實(shí)變函數(shù)測(cè)試題與答案

1、實(shí)變函數(shù)試題一，填空題1. 設(shè), , 則.2. ,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)集合之間的一一映射為3. 設(shè)是中函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所組成的 集合，則，.4. 若集合滿足, 則為集.5. 若是直線上開集的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間, 則滿足:, .6. 設(shè)使閉區(qū)間中的全體無理數(shù)集, 則.7. 若, 則說在上.8. 設(shè), ,若,則稱是的聚點(diǎn).9. 設(shè)是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列, 是上 幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù), 若, 有, 則稱在上依測(cè)度收斂于.10. 設(shè), 則的子列, 使得.二, 判斷題. 正確的證明, 錯(cuò)誤的舉反例. 1. 若可測(cè), 且,則.2. 設(shè)為點(diǎn)集, , 則是的外點(diǎn). 3. 點(diǎn)集的閉集.4. 任意多個(gè)閉集的并集是閉集.

2、5. 若,滿足, 則為無限集合.三, 計(jì)算證明題1. 證明:2. 設(shè)是空間中以有理點(diǎn)(即坐標(biāo)都是有理數(shù))為中心, 有理數(shù)為半徑的球的全體, 證明為可數(shù)集. 3. 設(shè),且為可測(cè)集, .根據(jù)題意, 若有 , 證明是可測(cè)集.4. 設(shè)是集, .求.5. 設(shè)函數(shù)在集中點(diǎn)上取值為, 而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上取值為, , 求.6. 求極限: .實(shí)變函數(shù)試題解答一 填空題1. .2. ; .3. 閉集.4. .5. 幾乎處處收斂于 或 收斂于.6. 對(duì)有.7. 于.二 判斷題1. . 例如, , , 則且,但.2. . 例如, , 但0不是的外點(diǎn).3. . 由于.4. . 例如, 在 中, , 是一系列的

3、閉集, 但是不是閉集. 5. . 因?yàn)槿魹橛薪缂? 則存在有限區(qū)間, , 使得, 則于.三, 計(jì)算證明題.1. 證明如下:2. 中任何一個(gè)元素可以由球心, 半徑為唯一確定, , 跑遍所有的正有理數(shù), 跑遍所有的有理數(shù). 因?yàn)橛欣頂?shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集, 故為可數(shù)集. 3. 令, 則且為可測(cè)集, 于是對(duì)于, 都有, 故,令, 得到, 故可測(cè). 從而可測(cè).4. 已知, 令, 則.5. 將積分區(qū)間分為兩兩不相交的集合: , , , 其中為集, 是的余集中一切長為的構(gòu)成區(qū)間(共有個(gè))之并. 由積分的可數(shù)可加性, 并且注意到題中的, 可得 6. 因?yàn)樵谏线B續(xù), 存在且與的值相等. 易知由于

4、在上非負(fù)可測(cè)， 且廣義積分收斂，則在上可積， 由于， ，于是根據(jù)勒貝格控制收斂定理，得到.一、判定下列命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤者舉處反例)（15分，每小題3分）1. 非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集 2. 開集的余集為閉集。 3. 若mE=0，則E為可數(shù)集 4. 若 |f(x)| 在E上可測(cè)，則f(x) 在E上可測(cè) 5. 若f(x) 在E上有界可測(cè)，則f(x) 在E上可積 二、將正確答案填在空格內(nèi)（共8分，每小題2分）1. _可數(shù)集之并是可數(shù)集。A. 任意多個(gè) B. c勢(shì)個(gè)? C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè) 2. _閉集之并交是閉集。A. 任意多個(gè) B. 有限個(gè) C. 無窮多個(gè)

5、D 至多可數(shù)個(gè) 3. 可數(shù)個(gè)開集之交是_A開集 B閉集 C F型集 D G型集 4. 若 |f| 在E上可積，則_A. f在E上可積 B. f 在E上可測(cè) C. f 在E上有界 D. f在E上幾乎處處有限 三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（共9分，每小題3分）。四、證明下列集合等式（共6分，每小題3分）：1. S-S=(S-S) 2. Efa=Ef>a- 五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一定是開集。（8分）六、證明：設(shè)f(x)，f(x)為可積函數(shù)列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，則對(duì)任意可測(cè)子集eE有? |

6、f|d|f|d（7分）七、計(jì)算下列各題：（每小題5分，共15分）1. sin(nx)d=? 2. 設(shè)f(x)=求d=? 3. 設(shè)f(x)=   ?n=2,3, ?求d=?  一、判定下列命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤者舉處反例) 1. 非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集，（不正確！如：直線上的所有子集全體不可數(shù)，但其勢(shì)大于c）。 2. 開集的余集為閉集。（正確！教材已證的定理）。 3. 若mE=0，則E為可數(shù)集（不正確！如contorP集外測(cè)度為0，但是C勢(shì)集）。 4. 若 |f(x)| 在E上可測(cè)，則f(x) 在E上可測(cè)（不正確！如） 5. 若f(x) 在

7、E上有界可測(cè)，則f(x) 在E上可積（不正確！如有界可測(cè)，但不可積） 二、將正確答案填在空格內(nèi)1 至多可數(shù)個(gè) 可數(shù)集之并是可數(shù)集。A. 任意多個(gè)B.c勢(shì)個(gè) C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè)2.有限個(gè) 閉集之并交是閉集。A. 任意多個(gè) B. 有限個(gè) C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè)3.可數(shù)個(gè)開集之交是 G型集A開集 B閉集 C? F型集 D? G型集 4.若 |f| 在E上可積，則 f在E上幾乎處處有限 A. f在E上可積 B. f 在E上可測(cè) C. f 在E上有界 D. f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（見教材，不贅述?。Ｋ?、證明下列集合

8、等式1.S-S=(S-S) 解：=(S-S)2。Efa=Ef>a-證明： 所以，同理，? 故五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一定是開集。? 證明：（分析法證明）設(shè)要證為開集，只須證明事實(shí)上，取時(shí)，自然有。? 故為開集。無限個(gè)開集之交不一定是開集。反例：設(shè)，則=既不是開集，又不是閉集。六、證明：設(shè)f(x)，f(x)為可積函數(shù)列，f(x)f(x) a.e于E， 且|f|d|f|d，則對(duì)任意可測(cè)子集eE有 |f|d|f|d證明：因?yàn)閒(x)f(x) a.e于E，對(duì)任意由Fatou引理知|f|d|f|d而已知|f|d|f|d，則對(duì)任意由Fatou引理知：一方面|f|d=

9、|f|d|f|d另一方面，|f|d= |f|d|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d|f|d|f|d即|f|d= |f|d七、計(jì)算下列各題： 1sin(nx)d=?解：因?yàn)?sin(nx) 0于0，1第 3頁? 共 4 頁 ? 且|1則由Lebesgue控制收斂定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02設(shè)f(x)=求d=?解：所以3設(shè)f(x)= ?n=2,3,? 求d=?解：因?yàn)閒(x)=? ?n=2,3,在上非負(fù)可測(cè)，所以由Lebesgue逐塊積分定理知：d=。一、選擇題 (共10題，每題3分，共30分)1.設(shè)是中有理數(shù)的全體，則在中的導(dǎo)集是 【 】(A

10、) (B) (C) (D)2.設(shè)是一列閉集，則一定是 【 】(A)開集 (B)閉集 (C) 型集(D) 型集3.設(shè)是中有理數(shù)全體，則 【 】(A) 0 (B)1 (C) (D)-4.下面哪些集合的并組成整個(gè)集合的點(diǎn) 【 】 (A) 內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，聚點(diǎn) (B) 內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，孤立點(diǎn) (C) 孤立點(diǎn)，界點(diǎn)，外點(diǎn)(D) 孤立點(diǎn)，聚點(diǎn)，外點(diǎn)5.設(shè)是Cantor集，則 【 】(A) 與對(duì)等，且的測(cè)度為0(B) 與對(duì)等，且的測(cè)度為1(C) 與不對(duì)等，的測(cè)度為0(D) 與不對(duì)等，的測(cè)度為16. 設(shè)與在上可測(cè)，則是 【 】(A) 可測(cè)集 (B) 不可測(cè)集 (C)空集 (D) 無法判定7. 設(shè)在可測(cè)集上有定義，則是

11、 【 】(A) 單調(diào)遞增函數(shù)列(B) 單調(diào)遞減函數(shù)列(C) 可積函數(shù)列(D) 連續(xù)函數(shù)列8. 設(shè)是任一可測(cè)集，則 【 】(A) 是開集 (B) 是閉集(C) 是完備集(D) 對(duì)任意，存在開集，使9設(shè)，則 【 】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 410設(shè)是上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，若對(duì)任意，有下面條件成立，則 依測(cè)度收斂于 【 】 (A) (B) (C) (D) 二、定理敘述題(共2題，每題5分，共10分)1.魯津定理2.Fatou引理三、判斷改正題(正確的打?qū)μ?hào)，錯(cuò)誤的打錯(cuò)號(hào)并改正，共5題，每題4分，共20分)1. 若與它的真子集對(duì)等，則一定是有限集 【 】 2. 凡非負(fù)可測(cè)函

12、數(shù)都是可積的 【 】3.設(shè)為空間中一非空集，若則 【 】4.設(shè)為可測(cè)集，則存在型集，使得，且 【 】5.在上可積，則在可積且 【 】四、證明題(共4題，每題10分，共40分)1.開集減閉集后的差集為開集，閉集減開集后的差集為閉集2.上全體有理數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零3.設(shè)函數(shù)列在上依測(cè)度收斂，且于，則于4.設(shè)在上可積，則得 分閱卷人 判斷題（每題2分，共20分）1.必有比大的基數(shù)。 （ ） 2.無限個(gè)閉集的并必是閉集。 （ ）3.若，則是至多可列集。 （ ）4.無限集的測(cè)度一定不為零。 （ ）5.兩集合的外測(cè)度相等，則它們的基數(shù)相等。 （ ）6.若在的任意子集上可測(cè)，則在可測(cè)集上可測(cè)。 （ ）7.上

13、可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)在上不一定可測(cè)。 （ ）8.是上的可測(cè)函數(shù)，則可積。 （ ）9.若且，則于。 （ ）10.若在上可積，則在上也可積。 （ ）二、填空題（每題2分，共20分）1.設(shè)，則 ， 。2.設(shè)，則 ， 。3.設(shè)是開區(qū)間中有理點(diǎn)的全體，則 。4.單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)集的基數(shù)是 。 5.設(shè)是上的集，則 。6.閉區(qū)間 上的有界函數(shù)可積的充要條件是 。7. 狄利克雷函數(shù)函數(shù)是 可積的， 。三、計(jì)算題（每題10分，共20分）.1.計(jì)算。（提示：使用Lebesgue控制收斂定理）2. 設(shè)，其中是Cantor集，試計(jì)算。四、證明題（每題8分，共40分）1. 證明： 2. 設(shè)是平面上一類圓組成的集合，中

14、任意兩個(gè)圓不相交，證明是是至多可列集。3. 如果，則的任何子集也可測(cè)且測(cè)度為零。4.設(shè)在上可積，且于，證明：也在上可積。5. 可測(cè)集上的函數(shù)為可測(cè)函數(shù)充分必要條件是對(duì)任何有理數(shù)，集合是可測(cè)集。 一、單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）1、1、下列各式正確的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說法不正確的是（ ）(A) 凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)（B）可測(cè)集的任何子集都可測(cè) (C) 開集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測(cè)4、設(shè)是上的有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是( )（A）若,

15、則 (B) 是可測(cè)函數(shù) （C）是可測(cè)函數(shù);（D）若,則可測(cè)5、設(shè)f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)（C）在上L可積 (D) 二. 填空題(3分×5=15分)1、_2、設(shè)是上有理點(diǎn)全體，則=_,=_,=_.3、設(shè)是中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集都有_，則稱是可測(cè)的4、可測(cè)的_條件是它可以表成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù). （填“充分”，“必要”，“充要”）5、設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對(duì)于的一切分劃，使_,則稱為 上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.1、設(shè)，若E是稠密集，則是無處稠密集。2、若，則一

16、定是可數(shù)集.3、若是可測(cè)函數(shù)，則必是可測(cè)函數(shù)。4設(shè)在可測(cè)集上可積分，若，則四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、（8分）求五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）證明上的全體無理數(shù)作成的集其勢(shì)為.2、（6分）設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)是閉集。考 生 答 題 不 得 超 過 此 線3、（6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。 4、（6分）設(shè)在上可積，則.得 分閱卷人復(fù)查人5、（10分）設(shè)是上有限的函數(shù)，若對(duì)任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定

17、理)一、判定下列命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤者舉處反例)（15分，每小題3分）8. 非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集9. 開集的余集為閉集。10. 若mE=0，則E為可數(shù)集11. 若 |f(x)| 在E上可測(cè)，則f(x) 在E上可測(cè)12. 若f(x) 在E上有界可測(cè)，則f(x) 在E上可積二、將正確答案填在空格內(nèi)（共8分，每小題2分）13. _可數(shù)集之并是可數(shù)集。A. 任意多個(gè) B. c勢(shì)個(gè)? C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè)14. _閉集之并交是閉集。A. 任意多個(gè) B. 有限個(gè) C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè)15. 可數(shù)個(gè)開集之交是_A開集 B閉集 C F型集 D G型集16. 若

18、 |f| 在E上可積，則_A. f在E上可積 B. f 在E上可測(cè) C. f 在E上有界 D. f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（共9分，每小題3分）。四、證明下列集合等式（共6分，每小題3分）：17. S-S=(S-S)18. Efa=Ef>a-五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一定是開集。（8分）六、證明：設(shè)f(x)，f(x)為可積函數(shù)列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，則對(duì)任意可測(cè)子集eE有?|f|d|f|d（7分）七、計(jì)算下列各題：（每小題5分，共15分）19. sin(nx)d=?

19、20. 設(shè)f(x)=求d=?21. 設(shè)f(x)= ?n=2,3, ?求d=?一、判定下列命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤者舉處反例)6. 非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集，（不正確！如：直線上的所有子集全體不可數(shù)，但其勢(shì)大于c）。7. 開集的余集為閉集。（正確！教材已證的定理）。8. 若mE=0，則E為可數(shù)集（不正確！如contorP集外測(cè)度為0，但是C勢(shì)集）。9. 若 |f(x)| 在E上可測(cè)，則f(x) 在E上可測(cè)（不正確！如）10. 若f(x) 在E上有界可測(cè)，則f(x) 在E上可積（不正確！如有界可測(cè)，但不可積）二、將正確答案填在空格內(nèi)1 至多可數(shù)個(gè)可數(shù)集之并是可數(shù)集。A. 任意

20、多個(gè)B.c勢(shì)個(gè) C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè)2.有限個(gè)閉集之并交是閉集。A. 任意多個(gè) B. 有限個(gè) C. 無窮多個(gè) D 至多可數(shù)個(gè)3.可數(shù)個(gè)開集之交是 G型集A開集 B閉集 C? F型集 D? G型集4.若 |f| 在E上可積，則 f在E上幾乎處處有限A. f在E上可積 B. f 在E上可測(cè) C. f 在E上有界 D. f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（見教材，不贅述?。?。四、證明下列集合等式1.S-S=(S-S)解：=(S-S)2。Efa=Ef>a-證明：所以，同理，? 故五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之

21、交不一定是開集。? 證明：（分析法證明）設(shè)要證為開集，只須證明事實(shí)上，取時(shí)，自然有。 ? 故為開集。無限個(gè)開集之交不一定是開集。反例：設(shè)，則=既不是開集，又不是閉集。六、證明：設(shè)f(x)，f(x)為可積函數(shù)列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，則對(duì)任意可測(cè)子集eE有|f|d|f|d證明：因?yàn)閒(x)f(x) a.e于E，對(duì)任意由Fatou引理知 |f|d|f|d而已知|f|d|f|d，則對(duì)任意由Fatou引理知：一方面|f|d= |f|d|f|d另一方面，|f|d= |f|d|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d|f|d|f|d即|f|d= |f

22、|d七、計(jì)算下列各題：1sin(nx)d=?解：因?yàn)?sin(nx) 0于0，1 且|1則由Lebesgue控制收斂定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02設(shè)f(x)=求d=?解：所以3設(shè)f(x)= ?n=2,3,? 求d=?解：因?yàn)閒(x)=? ?n=2,3,在上非負(fù)可測(cè)，所以由Lebesgue逐塊積分定理知：d=。一、填空：（共10分）1如果 則稱是自密集，如果 則稱是開集，如果則稱是 ，稱為的 .2設(shè)集合可表示為一列開集之交集：，則稱為 . 若集合可表示為一列閉集之并集：，則稱為 .3（Fatou引理）設(shè)是可測(cè)集上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則 .4設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對(duì)于的一切分劃，使成一有界數(shù)集，則稱為上的 ，并稱這個(gè)數(shù)集的上確界為在上的 ，記為 .二、選擇填空：（每題4分，共20分）1下列命題或表達(dá)式正確的是 A B C對(duì)于任意集合，有或 D2下列命題不正確的是 A若點(diǎn)集是無界集，則 B若點(diǎn)集是有界集，則C可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零