理想流體動力學理論

1、第四章 流體的積分關系式及其應用眾所周知，一個固體質點在保守力場中運動時，質點的動能和勢能之和保持不變，這就是經典物理中的機械能守恒定律。從數(shù)學的觀點看，機械能守恒是動量方程的一次積分，稱為能量積分。有了能量積分方程，我們在處理保守場中的動力學問題時，就可通過該方程將始、末兩態(tài)直接聯(lián)系起來，而不必考慮中間過程的細節(jié)。在流體力學中也有類似的積分。前面一章建立了控制流體流動的微分方程組，原則上利用該方程組可以求解滿足Stokes假設的Newton流體的任意流動問題。對于理想流體流動問題，可以直接積分微分方程，得到積分方程。利用積分方程求解流動問題顯然更為簡便，因而這些積分方程得到廣泛應用。什么樣的

2、流體是理想流體呢？當流體發(fā)生剪切變形時總會伴有粘性應力。粘性應力不僅與流體的粘性性質(以粘性系數(shù)表征)有關，還依賴于速度梯度，對于低粘（?。┝黧w的流動，如果速度的空間變化不太急劇，粘性應力就比較小。如果粘性應力對所研究的流動問題影響較小，可以忽略流體的粘性，認為流體是無粘的，即理想流體。一般常見的流體，如空氣和水，粘性系數(shù)很小，在自然界和工程中遇到的這些流體的大多數(shù)流動，粘性的影響都可以忽略，都可以近似看作理想流體流動。在流體力學發(fā)展的歷史上，無粘流理論是流體力學中歷史悠久，發(fā)展完善，成果輝煌，應用廣泛的一個分支領域。4.1理想流體運動方程的進一步化簡理想流體滿足Euler方程：，（4-1）或

3、者改寫成蘭姆葛羅米柯形式 。（4-2）若體力有勢，（4-3）其中代表體力勢，即單位質量流體的勢能。如果體力僅為重力，取軸沿方向，并取為零勢能面，則。若流體密度是常量或僅為壓強的函數(shù)，則稱流體是正壓流體。若流體正壓，此時可定義壓力函數(shù)（4-4-1）或。（4-4-2）由和式（4-4-2）可知。（4-5）綜上，對理想、正壓流體在保守力場中流動，方程（4-2）可化為。（4-6）4.2 Bernoulli積分及其應用若流動定常，則式（4-6）化為。以點積上式可得，上式表示沿流線不變，即，（4-7）其中代表沿同一條流線不變的常數(shù)，不同流線上值不一定相同；符號代表流線。公式（4-7）即定常流動的Bernou

4、lli積分。若流體均質、不可壓縮（即為常量），則。此時如果則式（4-7）進一步化為。（4-8）對比公式（4-3）和（4-5）可見與有類似的物理意義，故也稱為壓能。重力做功轉化成重力勢能，壓強梯度力做功轉化為壓能。定義 （4-9）代表單位質量流體的總機械能。由于定常流動中流線亦為跡線，因此式（4-8）也表示流體質點在運動過程中機械能守恒。工程上常將式（4-9）表示為，（4-10）該式中各項量綱為長度，分別稱為總頭、速度頭、壓力頭和位勢頭。方程應用中需注意的問題：（1）若所有流線都經過一個均勻區(qū)域（如孔口出流和均勻來流繞流物體等流動），則在全流場都是常數(shù)。（2）從本質上看，伯努利積分（4-7）表述

5、的是流體質點的機械能守恒。因而，對于有明顯的機械能損耗（例如水躍）或與外部有機械能交換（例如流經水泵）的流動過程不適用。（3）對于管道內水的層流流動，如果流動不出現(xiàn)分離（管道沒有突擴段和急彎等），粘性耗散可以忽略，公式（4-10）近似成立，只是在實際應用中常以管道橫截面上平均速度、平均壓強和中軸線高度代替式中的、和。如果須考慮粘性耗散，則管道不同位置處的機械能之差等于流體流經該段管道過程中的粘性耗散。例4.1文丘里（Venturi）管是一根兩頭粗中間細的管子，把它接在要測量的管道中間，可用來測量管中的流量。假設管中流體是均質、不可壓縮的，并假設沿管截面速度分布均勻。已知該管粗、細截面面積分別為

6、、，管中流體密度遠小于壓力計中流體密度，寫出流量計算公式。答：設該管橫截面、處平均流速分別為和。由Bernoulli積分可知，沿管中軸線。另由連續(xù)性方程知。由以上二式解得。壓差由U形管壓力計測得，代入上式得體積流量。 小孔出流例4.2 小孔出流。如圖所示，有一很大的容器內盛滿水，在容器壁上距水面深度為處開一小孔，水從小孔流入大氣，求小孔射流的流速，設容器和小孔截面積分別為、，且。解：流體不可壓縮，根據(jù)質量連續(xù)性方程有。因，所以，容器內水面下降緩慢，短時間內可忽略水面高度變化，認為流動定常。孔口處的所有流線都經過自由表面，因此根據(jù)伯努利積分有考慮到和（代表大氣壓強），可得。例4.3 駐點壓力和皮

7、托（Pitot）管測速原理如右圖所示，在繞流流動中，流體受阻后在物體前緣某處速度減小為零（然后在壓強梯度力的作用下向物體后部流動），該點就叫做駐點，該點處的壓力就叫作駐點壓力。如果是無窮遠均勻來流定常繞流物體，并假設流體均質、不可壓縮，重力可略，那么根據(jù)伯努利積分有即，其中是靜壓，稱為動壓，駐點壓力稱為總壓。駐點處的壓力（總壓）等于靜壓和動壓之和。皮托管利用駐點壓力來測量風速。它由一個圓頭的雙層套管套管組成。在圓頭中心1處開一小孔，直通內套管，內套管又連接測壓計的一端。在外套管上距1約的2處沿圓周線均勻開一排與外管壁垂直的靜壓孔，連接測壓計的另一端。將皮托管放置在要測速的定常氣流中使管軸平行氣

8、流方向，管頭迎著來流。這樣，氣流流向皮托管時，1點就成為駐點。1點處的壓力為總壓。氣流在1點分叉后沿管壁向后流。由于皮托管很細，靜壓孔2處的壓力已恢復到，所以壓力計測出的就是動壓，即，其中為壓力計中流體的密度。風速例4.4絕熱氣體滿足狀態(tài)方程（），該氣體沿一直細管流動，如果不計體力，1）試證明 沿管子不變，式中、分別為細管截面上的平均流速，平均壓強和平均密度；2）如果沿流動方向管子是收縮的，那么當時，V將沿流動的方向增加，將沿流動的方向減少。1）證明：由狀態(tài)方程可知因此，不計重力時，絕熱氣體定常流動的伯努力方程為。細管本身就可以看成流線，因此沿細管不變。2）因流動定常，細管任意兩截面上的質量通

9、量相等，即等于常量。取流動方向為軸方向，沿流動方向管子收縮即，因此，即. （1）將伯努利方程對微分并結合狀態(tài)方程得：, （2）再結合（1）式得：，即?？梢娙?，則；若，則。再由伯努利積分知的正負與相反。注：（2）式也可如下得到。管內流動滿足歐拉方程，流動發(fā)生在細管中，速度沿管軸方向，。（3）對于細管截面上的平均流速，平均壓強和平均密度，、和（3）式近似成立。例4.5 歐拉方程的應用。設有不可壓縮重流體盛在直立圓柱形容器內，以等角速繞圓柱軸線穩(wěn)定旋轉。若已知流體靜止時液面高，圓柱半徑，不計大氣壓強，求：1）液體內部壓強分布 2）自由表面形狀 3）容器底部所受總壓力解：O故 自由表面 ie 不可壓縮

10、流體的體積不變，因此可知：自由表面為回轉拋物面：液體內部壓強分布 容器底部所受總壓力：*此例為有旋運動，Bernoulli方程沿流線成立，不能給出有用結果。例三 推導旋轉坐標系下的Bernoulli eq.。Euler eq: 在相對于系以勻速度速轉動的系下，動量方程為 絕對加速度=相對加速度+牽連加速度+柯氏加速度若勻速轉動。假設體力有勢，流體正壓,，并且，代換后得 故在轉動坐標系內定常時沿流線有 重力場，均質不可壓縮流體：上例可用此方程求解，在固定于容器上的參照系內流體靜止，故在全流場有 壓力分布 4.3 拉格朗日積分及其應用設流體正壓，體力有勢，流動無旋，故有。無旋運動可定義速度勢：。上

11、式又可化為 ，即。分析：意義：同一時刻在全流場相同，可隨變。若場定常則有：在全流場，任意時刻全同，即在理想、正壓、體力有勢的無旋定常流動中，所有流點機械能E全同且守恒。 上式亦可表示為，故同一時刻兩點之間有 。其中積分路徑任意，可根據(jù)具體流動特點選取。有時直接使用此式求解更為方便，將待求點與已知點直接聯(lián)系起來。Lagrange積分有很重要的應用價值，主要是由速度勢方程解出后，壓強場由Lagrange積分求得。（不可壓縮流體無旋運動有，在一定邊界條件下求解，不涉及）例4一完全浸沒在不可壓縮流體內部的球按規(guī)律膨脹，不計體力，試決定球面上的流體壓力。設無窮遠處流體速度為零，壓強為。由靜止流體中球面的

12、膨脹引起的流體的運動。由于流體理想、不可壓縮、體力不計，故運動無旋，滿足Lagrange積分條件。由質量連續(xù)性方程有，流場中任意點速度 。Lagrange積分應用于時刻點與無窮遠點之間： 將代入積分得， 。（注意不能寫成，因為積分下限是時間的函數(shù)，但事實上這里的是我們在時刻選定的場點。）4.4動量定理及其應用據(jù)動量定理，流體團總動量的隨體導數(shù)等于作用于該流體團上的體力和面力的合力。利用雷諾輸運方程可得積分形式動量定理： ，上式也表明，作用于控制體上的合外力=控制體內的動量變化率+控制面上的動量通量。在定常情況下，上式化為 。若已知定常流動控制面上的動量通量和部分控制面上的面力，可利用（）式求解其余控制面上的面力。例 小孔出流，求水作用于容器上的力。解：由例4.2可知出流速度。取控制體如圖中虛線框所示，控制面上動量通量的水平分量為，控制面上水平方向合面力為容器受水作用的反作用力再加上孔口處的大氣壓力，后者近似等于，根據(jù)動量定理。容器所受合力其中 “”號表示容器受力方向向左。例 利用上式求流體對其他物體的作用力。明渠中流體流經閘門情況如圖，1、2斷面上水深分別為和，渠寬為，求明渠中流體對閘門的