必修4-第2章--平面向量典型例題及練習

1、第二章平面向量2.1平面向量的實際背景及根本概念 【知識點歸納】1. 平面向量的概念：2向量的表示：常見的2個向量3. 相等向量與共線向量:【典型例題】題型一 向量的根本概念例1.給出以下命題： 向量AB與CD是共線向量，那么 A、B、C、D四點必在一直線上； 兩個單位向量是相等向量；假設a=b, b=c,那么a=c ； 假設一個向量的模為0,那么該向量的方向不確定； 假設|a|=|b|,那么a=b。假設a與b共線,b與c共線，那么a與c共線其中正確命題的個數(shù)是A . 1個 B . 2個 C. 3個 D . 4個例2以下命題正確的有 a與b共線，b與c共線，那么a與c也共線 任意兩個相等的非零

2、向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 向量a與b不共線，那么a與b都是非零向量 有一樣起點的兩個非零向量不平行題型二向量的表示例3.一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了 100km到達B點，然后又改變方向，向西偏北45°走了 200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了 100km到達D點.(1)作出向量AB,BC,CD;(2)求AD.題型三 相等向量與共線向量例4如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量 0A, OB , OC相等的向量，共線的向量。題型四利用向量解決多點共線的問題例5.如圖，四邊形 ABCD中,AB DC , P,Q 是 AD , BC 上的點，且B

3、P QD ,求證：APQcQ CAD1.以下命題中，正確的選項是A.假設 |a|=|b|,那么 a=bC.假設 |a|>|b|,那么 a>b2以下說法中錯誤的選項是綜合練習:B.假設a=b,那么a與b是平行向量D假設a與b不相等，那么向量 a與b是不共線向量 A.零向量是沒有方向的C.零向量與任一向量平行B.零向量的長度為0D.零向量的方向是任意的3. 把平面上一切單位向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是4. 非零向量a / b,假設非零向量c/ a,那么c與b關系是.5. a、b是兩非零向量，且a與b不共線，假設非零向量c與a共線，那么c與b必定6. 判定以下命

4、題的正誤： 零向量是惟一沒有方向的向量。 平面內(nèi)的單位向量只有一個。 方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量。 向量a與b是共線向量，b / C,那么a與c是方向一樣的向量。 相等的向量一定是共線向量。7. 以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是 共線向量是在同一條直線上的向量 假設兩個向量不相等，那么它們的終點不可能是同一點 與非零向量共線的單位向量是唯一的假設四邊形ABCD是平行四邊形，那么 AB與CD , BC與AD分別共線.2.2平面向量的線性運算2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的減法2.2.3 向量的數(shù)乘【知識點歸納】1. 向量的加法：2. 向量加法的平行四邊形法那

5、么：3. 向量的加法的運算率：4. 向量的減法：5. 向量減法的平行四邊形法那么：6.向量數(shù)乘的概念：7.向量的數(shù)乘的性質(zhì)：8.向量共線的條件：9.向量的線性運算10.向量證明三點共線：三角形的中線與重心公式：【典型例題】 題型一向量的加減法例1.下面給出的四個式子中，其中值不一定為0的是A. AB BCCAB.OA OC BO COC.AB ACBDCDD. NQ QP MN MP例2.如下圖,E、F分別是 ABC的邊AB、BC、CA的中點，那么AF DB =(BA. FDB. FCC. FED. BE題型二向量的作圖例3在矩形ABCD中，寬為2,長為2 3, AB a, BC b, AC

6、c,試作出向量a+b+c,并求出其模的大小a b、c d.題型二 用向量表示未知向量例5如下圖，OADB是以向量OA = a , OB = b為邊的平行四邊形,11" " 又 BM= BC, CN= - CD .試用 a , b 表示 OM , ON , MN . 33BD變式：設 D、E、F分別為 ABC的邊BC、CA、AB的中點，且 BC = a, CA= b,給出以下命題：AB=- I a b a+ 2 b CF = - a +1 b AD + BE+ Cf = 0其中正確的命題個數(shù)為A.1B.2C.3D.4題型四 向量的加減法綜合運用 例6.設兩個非零向量 e、e2

7、不是平行向量1如果 AB=e+e2， BC=2ei+8e2， CD =3( ei e2)，求證 A、B、D 三點共線;2試確定實數(shù) k的值，使kel+e2和 + k e2是兩個平行向量.0D =c,試證明：c+a-b= OB例7.0是：.ABCD的對角線AC與BD的交點假設AB =a, BC =b,綜合練習：1. 以下命題正確的有 單位向量都相等長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量 假設a, b滿足|a|>|b|且a與b同向，那么a>b 對于任意向量 a、b,必有|a+b|毛|b|2. 以下四個命題中不正確的有 假設a為任意非零向量，那么a/ 0| a+b|=|a|+|b|

8、a=b,那么|a|=|b|,反之不成立任一非零向量的方向都是惟一的3. | AB | 6,| AC | 4，那么|BC|的取值范圍為 4設AB + CD+ BC + DA= a,b丸),那么在以下結(jié)論中, a / b; a + b = a; a+b = b;丨 a + b I <1正確的有5.化簡 AB BC CD DA6如圖，在四邊形 ABCD中,根據(jù)圖示填空：a+b=, b+c=,c-d=,a+b+c-d=2.3 平面向量平面向量根本定理【知識點歸納】1. 平面向量的根本定理:2. 向量的夾角:【典型例題】題型一基底的判定例1.設ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么有 （）A. e

9、i、e2 一定平行B. ei、e2的模相等C. 同一平面內(nèi)的任一向量 a都有a = Q+ ©（入卩 R）D. 假設ei、e2不共線，那么同一平面內(nèi)的任一向量a都有a = ?ei+ue2（入u R）題型二用基底表示向量例2. a=-ei+3e2, b= 4ei+2e，其中ei, e2不共線，向量 c=-3ei+i2e2，用試用a, b作為基底來表示 c題型三向量的夾角例3.兩個非零向量a, b的夾角為80°,求以下向量的夾角:ia 與-b 22a 與 3b練習：i .向量a = ei-2e2, b =2ei + e2，其中ei、e2不共線，那么 a+b與c =6ei-2e2的

10、關系A.不共線B.共線C.相等D.無法確定2. 向量ei、e2不共線，實數(shù) x、y滿足（3x-4y）ei+（2x-3y）e2=6ei+3e2,那么x-y的值等于（）A.3B.-3C.0D.23. a、b不共線，且 c = Xia+尼b（力，尼 R），假設c與b共線，那么 ”.2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示2.3.3 平面向量的坐標運算2.3.4 平面向量的共線的坐標表示 【知識點歸納】1. 平面向量的正交分解：2. 平面向量的坐標表示：3. 平面向量的坐標運算：4. 平面向量共線的表示：5. 三點共線：典型例題】題型一求向量的坐標例 1.點 A2,2B-2, 2 C4,6 D-5,6E

11、-2,-2 F-5,-6在平面直角坐標系中，分別作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐標。題型二平面向量的坐標運算例 2 a=（2，1）， b =（-3，4），求 a + b， a- b，3a+4 b 的坐標例3平面上三點的坐標分別為A（ 2，1）， B（ 1，3），C（3，4），求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點例 4 三個力 F1 (3，4)， F2 (2，5)，F(xiàn)3 (x， y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0，求 F3 的坐標.練習：1 j1. 假設M（3，-2）N（-5，-1）且 MP - MN， 求P點的坐標22 .假設 A（0， 1），B（1 ，2）

12、，C（3，4），那么 AB 2 BC =.3、以下各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底是a . a(0,0), b(1, 2)B.a ( 1,2), b(5,7)c. a(3,5) b(6,10)D .a (2, 3)b(4, 6)4. a (3,2)，b (0,1），那么2a4b等于5.平面向量a(1,2) ，b (m,n)，且2a b，那么2a3b等于A. (2,4)B.(3,6)C.(5,10 )D. ( 4, 8)6. a (2,3)，b ( 1,2)，假設 kab與a kb平行，那么k等于丨.A. 1B. -1C.1 或-1D.2A ( 6, 8)B (3,6)C. (

13、6,8)D. (6, 8)7. a (5,2), a ( 7, 2)，那么 4a 3b 的坐標為.8 . a (2, 4) , b ( 1,3) , c (6,5) , p a 2b c，那么以 a, b 為基底，求題型三 向量共線的證明及判定例5.A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線 AB與平行于直線CD嗎？題型四 向量共線求參數(shù)例 6(4,2)，b (6, y)，且 a/b，求 y .練習：1. 假設向量a=(-1，x)與b =(-x，2)共線且方向一樣，那么x為312. 設 a (一,sin )，b (cos ,-)，(0,2 )，且 a

14、/b，求角 .23題型五三點共線例 2: A( 1, 1)，B(1,3)，C(2,5)，求證 A、B、C 三點共線.例3:設點P是線段piP2上的一點，Pi、P2的坐標分別是(xi, yi),(X2, y2).(1) 當點P是線段P1P2的中點時，求點 P的坐標；(2) 當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標練習:1假設 a=(2, 3), b =(4 ,-1+y),且 a / b，那么 y=A.6B.5C.7D.82假設A(x, -1), B(1 ,3),C(2,5)三點共線，那么x的值為A.-3B.-1C.1D.33假設AB=i+2j， DC =(3-x)i+(4-y)j(其中

15、i、j的方向分別與x、y軸正方向一樣且為單位向量).AB與DC共線，那么x、y的值可能分別為A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44. a =(4, 2), b =(6, y)，且 a / b，那么 y=5. a=(l, 2), b =(x, 1)，假設a+2b與2a- b平行，那么x的值為2.4平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的物理背景及含義【知識點歸納】1.平面向量的數(shù)量級的概念:2平面向量數(shù)量積的幾何意義:3. 向量數(shù)量積的性質(zhì):【典型例題】 題型一 平面向量數(shù)量積的根本概念例1.給出以下命題：假設|a|=|b| ，那么a=b或a=-b :|a b|=|a|b|:a b=Oa=O或b=0

16、;假設a/b且bII c,那么a/ c。其中正確命題的個數(shù)是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3題型二求向量的投影和數(shù)量積例 2.|a|=5,|b|=4,a與b的夾角0 =120,求a -b.練習：1. a=(1 , -2) , b=(3 , 4)，那么a在b方向上的投影是 H¥MlMl+- 2. | a |=3,| b I =6，當a / b，a丄b，a與b的夾角是60 °寸，分別求a b.題型三求向量的模例 3.|a|=6,| b|=4, a與b的夾角為60。求(a+2b) (a-3b)練習:i.|a|=2, |b|=i, a與b之間的夾角為，那么向量m=

17、a-4b的模為3A.2B.2 、3C.6D.12kI-t-2. |a|=i, |b|=72 ,(1)假設 a / b，求 a b ；假設 a、b 的夾角為6 0 ° 求|a + b|；(3)假設 a-b與a垂直，求a與b的夾角.題型四向量垂直的判定例4.|a|=3, | b|=4,且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直題型五求向量的夾角的余弦值例5.設m、n是兩個單位向量，其夾角為6 0°,求向量a =2m+n與b =2n-3m的夾角.平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角【知識點歸納】1.平面向量的數(shù)量積的坐標表示2. 平面向量的模的坐標表示3. 平面向量

18、的夾角的坐標表示平行，垂直【典型例題】題型一向量數(shù)量積的坐標運算例1.a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a與b的數(shù)量積為 m=a-4 b的模為,那么入取值范圍是多少？例2.|a|=2，| b|=1，a與b之間的夾角為一，那么向量3A.2B.2 ,3C.6D.12題型二 向量的夾角坐標運算例3.設a=(2,1),b=(1,3),求a b及a與b的夾角例4.向量a=(-2,-1),b=( 入，1)假設a與b的夾角為鈍角題型三向量的垂直A.60 °B.30 °C.135°D.4 5°例 6.，a (1,2), b(3,2)，當k為何值時，1kab與 a 3b垂直?例5.| a|=1b|= , 2，且(a-b)與a垂直，那么a與b的夾角是練習：_ - _ 2 一1. a ( 4,3),b(5,6)那么 3 a 4a b=A.23B.57C.63D.832. a 3,4 ,b=5,12那么a與鼻夾角的余弦為A. 63 B. .65 C.D-H、元65_ _ 5 _ _3. a= 2,3 ,b=(2,4),那么 a+