常微分方程證明題及答案

1、證 明 題（每題10分）1、設(shè)函數(shù)f (t)在上連續(xù)且有界，試證明方程的所有解均在上有界.證明：設(shè)x=x(t)為方程的任一解，它滿足某初始條件x(t0)=x0,t0Î0+)由一階線性方程的求解公式有 現(xiàn)只證x(t)在t0,+)有界，設(shè)|f(t)|£M ,tÎ0+)于是對t0£t<+有 £|x0|+Me-t £|x0|+M £|x0|+M 即證 2、設(shè)函數(shù)f (x),p(x)在上連續(xù)，且(a,b,為3、設(shè)函數(shù)f (x)在上連續(xù)，且又a>04、設(shè)函數(shù)y (x)在上連續(xù)且可微，且試證05、若y1(x),y2(x)為微分

2、方程的兩個解，則它們的朗斯基行列式為其中k為由y1(x),y2(x)確定的常數(shù)6、求微分方程的通解7、解方程8、解方程9、解方程10、解方程11、已知是連續(xù)函數(shù)。（1）求初值問題的解，其中是正常數(shù)。（2）若（為常數(shù)），證明當(dāng)時有。12、已知當(dāng)時具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足（1）求；（2）證明：當(dāng)時有。13、設(shè)是方程的兩個不同的解，求證它的任何一個解滿足恒等式： （為常數(shù)）14、當(dāng)時，連續(xù)且。證明：方程 （1）在區(qū)間上存在一個有界解，求出這個解。并證明：若函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則這個解也是以為周期的周期函數(shù)。15、設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，且，試證方程孫有積分因子 16、證明方程具有形如的積分因子的充要條

3、件為 ，并求出這個積分因子。17、證明貝爾曼（Bellman）不等式。設(shè)為非負(fù)常數(shù)，和是區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式 則有 ， 。18、設(shè)在方程中，在某區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證：它的任意兩個線性無關(guān)的解的朗斯基行列式是區(qū)間上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。19、假設(shè)是二階齊次線性方程 的解，這里和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。試證：為方程的解的以要條件是。其中表示的朗斯基行列式。20、在方程中，在上連續(xù)，且。試證明：已知方程的任一解均有。21、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足。求證：.22、設(shè)是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，適合條件，試證對任何成立等式 .23、設(shè)是連續(xù)的階方陣，存在，且適合關(guān)系，.試證：存在階常值方陣A，使

4、得。證明題附加題1，設(shè)方程中的和在上連續(xù)，且，試證：對方程任一非零解，函數(shù)為單調(diào)遞增的。2，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，且（為常數(shù)），試證：方程的解在上有界。3，若為微分方程的兩個解，則它們的朗斯基行列式為，其中由確定的常數(shù)。4，已知方程 （1）其中是上的連續(xù)函數(shù)，若為（1）的兩個解，則恒等于常數(shù)。5。設(shè)是二次可微函數(shù)，且，證明：若在某不同兩點(diǎn)處的函數(shù)值為0，則在該兩點(diǎn)之間恒為零。6，設(shè)是微分方程的一個解，證明此方程滿足條件 的特解為。7，設(shè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且曲成積分 與路徑無關(guān)，證明：。證 明 題 答 案 1、證明：設(shè)x=x(t)為方程的任一解，它滿足某初始條件x(t0)=x0,t0Î0

5、+)由一階線性方程的求解公式有 現(xiàn)只證x(t)在t0,+)有界，設(shè)|f(t)|£M ,tÎ0+)于是對t0£t<+有 £|x0|+Me-t £|x0|+M £|x0|+M 即證 2、證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x0)=y0,x0Î由一階線性方程的求解公式有現(xiàn)只證y(x)在x0,+)有界，,tÎ0+), 不妨設(shè)x0充分大 于是對x0£x<+有,則存在M1>0,使當(dāng)x³ x0時,有|p(x)|£M1 £|y0|+(-) £|

6、y0|+ £|y0|+ 即證 3、證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x0)=y0,x0Î由一階線形方程的求解公式有 兩邊取極限= 4、證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x0)=y0,x0Î由一階線性方程的求解公式有兩邊取極限=0+5、證明：由朗斯基行列式定義有()¹= 用分離變量法求解有顯然k為由確定的常數(shù) 6、解：因所以方程僅有與X有關(guān)的積分因子 M(x)=則：故：7、解：原方程化為積分得故8、解：方程化為這是齊次方程，令y=ux，則有-lnu-ln(1+lnu)=lnx+lnc從而通積分9、解：首先，易知均

7、x=±1,y=±1為方程的解其次，由方程得到即10、解：分離變量得 積分得故11、證：（證法一）（1）原方程的通解為記為的任一原函數(shù)。由 得到 。所以 （2）（證法二）（1）在方程兩邊乘以（積分因子） 從而 由 得到： 即 （2）證法同上12、解：（1）由題設(shè)知。則 且令 兩邊求導(dǎo)得到 設(shè) 得 兩邊積分得 代入初始條件 故 （2）利用拉格朗日中值定理知：當(dāng)時 在0和之間于是 另外 所以 在單調(diào)增加，而。故當(dāng)有。從而 當(dāng)時 。13、證：由通解公式知：任一解可由公式 （1）表示，其中C為對應(yīng)的某常數(shù)。也應(yīng)具有上述形式，設(shè)它們分別對應(yīng)常數(shù)且，則由（1）式得 14、證：方程（1）的

8、通解為 （2） 1）?。ㄓ杉僭O(shè)知，此廣義積分收斂），得解 （3）則由，易證 此即為（1）的一個有界解。2）若，對（1）中確定的解（3），當(dāng)有令，則上式右端為 所以也是以為周期的周期函數(shù)。15、證：用乘方程兩端，得 (1)因?yàn)?所以（1）是全微分方程。16、證：方程有積分因子的充要條件是 ，令，則有 即滿足下列微分方程 上式右端應(yīng)為的函數(shù)，這就證明了為方程的積分因子的率要條件為 求解（1）式得 。17、證：1）時，令 則，由可得 兩邊從到積分得 即有 所以 即有 ， 。2）時，對任意，由于，所以。由1），有。當(dāng)時，有。因?yàn)?，即得。從?， 由1），2）知，不等式成立。證畢。18、證：設(shè)是已知方程

9、的定義在區(qū)間上的任意兩個線性無關(guān)的解。根據(jù)劉維爾公式有 其中?？疾?由于，在上恒不等于零，并且，故在上恒為正或恒為負(fù)，從而在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。19、證：充分性。因?yàn)?而是已知方程的解，所以故有 ， 即是已知方程的解。必要性。因?yàn)闉榉匠痰慕獾睦仕够辛惺郊礉M足 。20、證：已知方程對應(yīng)的齊次方程的通解為 現(xiàn)在利用常數(shù)變易法求已知方程形如 的一個特解。得到所滿足的方程組 解得 故已知方程的通解為 （1）由洛必達(dá)法則 同理可證 由（1）式即得 即證明了已知方程的任一解，當(dāng)時，均有趨向于零。21、證：這是一個含求知數(shù)的積分方程，將它轉(zhuǎn)化為微分方程求解。即 （1）并且，由已知方程知 （2）解（1）得 再將初始條件（2）代入上式，得 故 .22、證：令 （是常向量）那么 （1） （2）因?yàn)槭堑幕饩仃?，?/p>