導數的切線方程和圖像知識點與習題

1、導 數導 數導數的概念導數的運算導數的應用導數的幾何意義、物理意義函數的單調性函數的極值函數的最值常見函數的導數導數的運算法則1. 導數（導函數的簡稱）的定義：設是函數定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數值也引起相應的增量；比值稱為函數在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.注：是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.以知函數定義域為，的定義域為，則與關系為.2. 函數在點處連續(xù)與點處可導的關系：函數在點處連續(xù)是在點處可導的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當于.于是如果點處

2、連續(xù)，那么在點處可導，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導，因為，當0時，；當0時，故不存在.注：可導的奇函數函數其導函數為偶函數.可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3. 導數的幾何意義：函數在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4. 求導數的四則運算法則：（為常數）注：必須是可導函數.若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設，則在處均不可導，但它們和在處均可導.5. 復合函數的求導法則：或復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6. 函數單調性：函數單調

3、性的判定方法：設函數在某個區(qū)間內可導，如果0，則為增函數；如果0，則為減函數.常數的判定方法；如果函數在區(qū)間內恒有=0，則為常數.注：是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有，則是函數的極大值，極小值同理）當函數在點處連續(xù)時，如果在附近的左側0，右側0，那么是極大值；如果在附近的左側0，右側0，那么是極小值.也就是說是極值點的

4、充分條件是點兩側導數異號，而不是=0. 此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點. 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.注： 若點是可導函數的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導函數，其一點是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數，使=0，但不是極值點.例如：函數，在點處不可導，但點是函數的極小值點.8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.注：函數的極值點一定有意義.9. 幾種常見的函數導數：I.（為常數） （） II. III. 求導的常

5、見方法：常用結論：.形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.無理函數或形如這類函數，如取自然對數之后可變形為，對兩邊求導可得.用導數求切線方程的四種類型求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：若曲線在點的切線平行于軸（即導數不存在）時，由切線定義知，切線方程為下面例析四種常見的類型及解法類型一：已知切點，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導數，并代入點斜式方程即可例1曲線在點處的切線方程為（） 類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決例2與直線的

6、平行的拋物線的切線方程是（） 類型三：已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法例3 求過曲線上的點的切線方程類型四：已知過曲線外一點，求切線方程此類題可先設切點，再求切點，即用待定切點法來求解例4求過點且與曲線相切的直線方程例5已知函數，過點作曲線的切線，求此切線方程函數圖象及其導函數圖象1. 函數在定義域內可導，其圖象如圖，記的導函數為，則不等式的解集為_ 2. 函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數的單調增區(qū)間是_3. 如圖為函數的圖象，為函數的導函數，則不等式的解集為_ _ 4. 若函數的圖象的頂點在第四象限，

7、則其導函數的圖象是（ ）5. 函數的圖象過原點且它的導函數的圖象是如圖所示的一條直線，則圖象的頂點在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限O12xyO12xyxyyO12yO12xO12xABCD6. (2007年廣東佛山)設是函數的導函數,的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是（）7. 設函數f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導函數y=f (x)的圖象可能為()8. （安微省合肥市2010年高三第二次教學質量檢測文科）函數的圖像如下右圖所示，則的圖像可能是 （）xoy9. (2010年3月廣東省深圳市高三年級第一次調研考試文科)已知函數的導函數的圖象如右

8、圖，則的圖象可能是( )10. （2010年浙江省寧波市高三“十校”聯考文科）如右圖所示是某一容器的三視圖，現向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時間變化的可能圖象是（ ）(A) (B) (C) (D)11. (2008廣州二模文、理)已知二次函數的圖象如圖1所示 , 則其導函數的圖象大致形狀是（ ）12. （2009湖南卷文）若函數的導函數在區(qū)間上是增函數，則函數在區(qū)間上的圖象可能是 ( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D13. （福建卷11）如果函數的圖象如右圖，那么導函數的圖象可能是( )14. （2008年福建卷12)已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖

9、象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（ ）15. (2008珠海一模文、理)設是函數的導函數，將和的圖像畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ ）ABCDxyx4OoO16. (湖南省株洲市2008屆高三第二次質檢)已知函數的導函數的圖像如下，則（ ）函數有1個極大值點，1個極小值點函數有2個極大值點，2個極小值點函數有3個極大值點，1個極小值點函數有1個極大值點，3個極小值點17. (2008珠海質檢理)函數的定義域為，其導函數內的圖象如圖所示，則函數在區(qū)間內極小值點的個數是（ ）(A).1 (B).2 (C).3 (D).418. 【湛江市文】函數的圖象大致是 19. 【

10、珠海文】如圖是二次函數的部分圖象，則函數的零點所在的區(qū)間是 （ ） A. B. C. D.20. 定義在R上的函數滿足為的導函數，已知函數的圖象如右圖所示.若兩正數滿足，則的取值范圍是 （ ）A B C D21. 已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.1解：由則在點處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選2 解：設為切點，則切點的斜率為由此得到切點故切線方程為，即，故選評注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設切線方程為，代入，得，又因為，得，故選3解：設想為切點，則切線的斜率為切線方程為又知切線過點，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評注：可以發(fā)現直線并不以為切點，實際上是經過了點且以為切點的直線這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點，解決此類問題可用待定切點法4解：設為切點，則切線的斜率為切線方程為，即又已知切線過點，把它代入上述方程，得解得，即評注：點實際上是曲