安徽蕪湖一中高三物理一輪復(fù)習(xí)專題帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1、專題帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【重難點(diǎn)剖析】一、不計(jì)重力的帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.帶電粒子在電場(chǎng)中加速當(dāng)電荷量為q、質(zhì)量為m、初速度為的帶電粒子經(jīng)電壓U加速后，速度變?yōu)?，由?dòng)能定理得：。若=0，則有，這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意靜電場(chǎng)都是適用的。對(duì)于帶電粒子在電場(chǎng)中的加速問(wèn)題，應(yīng)突出動(dòng)能定理的應(yīng)用。2.帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子由靜止開始經(jīng)電加速后，以速度垂直進(jìn)入由兩帶電平行金屬板產(chǎn)生的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，則帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡是一條拋物線（如圖所示）設(shè)兩平行金屬板間的電壓為，板間距離為d，板長(zhǎng)為L(zhǎng)。（1）帶電粒子進(jìn)入兩板間后粒子在垂直于電場(chǎng)的方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)

2、，有 粒子在平等于電場(chǎng)的方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有（2）帶電粒子離開極板時(shí)側(cè)移距離軌跡方程為：（與m、q無(wú)關(guān)）偏移角度的正切值若在偏轉(zhuǎn)極板右側(cè)D距離處有一豎立的屏，在求電子射到屏上的側(cè)移距離時(shí)有一個(gè)很有用的推論：所有離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)電荷好像都是從極板的中心沿中心與射出點(diǎn)的連線射出的。這樣很容易得到電荷在屏上的側(cè)移距離以上公式要求在能夠證明的前提下熟記，并能通過(guò)以上式子分析、討論側(cè)移距離和偏轉(zhuǎn)角度與帶電粒子的速度、動(dòng)能、比荷等物理量的關(guān)系。二、不計(jì)重力的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.勻速直線運(yùn)動(dòng)：若帶電粒子的速度方向與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向平行，則粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。2.勻速圓周運(yùn)動(dòng)：若帶電粒

3、子在速度方向與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直，則粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子以初速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度為，軌道半徑為R，運(yùn)動(dòng)的周期為T，則有：得，（與v、R無(wú)關(guān)），3.對(duì)于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，應(yīng)注意把握以下幾點(diǎn)。（1）粒子圓軌跡的圓心的確定若已知粒子在圓周運(yùn)動(dòng)中的兩個(gè)具體位置及通過(guò)某一位置時(shí)的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂線，同時(shí)作兩位置連線的中垂線，兩垂線的交點(diǎn)為圓軌跡的圓心，如圖所示。若已知做圓周運(yùn)動(dòng)的粒子通過(guò)某兩個(gè)具體位置的速度方向，可在兩位置上分別作兩速度的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為圓軌跡的圓心，如圖所示若已知做圓周運(yùn)

4、動(dòng)的粒子通過(guò)某一具體位置的速度方向及圓軌跡的半徑R，可在該位置上作速度的垂線，垂線上距該位置R處的點(diǎn)為圓軌跡的圓心（利用左手定則判斷圓心在已知位置的哪一側(cè)），如圖所示。（2）粒子圓軌跡的半徑的確定可直接運(yùn)用公式來(lái)確定畫出幾何圖形，利用半徑R與題中已知長(zhǎng)度的幾何關(guān)系來(lái)確定。在利用幾何關(guān)系時(shí)，要注意一個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：粒子速度的偏向角等于對(duì)應(yīng)軌跡圓弧的圓心角，并等于弦切角的2倍，如圖所示。（3）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期的確定?？芍苯舆\(yùn)用公式來(lái)確定。利用周期T與題中已知時(shí)間t的關(guān)系來(lái)確定。若粒子在時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為，則有：（或）（4）圓周運(yùn)動(dòng)中有關(guān)對(duì)稱的規(guī)律從磁場(chǎng)的直邊界射入的粒子，若再

5、從此邊界射出，則速度方向與邊界的夾角相等，如圖1所示。在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，沿半徑方向射入的粒子必沿另一半徑方向射出，如圖2所示。圖1圖2（5）帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件通常是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。三、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)取決于帶電粒子所受的合外力及初速度，因此應(yīng)把帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析。當(dāng)帶電粒子在疊加場(chǎng)中所受的合外力為零時(shí)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)（如速度選擇器）；當(dāng)帶電粒子所受的重力與電場(chǎng)力等值、反向，由洛倫茲力提供向心力時(shí)，帶電粒子在垂直磁場(chǎng)的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)帶電粒子所受的合外力是

6、變力，且與初速度的方向不在一條直線上時(shí)，粒子做非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，軌道也隨之不規(guī)范地變化。因此，要確定粒子的運(yùn)動(dòng)情況，必須明確有幾種場(chǎng) ，粒子受幾種力，重力是否可以忽略。2.帶電粒子所受三種場(chǎng)力的特征（1）洛倫茲力的大小跟速度與磁場(chǎng)方向的夾角有關(guān)。當(dāng)帶電粒子的速度與磁場(chǎng)方向平等時(shí)，；當(dāng)帶電粒子的速度與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，。洛倫茲力的方向垂直于速度v和磁感應(yīng)強(qiáng)度B所決定的平面。無(wú)論帶電粒子做什么運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力都不做功。（2）電場(chǎng)力的大小為qE，方向與電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向及帶電粒子所帶電荷的性質(zhì)有關(guān)。電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，其數(shù)值除與帶電子的電荷量有關(guān)外，還與其始末位置的電勢(shì)差有關(guān)。（3）重力的大小為mg，方

7、向豎直向下。重力做功與路徑無(wú)關(guān)，其數(shù)值除與帶電粒子的質(zhì)量有關(guān)外，還與其始末位置的高度差有關(guān)。注意：微觀粒子（如電子、質(zhì)子、離子）一般都不計(jì)重力；對(duì)帶電粒子、帶電小球、液滴、金屬塊等實(shí)際的物體沒(méi)有特殊交代時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮其重力；對(duì)未知名的、題中又未明確交代的帶電粒子，是否考慮其重力，則應(yīng)根據(jù)題給物理過(guò)程及隱含條件具體分析后作出符合實(shí)際的決定。3.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的分析方法（1）當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)根據(jù)平衡條件列方程求解。（2）當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往應(yīng)用牛頓第二定律和平衡條件列方程聯(lián)立求解。（3）當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)選用動(dòng)能定理或動(dòng)量守

8、恒定律列方程求解。注意：如果涉及兩個(gè)帶電粒子的碰撞問(wèn)題，要根據(jù)動(dòng)量守恒定律列方程，再與其他方程聯(lián)立求解。由于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的客觀存在力情況復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)情況多變，往往出現(xiàn)臨界問(wèn)題，這時(shí)應(yīng)以題目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等詞語(yǔ)為突破口，挖掘隱含條件，并根據(jù)臨界條件列出輔助方程，再與其他方程聯(lián)立求解。【典例分析】一、根據(jù)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析推理例1如圖所示，實(shí)線為不知方向的三條電場(chǎng)線，從電場(chǎng)中的M點(diǎn)以相同速度飛出a、b兩個(gè)帶電粒子，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，則（ ）A.a一定帶正電，b一定帶負(fù)電B.a的速度將減小，b的速度將增大C.a的加速度將減小，b的加速度將增大D.兩個(gè)粒

9、子的電勢(shì)能一個(gè)增大，一個(gè)減小解析：因?yàn)殡妶?chǎng)線的方向不知，所以不能根據(jù)受力情況判斷電粒子的帶電情況，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可知a受的電場(chǎng)力向左，b受的電場(chǎng)力向右，且電場(chǎng)力都做正功，所以兩個(gè)粒子的速度都增大，電勢(shì)能都減小，即選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤；但a受的電場(chǎng)力越來(lái)越小，b受的電場(chǎng)力越來(lái)越大，所以a的加速度將減小，b的速度將增大，即選項(xiàng)C正確。答案：C點(diǎn)評(píng)：本模塊內(nèi)容除了在高考中以常見(jiàn)的計(jì)算題形式出現(xiàn)外，有時(shí)候也以選擇題形式出現(xiàn)，通過(guò)帶電粒子在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中（只受電場(chǎng)力）的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)分析電場(chǎng)力和能的特性是一種重要題型，解析之類問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：電場(chǎng)力一定沿曲線的切線方向且一定指向軌跡曲線

10、的內(nèi)側(cè)；當(dāng)電場(chǎng)線為曲線時(shí)，電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能與之重合。二、帶電粒子在電場(chǎng)中的加速與偏轉(zhuǎn)例2噴墨打印機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示，其中墨盒可以發(fā)出墨法微滴，其半徑約為m，此微滴經(jīng)過(guò)帶電室時(shí)被帶上負(fù)電，帶電荷量的多少由計(jì)算機(jī)按字體筆畫的高低位置輸入信號(hào)加以控制。帶電后的微滴以一定的初速度進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng) ，帶電微滴經(jīng)過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)后打到紙上，顯示出字體。無(wú)信號(hào)輸入時(shí)，墨法微滴不帶電，徑直通過(guò)偏轉(zhuǎn)板而注入回流槽流回墨盒。偏轉(zhuǎn)板長(zhǎng)1.6cm，兩板間的距離為0.50cm，偏轉(zhuǎn)板的右端距紙3.2cm。若墨法微滴的質(zhì)量為kg，以20m/s的初速度垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，兩偏轉(zhuǎn)板間的電壓是V，若墨法微滴打到紙上

11、的點(diǎn)距原射入方向的距離是2.0mm。求這個(gè)墨法微滴通過(guò)帶電室所帶的電荷量是多少？（不計(jì)空氣阻力和重力，電場(chǎng)的不均勻性）解析：設(shè)微滴所帶的電荷量為q，它進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)后做直線運(yùn)動(dòng)打到紙上，距原入射方向的距離為：又解得：代入數(shù)據(jù)得：答案：點(diǎn)評(píng)：本題也可直接根據(jù)：進(jìn)行計(jì)算。和平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題一樣，這類題型中偏轉(zhuǎn)角度的正切表達(dá)式在解題中往往較為關(guān)鍵，且有（為射出點(diǎn)位移與入射方向的夾角）的特點(diǎn)。例3如圖甲，在真空中，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng) ，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距為R，板長(zhǎng)為2R，板的中心線與磁場(chǎng)的圓心在同一直線上。有一電荷量為q、質(zhì)

12、量為m的帶正電的粒子以速度從圓周上的a點(diǎn)沿垂直于半徑并指向圓心的方向進(jìn)入磁場(chǎng) ，當(dāng)從圓周上的點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)時(shí)，給M、N兩板加上如圖乙所示的電壓，最后粒子剛好以平行于N板的速度從N板的邊緣飛出。（不計(jì)粒子所受到的重力）（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（2）求交變電壓的周期T和電壓的值。（3）當(dāng)時(shí)，該粒子從M、N板右側(cè)沿板的中心線仍以速度射入M、N之間，求粒子從磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)到a點(diǎn)的距離。解析：（1）粒子自a點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，則其運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R。由解得：（2）粒子自點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后恰好從N板的邊緣平行極板飛出。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：又t=nT(n=1,2,3)解得：(n=1,2

13、,3)(n=1,2,3)（3）當(dāng)時(shí)，粒子以速度沿射入電場(chǎng)，該粒子恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍為，運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R。設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的點(diǎn)為b，離開磁場(chǎng)時(shí)的點(diǎn)為c，圓心為，如上圖所示，四邊形是菱形，所以、三點(diǎn)共線，ca即為圓的直徑，則c、a間的距離d=2R。答案：（1）；（2）(n=1,2,3)(n=1,2,3)；（3）2R點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)是類平拋運(yùn)動(dòng)，解此類題目關(guān)鍵是將動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)，題中沿電場(chǎng)方向的分運(yùn)動(dòng)就是前面總結(jié)過(guò)多次的“受力周期性變化的加速運(yùn)動(dòng)”。三、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例4如圖，xoy平面內(nèi)的圓與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。在

14、該圓形區(qū)域內(nèi)，有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于圓面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)帶電粒子（不計(jì)重力）從原點(diǎn)O沿x軸進(jìn)入場(chǎng)區(qū)，恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)場(chǎng)區(qū)的時(shí)間為。若撤去磁場(chǎng)，只保留電場(chǎng)，其他條件不變，該帶電粒子穿過(guò)場(chǎng)區(qū)的時(shí)間為/2。若撤去電場(chǎng)，只保留磁場(chǎng)，其他條件不變，求：該帶電粒子穿過(guò)場(chǎng)區(qū)的時(shí)間。解析：設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感強(qiáng)度為B；圓o的半徑為R；粒子的電量為q，質(zhì)量為m，初速度為v同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有只存在電場(chǎng)時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：，由以上式子可知x = y = R，粒子從圖中的M點(diǎn)離開電場(chǎng)，由以上式子得：只存在磁場(chǎng)時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從圖中N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，P為軌跡圓弧的

15、圓心設(shè)半徑為r，由以上式子可得：，由圖：所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)大體包含五種常見(jiàn)情境：無(wú)邊界磁場(chǎng)、單邊界磁場(chǎng)、雙邊界磁場(chǎng)、矩形邊界磁場(chǎng)、圓形邊界磁場(chǎng)。帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，解這類問(wèn)題往往要用到圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)、洛倫茲力、還要牽涉到數(shù)學(xué)中的平面幾何、解析幾何等知識(shí)。因此，解此類試題，除了運(yùn)用常規(guī)的解題思路（畫草圖、找“圓心”、定“半徑”等）之外，更應(yīng)側(cè)重于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析。帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌跡為不完整的圓周，解決之類問(wèn)題的關(guān)鍵有以下三點(diǎn)：確定圓周的圓心。若已知入射點(diǎn)、出射點(diǎn)及入射方向、出射方向，可通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入

16、射方向和出射方向的直線，兩直線的交點(diǎn)，即為圓周的圓心；若已知入射點(diǎn)、出射點(diǎn)及入射方向，可通過(guò)入射點(diǎn)作入射線的第一線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作此連線的垂直平分線，兩垂線的交點(diǎn)，即為圓周的圓心。確定圓的半徑。一般在圓上作圖，由幾何關(guān)系求出圓的半徑。求運(yùn)動(dòng)時(shí)間。找到運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，由公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間。由于帶電粒子以不同的速率進(jìn)入同一磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與速率成正比。本題如果粒子的速度太大就會(huì)從dc邊射出，相切則是剛好不從dc邊射出；速度太小將不會(huì)從ab邊射出，相切則剛好不從ab邊射出。當(dāng)帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)。例5圖甲為一種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在以為圓心，

17、為對(duì)稱軸，夾角為的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。對(duì)稱于軸的C和D分別是離子發(fā)射點(diǎn)和收集點(diǎn)。CM垂直磁場(chǎng)左邊界于M，且?，F(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，這些離子在CM方向上的分速度均為。若該離子束中比荷為的離子都能匯聚到D，試求：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。（提示：可考慮以沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子為研究對(duì)象）（2）離子沿與CM成角的直線CN進(jìn)入磁場(chǎng)，其軌道半徑和在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。（3）線段CM的長(zhǎng)度。解析：（1）設(shè)沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R。由解得：，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。（2）設(shè)沿CN運(yùn)動(dòng)的離子速度大小為V，在磁場(chǎng)中的軌道半徑為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

18、由解得：方法一如圖所示，設(shè)弧長(zhǎng)為s由，解得：方法二離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期故。（3）設(shè)從N點(diǎn)射入的離子的軌跡圓心為A，過(guò)A作AB垂直NO，如圖所示。故BO=NM因?yàn)橛忠驗(yàn)樗?。答案：?），方向垂直紙面向外（2）（3）點(diǎn)評(píng)：關(guān)于帶電粒子通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)只受洛倫茲力作用的問(wèn)題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作圖，找出圖中軌跡的半徑、弦、圓心角、已知線段等幾何量之間的關(guān)系。本題的解析中要避免分析這些離子束為何能重新匯聚。例6如圖所示，x軸上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外（圖中未畫出）。x軸下方存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿與x軸負(fù)方向成60角斜向下。一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為e的質(zhì)

19、子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。質(zhì)子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b點(diǎn)處穿過(guò)x軸進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，速度方向與x軸正方向成30，之后通過(guò)了b點(diǎn)正下方的c點(diǎn)。不計(jì)質(zhì)子的重力。（1）畫出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并求出圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑和最小面積；（2）求出O點(diǎn)到c點(diǎn)的距離。解析：（1）質(zhì)子先在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示.根據(jù)牛頓第二定律，有要使磁場(chǎng)的區(qū)域面積最小，則Oa為磁場(chǎng)區(qū)域的直徑，由幾何關(guān)系可知：求出圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為（2）質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)方向：； 平行電場(chǎng)方向：，由

20、牛頓第二定律，解得：。O點(diǎn)到c點(diǎn)的距離： 例7如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy中，在x 0的區(qū)域存在一垂直紙面的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其下邊界和左邊界分別與Ox、Oy輛重合，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B（圖中未畫出），現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的質(zhì)子從第二象限的某點(diǎn)P以初速度沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，以2v0的速度經(jīng)坐標(biāo)為（0，L）的Q點(diǎn)再經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸的負(fù)方向返回電場(chǎng)，不計(jì)質(zhì)子的重力求： （1）P點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）矩形磁場(chǎng)的面積。解析：（1）如圖所示，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xP，yP)，從P到Q，質(zhì)子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度與x軸正向的夾角為，則：，所以質(zhì)子在Q點(diǎn)時(shí)在y方向的分速度 在電場(chǎng)中質(zhì)子運(yùn)

21、動(dòng)的加速度，設(shè)質(zhì)子由P到Q的時(shí)間為t，則，xP = v0t，解得，。 （2）設(shè)所加的最小矩形磁場(chǎng)的高和底長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1、L2，質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則：所以，又，所以四、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)、組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例8如圖所示，在y軸的右方有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸的下方有一場(chǎng)強(qiáng)為E、方向平行x軸向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，有一鉛板旋轉(zhuǎn)在y軸處且與紙面垂直?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子由靜止經(jīng)過(guò)加速電壓為U的電場(chǎng)加速后以垂直于鉛板的方向從A處穿過(guò)鉛板，然后從x軸的D處以與x軸正方向夾角為的方向進(jìn)入電場(chǎng)和磁場(chǎng)重疊的區(qū)域，最后到達(dá)y軸上的C點(diǎn)。已知OD長(zhǎng)為L(zhǎng)，不計(jì)粒子的重力

22、，求：（1）粒子經(jīng)過(guò)鉛板時(shí)損失的動(dòng)能。（2）粒子到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小。解析：（1）由動(dòng)能定理可知，粒子穿過(guò)鉛板前的動(dòng)能為：穿過(guò)鉛板后由牛頓第二定律得：由幾何知識(shí)得：解得：粒子穿過(guò)鉛板后的動(dòng)能為：則損失的動(dòng)能為：（2）從D到C只有電場(chǎng)力對(duì)粒子做功，洛倫茲力只改變粒子速度的方向，帶電粒子在磁場(chǎng)中做一般曲線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可得：解得：答案：（1）（2）點(diǎn)評(píng)：無(wú)論何種情形下，洛倫茲力都不做功。例9如圖所示，在同時(shí)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的空間中取正交坐標(biāo)系（x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上）。勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向與平面平行，且與x軸的夾角為，重力加速度為g。一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸

23、正方向以速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的量小值及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（2）若電場(chǎng)強(qiáng)度為量小值，當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)通過(guò)y軸上的點(diǎn)P（0，h,0）時(shí)，撤去勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求帶電質(zhì)點(diǎn)落在平面內(nèi)的位置。解析：如圖所示，帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg（大小及方向均已知）、洛倫茲力（方向已知）、電場(chǎng)力qE（大小及方向均未知）的作用而做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由平行四邊形定則可知：當(dāng)電場(chǎng)方向與磁場(chǎng)方向相同時(shí)，電場(chǎng)力與洛倫茲力垂直，場(chǎng)強(qiáng)有最小值。根據(jù)物體的平衡條件有：聯(lián)立解得：（2）如圖所示，撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg和電場(chǎng)力q的作用，其合力沿PM方向并與方向垂直，大小等于，故帶電質(zhì)點(diǎn)在與平面成30角的平面內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)由牛頓第二

24、定律得：解得：設(shè)經(jīng)時(shí)間t到達(dá)平面內(nèi)的點(diǎn)N（x,y,z）。由運(yùn)動(dòng)的分解可得：沿方向z=t沿PM方向又又聯(lián)立以上各式解得：所以，帶電質(zhì)點(diǎn)落在N（，0，）點(diǎn)（或帶電質(zhì)點(diǎn)落在平面內(nèi)的點(diǎn)）。答案：（1）（2）帶電質(zhì)點(diǎn)落在N（，0，）點(diǎn)（或帶電質(zhì)點(diǎn)落在平面內(nèi)的點(diǎn)）。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)動(dòng)的描述、受力分析、動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)的重要基礎(chǔ)，本例要解決的不過(guò)是包含洛茲力、電場(chǎng)力的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，但由于電場(chǎng)力、洛倫茲力、重力和速度不在同一平面內(nèi)，故在分析物理過(guò)程時(shí)需要有較強(qiáng)的空間想象力。例10兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖中的a 、b所示（規(guī)定垂直紙面向里為

25、磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）。在t=0時(shí)刻由負(fù)極板釋放一個(gè)初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力）。若電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、粒子的比荷均已知，且，兩板間距。（1）求粒子在時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值。（2）求粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑（用h表示）。（3）若板間電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間t的變化仍如圖所示中的a表示，磁場(chǎng)的變化改為如圖中的c所示，試畫出粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡（不必寫計(jì)算過(guò)程）。解析：方法一（1）設(shè)粒子在時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移大小為，則：又聯(lián)立解得：。（2）粒子在時(shí)間內(nèi)只受洛倫茲力的作用，且速度方向與磁場(chǎng)方向垂直，所以粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)速度的大小為，軌道半徑為，周期為T，則：聯(lián)立解得：又即粒

26、子在時(shí)間內(nèi)恰好完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。在時(shí)間內(nèi)，粒子做初速度為的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)位移在小為，則：解得：由于，粒子恰好又完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。在時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)到正極板（如圖a所示）。因此粒子運(yùn)動(dòng)的最大半么。（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖b所示。方法二 由題意可知，電磁場(chǎng)的周期為2，前半周期內(nèi)粒子受電場(chǎng)的作用而做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：，方向向上后半周期內(nèi)粒子受磁場(chǎng)的作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為：粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)。至第n個(gè)周期末，粒子的位移大小為，則：又已知解得：，粒子的速度大小為：，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：解得：顯然（1）粒子在時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值。（2）粒子在

27、極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的量大半徑（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖中b所示。答案：（1）（2）（3）如圖中b所示。例11如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第象限內(nèi)，x軸和平行x軸的虛線之間(包括x軸和虛線)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1=210-2T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，虛線過(guò)y軸上的P點(diǎn)，OP=1.0m，在x0的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。許多質(zhì)量m=1.610-25kg、電荷量g=+1.610-18C的粒子，以相同的速率v=2105ms從C點(diǎn)沿紙面內(nèi)的各個(gè)方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的區(qū)域，OC=0.5m。有一部分粒子只在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的區(qū)域運(yùn)動(dòng)，有一部分粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的區(qū)域運(yùn)動(dòng)之后將進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2的區(qū)域。設(shè)粒子在B1區(qū)域運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為t1，這部分粒子進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2的區(qū)域后在B2區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2，已知t2=4t1。不計(jì)粒子重力。求：（1）粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的區(qū)域