F.（1）證明PA/平面EDB； （2）證明PB平面EFD.解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力.證明：（1）連結AC,AC交BD于O,連結EO.底面ABCD是正方形,點O是AC的中點在中,EO是中位線,PA / EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA / 平面EDB（2）PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,. 同樣由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而平面PDC,. 由和推得平面PBC. 而平

25、面PBC,又且,所以PB平面EFD.例2如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中點，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）證明DE DA ，可以通過圖形分割，證明DEF DBA。（2）證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內一直線垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中點N ，連結MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM 平面ECA。證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC

26、 BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點N ，連結MN 、NB ， M 是EA 的中點， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。點評：面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例3如圖，直三棱

27、柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90°，AA1 ，D 是A1B1 中點（1） 求證C1D 平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結論。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。證明：（1）如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90°。又 D 是A1B1 的中點， C1D A1B1 . AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結C1F ，則AB1 平面C1DF ，點F 即為所求。 C1D 平面AA1BB ，AB1